On elliptic Galois representations and genus-zero modular units

Given an odd prime \,$p$\, and a representation $\varrho$\, of the absolute Galois group of a number field $k$ onto $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$ with cyclotomic determinant, the moduli space of elliptic curves defined over $k$ with $p$-torsion giving rise to $\varrho$ consists of two twists of the modular curve $X(p)$. We make here explicit the only genus-zero cases $p=3$ and $p=5$, which are also the only \emph{symmetric} cases: $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_p)\simeq\mathcal{S}_n$ for $n=4$ or $n=5$, respectively. This is done by studying the corresponding twisted Galois actions on the function field of the curve, for which a description in terms of modular units is given. As a consequence of this twisting process, we recover an equivalence between the \emph{ellipticity} of $\varrho$ and its \emph{principality}, that is, the existence in its fixed field of an element $\alpha$ of degree $n$ over~$k$\, such that $\alpha$ and $\alpha^2$ have both trace zero over $k$

Efecto del anodizado electroquímico en la obtención de nanotubos en la superficie de aleaciones beta de titanio

[ES] La estrategia de la Unión Europea es promover la salud en una población con una elevada esperanza de vida y junto a la necesidad de reducir el gasto sanitario, obligan al desarrollo de aleaciones de titanio y tratamientos superficiales que incrementen el ciclo de vida de los implantes y reduzcan los tiempos de hospitalización. En esta tesis doctoral se propone el desarrollo del proceso de anodizado electroquímico para la obtención de un recubrimiento nanotubular en las aleaciones de titanio beta. Su objetivo principal es la caracterización del recubrimiento superficial con topografía nanotubular en las aleaciones titanio ß para aplicaciones biomédicas. Los resultados obtenidos muestran que la reducción del tamaño de partícula de los polvos refractarios y el incremento de la temperatura máxima de sinterizado, reduce la porosidad residual e incrementa las propiedades mecánicas de la aleación pulvimetalúrgica de Ti35Nb10Ta. El proceso de anodizado electroquímico, empleando el electrolito compuesto por 1M H3PO4 y 0,8% en peso de NaF, ha permitido obtener una topografía nanotubular en la aleación de Ti35Nb10Ta. La aplicación de un tratamiento térmico, posterior al anodizado, reduce el contenido de flúor presente en el óxido con topografía nanotubular y estabiliza la estructura cristalina del óxido de titanio en las aleaciones ß pulvimetalúrgicas. El proceso de anodizado electroquímico, para la obtención de un recubrimiento nanotubular en las aleaciones de Ti35Nb10Ta, incrementa la rugosidad superficial. La topografía nanotubular incrementa el ángulo de contacto y la energía superficial de las aleaciones de titanio. La irradiación con luz ultravioleta modifica a hidrofílico el comportamiento hidrofóbico de las superficies nanotubulares de titanio. La resistencia a la corrosión del acabado superficial de nanotubos, sin tratamiento térmico, es menor que el resto de los acabados superficiales estudiados por su incremento del área superficial relativa. El tratamiento térmico realizado a las superficies nanotubulares estabiliza las fases cristalinas (anatasa y rutilo) del óxido de titanio e incrementa la resistencia a la corrosión de las aleaciones de titanio. Por último, para poder introducir la pulvimetalurgia y el acabado superficial nanotubular en el campo de los biomateriales se necesita seguir investigando en subprocesos que mejoren la homogeneidad química/microestructural, sus propiedades mecánicas y la resistencia a la corrosión, así como cuantificación del grado mejora de la biocompatibilidad de estos nuevos acabados superficiales.