Differentiable Rigidity under Ricci curvature lower bound

In this article we prove a differentiable rigidity result. Let $(Y, g)$ and $(X, g_0)$ be two closed $n$-dimensional Riemannian manifolds ($n\geqslant 3$) and $f:Y\to X$ be a continuous map of degree $1$. We furthermore assume that the metric $g_0$ is real hyperbolic and denote by $d$ the diameter of $(X,g_0)$. We show that there exists a number $\varepsilon:=\varepsilon (n, d)>0$ such that if the Ricci curvature of the metric $g$ is bounded below by $-n(n-1)$ and its volume satisfies \vol_g (Y)\leqslant (1+\varepsilon) \vol_{g_0} (X) then the manifolds are diffeomorphic. The proof relies on Cheeger-Colding's theory of limits of Riemannian manifolds under lower Ricci curvature bound.Comment: 33 pages, 1 dessi

Deforming 3-manifolds of bounded geometry and uniformly positive scalar curvature

We prove that the moduli space of complete Riemannian metrics of bounded geometry and uniformly positive scalar curvature on an orientable 3-manifold is path-connected. This generalizes the main result of the fourth author [Mar12] in the compact case. The proof uses Ricci flow with surgery as well as arguments involving performing infinite connected sums with control on the geometry

Weak collapsing and geometrisation of aspherical 3-manifolds

Let M be a closed, orientable, irreducible, non-simply connected 3-manifold. We prove that if M admits a sequence of Riemannian metrics whose sectional curvature is locally controlled and whose thick part becomes asymptotically hyperbolic and has a sufficiently small volume, then M is Seifert fibred or contains an incompressible torus. This result gives an alternative approach for the last step in Perelman's proof of the Geometrisation Conjecture for aspherical 3-manifolds.Comment: Improved version in Englis

Ricci flow on open 3-manifolds and positive scalar curvature

We show that an orientable 3-dimensional manifold M admits a complete riemannian metric of bounded geometry and uniformly pos- itive scalar curvature if and only if there exists a finite collection F of spherical space-forms such that M is a (possibly infinite) connected sum where each summand is diffeomorphic to S2xS1 or to some mem- ber of F. This result generalises G. Perelman's classification theorem for compact 3-manifolds of positive scalar curvature. The main tool is a variant of Perelman's surgery construction for Ricci flow.Comment: 65 page

Impact des marées sur la circulation générale océanique dans une perspective climatique

Tides have long been considered as a high frequency phenomenon which was supposed to be limited to continental shelves. Thereby, tides were not likely to interact with the oceanic general circulation and thus on the climate's low frequency dynamic. Since altimetric data and global tidal hydrodynamic solutions have reached a centimetric resolution, a connection between tides and climate is now conceivable. The goal of this study is thus to explore what are the effects of the tides on the oceanic general circulation. These effects take place through two essential physical processes: (i) the highly non-linear dynamic of the tides and, (ii) the dissipation of their energy in deep ocean as vertical mixing or heat.In order to examine each of these aspects, the chosen method consists in parameterizing the tides in a three-dimensional ocean general circulation model (OGCM) dedicated to climate: NEMO. For this, the off-line outputs of a two-dimensional hydrodynamical tidal model (MOG2D-G) are used. At first, a map of the global residual mean circulation (CRM) generated by the tidal non-linear dynamic is computed for the first time and described. This CRM, obtained with MOGD2-G is then introduced as an external forcing in the OGCM NEMO. In a second time, the tidal energy dissipation is examined. At first, the fraction of tidal energy dissipated as heat is quantified. This enables to determine if, like geothermal flux, it could play a significant role in the abyssal circulation, and it is concluded that it is not the case. Then, the fraction of tidal energy dissipated locally as vertical mixing via internal waves is considered. This tidal mixing (TM) results from the energy transfer of the barotropic mode to the baroclinic ones i.e the tidal conversion rate. This transfer is diagnosed using MOG2D-G and integrated in NEMO through a vertical turbulent mixing parameterization. It is concluded that: (i) the sole TM can have a significant impact on the oceanic general circulation and thus on climate, (ii) that introducing local TM in OGCM is a key point for a proper modeling of abyssal water masses transport and, (iii) that from now on it is crucial to consider the fraction of TM which is generated away from the generation siteLa marée océanique a longtemps été considérée comme un phénomène haute fréquence dont la zone d'influence se limitait aux plateaux continentaux. Ainsi, la marée n'apparaissait pas susceptible d'interagir sur la circulation océanique grande échelle et in fine sur la dynamique basse fréquence du climat. Ce n'est qu'à la fin des années 1990, lorsque la mesure altimétrique et les solutions hydrodynamiques globales de marées ont atteint une précision centimétrique, qu'une connexion entre les marées et le climat est devenue envisageable. Dans cette perspective, l'objectif de cette étude est d'explorer quels sont les effets de la marée sur la circulation océanique grande échelle. Ces effets ont lieu à travers deux processus physiques essentiels liés à la marée : (i) sa dynamique fortement non-linéaire et (ii) la dissipation de son énergie en plein océan, sous la forme de mélange vertical ou de chaleur.Pour examiner chacun de ces aspects, la méthode retenue consiste à paramétriser les effets de la marée dans un modèle tridimensionnel de circulation générale océanique (OGCM) dédié au climat : NEMO. Pour ce faire nous utilisons les sorties 'off line' d'un modèle hydrodynamique bidimensionnel dédié à la marée : MOG2D-G. Dans un premier temps nous déterminons et nous décrivons pour la première fois une carte de la circulation résiduelle de marée (CRM) mondiale générée par la dynamique non-linéaire de la marée. Cette CRM obtenue par l'intermédiaire de MOG2D-G est alors introduite sous la forme d'un forçage extérieur dans l'OGCM NEMO. Dans un second temps, nous examinons la dissipation de l'énergie des marées. Tout d'abord nous quantifions la fraction de l'énergie de marée qui est dissipée en chaleur, ceci afin de déterminer si, à l'instar du flux géothermal, elle est susceptible de jouer un rôle important sur la circulation abyssale. Après avoir écarté cette possibilité, nous considérons la fraction d'énergie de marée qui se dissipe localement en mélange vertical via les ondes internes : le "tidal mixing" (TM). Le TM résulte d'un transfert d'énergie du mode barotope vers les modes baroclines. Ce transfert est diagnostiqué grâce au modèle MOG2D-G et intégré dans NEMO par l'intermédiaire d'une paramétrisation du mélange turbulent vertical.Nous concluons : (i) que l'effet des marées sur la circulation océanique grande échelle et in fine sur le climat ne peut être significatif qu'à travers le TM, (ii) que l'introduction du TM local dans les OGCM est essentielle pour représenter correctement le transport des masses d'eaux abyssales et (iii) qu'il est désormais crucial de considérer le TM engendré loin du site de génération des ondes interne