[CA] L'estratègia de la Unió Europea és promoure la salut en una població amb una elevada esperança de vida, al costat de la necessitat de reduir la despesa sanitària, obliguen al desenvolupament d'aliatges de titani i tractaments superficials que incrementen el cicle de vida dels implants i reduïsquen els temps d'hospitalització. En aquesta tesi doctoral es proposa el desenvolupament del procés de anoditzat electroquímic per a l'obtenció d'un recobriment nanotubular en els aliatges de titani beta. El seu objectiu principal és la caracterització del recobriment superficial amb topografia nanotubular en els aliatges ß titani per a aplicacions biomèdiques. Els resultats obtinguts mostren que la reducció de la grandaria de partícula de les pols refractaris i l'increment de la temperatura màxima de sinterització, redueixen la porositat residual i incrementen les propietats mecàniques de l'aliatge pulvimetal·lúrgic de Ti35Nb10Ta. El procés de anoditzat electroquímic, emprant l'electròlit compost per 1 M H3PO4 i 0,8% en pes de NaF, ha permès obtenir una topografia nanotubular en l'aliatge de Ti35Nb10Ta. L'aplicació d'un tractament tèrmic, posterior a l'anoditzat, redueix el contingut de fluor present en l'òxid amb topografia nanotubular i estabilitza l'estructura cristal·lina de l'òxid de titani en els aliatges ß pulvimetal·lurgics. El procés de anoditzat electroquímic, per a l'obtenció d'un recobriment nanotubular en els aliatges de Ti35Nb10Ta, incrementa la rugositat superficial. La topografia nanotubular incrementa l'angle de contacte i l'energia superficial dels aliatges de titani. La irradiació amb llum ultraviolada modifica a hidrofílic el comportament hidrofòbic de les superfícies nanotubulares de titani. La resistència a la corrosió de l'acabat superficial de nanotubs, sense tractament tèrmic, és menor que la resta dels acabats superficials estudiats pel seu increment de l'àrea superficial relativa. El tractament tèrmic realitzat a les superficies nanotubulares estabilitza les fases cristal·lines (anatasa i rútil) de l'òxid de titani i incrementa la resistència a la corrosió dels aliatges de titani. Finalment, per poder introduir la pulverimetal·lúrgia i l'acabat superficial nanotubular en el camp dels biomaterials es necessita continuar investigant en subprocessos que milloren l'homogeneïtat química/microestructural, les seves propietats mecàniques i la resistència a la corrosió, així com la quantificar del grau millora de la biocompatibilitat d'aquests nous acabats superficials.[EN] The European Union's strategy is to promote health in a population with an elevated lifemexpectancy, together with the necessity of reducing healthcare costs, forces the development of titanium alloys and surface treatments that increase the implants life cycle and reduce hospitalization times. In this Doctoral Thesis, the development of the electrochemical anodizing process is proposed to obtain a nanotubular coating in beta titanium alloys. The main objective is the characterization of the surface treatment, which presents a nanotubular topography, in ß titanium alloys for biomedical applications. The results show that the particle size reduction on refractory powders and higher maximum sintering temperature reduce the residual porosity and increase the mechanical properties of Ti35Nb10Ta powder metallurgical alloy. The electrochemical anodizing process, using the electrolyte composed of 1M H3PO4 and 0.8% w.t NaF, is capable of obtaining a nanotubular topography in the Ti35Nb10Ta alloy. Heat treatment cycle, after the anodizing process, reduces the fluorine content present in the nanotubular oxide layer and stabilizes the titanium oxide crystalline structure on the powder metallurgy ß titanium alloys. The electrochemical anodization process, to obtain a nanotubular layer in Ti35Nb10Ta alloys, increases the surface roughness. Nanotubular topography increases the contact angle and surface free energy of titanium alloys. The ultraviolet light irradiation modifies the nanotubular titanium surfaces behavior from hydrophobic to hydrophilic. The corrosion resistance for nanotubular surfaces, without heat treatment, is lower than the rest of the surface treatments studied due to its increase in relative surface area. The heat treatment carried out on the nanotubular surfaces stabilizes the titanium oxide crystalline phases (anatase and rutile) and increases titanium alloys corrosion resistance. Finally, in order to introduce the powder metallurgy and the nanotubular surface treatment in biomedical applications, it is necessary to continue researching in subprocesses that will improve the chemical/microstructural homogeneity, the mechanical properties, and corrosion resistance, as well as quantify the degree of biocompatibility improvement on this new surface treatments.Lario Femenía, J. (2019). Efecto del anodizado electroquímico en la obtención de nanotubos en la superficie de aleaciones beta de titanio [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/129867TESI

Caracterización de aleaciones Tl-Nb-Ta obtenidas por vía pulvimetalúrgicL

[EN] The maín advantages of titanium, over other metals, lie ín the high quality of his mechanical, physical and chemical properties that make these alloys useful for thermal processes and parts manufacturing, positioning it quickly in the market. The main applications, where the use of titanium is competitíve, are biomedical instruments, automotive and aerospace components, and in the chemical or energy industries. In recent years, titanium alloys with ~ phase have been designed, alloy with different stabilizing phase elements, which have lower elastic modulus, and do not contain Ni or V (due to the carcinogenic and allergy problems caused by these two elements. In the same way, prostheses had been deployed which do not interfere in the growth of the tissues, near the implant, and reduce the problern of loss of bone mass caused by shielding charges. The reason of this project has been obtain Ti-Nb-Ta ternary alloys through powder-metallurgical processes, studying how the content of Nb, Ta and sintering temperature inftuence the mechanical properties of these alloys taking into account their microstructure. All of the previously mentioned from a point of view based on biomechanical applications, as noted in the Objectives and Conclusions of this Thesis. The result shows that powder-metallurgical processes allow to obtain free nickel and vanadium, alloys with low elastic modulus, which would increase the time until net surgical revision of the prosthesis, thanks to the reduction of bone degradation in the patient. Finally we have obtained the best ternary alloy, from the point of view of this researcher, which considers three new variables in addition to the elastic modulus, that is, the relative density, hardness and strength of the material (factors to be considered in the functionality of the prosthesis). The resulting alloy is Ti35Nb15Ta, whictT has a maximum síntering temperature a 1300 ºC and an elastic modulus of 55.8 GPa. The obtained value is far below Ti commercial alloys {CP Ti Grade 2 with an elastic modulus of 102.7 GPa and Ti-6Al-4V grade 5 with 110 GPa elastic modulus[ES} Las principales ventajas del titanio, sobre otros metales, radican en la alta ca lidad de sus propiedades mecánicas, físicas y químicas que hacen útiles sus aleaciones para procesos térmicos y de fabricación de piezas, posicionándolo rápidamente en el mercado. Las principales aplicaciones, donde el empleo del titanio es competitivo, son en instrumentos biomédicos, componentes de automoción y aeroespaciales, y en la industria química o energética. En los últimos años se han diseñado aleaciones de titanio de fase ~, aleadas con distintos elementos estabillzantes de la citada fase, que poseen menor módulo elástico y que no contienen Ni o V (dados los problemas cancerígenos y alérgicos que provocan). Del mismo modo se han obtenido prótesis que no interfieren en el crecimiento de los tejidos, en las cercanías del implante, y disminuyen el problema de pérdida de masa ós~a provocado por el apantallamiento de cargas. El objetivo de este proyecto ha sido obtener aleaciones ternarias de Ti-Nb-Ta por vía RESUMEN pulvimetalúrgica, estudiándose la influencia del contenido de Nb, Ta y la temperatura de sinterizado en· las propiedades mecánicas teniendo en cuenta la microestructura de dichas aleaciones. Todo ello, en un contexto de aplicación biomecánica, como se observa en los Objetivos y Conclusiones de esta Tesina. : Los resultados obtenidos muestran que mediante la pulvimetalugía es posible obtener 1 aleaciones libres de níquel y vanadio con bajo módulo elástico, que aumentarían et tiempo de una revisión quirúrgica de la prótesis, dada la reducción de la absorción ósea en el paciente. Finalmente se ha obtenido la mejor aleación ternaria, desde el punto de vista del tesínando, que considera la densidad re lativa, dureza y resistencia del material además del módulo elástico (factores a tener en cuenta para la funcionalidad de una prótesis). Esta aleación obtenida es la Ti35NblSTa a la temperatura de sinterizado máxima de 1300 ºC, cuyo módulo elástico es de 55,8 GPa. Este es bastante inferior a las habituales aleaciones comerciales de Ti (CP Ti de grado 2 con módulo UNIVERSID/.\D POLITECNIC/.\ DE V/.\LENCI/.\ elástico 102,7 GPa y Ti-6Al-4V de grado 5 con 110 GPa de módulo elástico). La aleación obtenida, en esta tesina, se encuentra mucho más cercana al módulo elástico del hueso en vivo (30 GPa); se alcanza, así, el objetivo de esta Tesina[CA] Les principals avantatges del titani, sota altres metalls, radica en l’alta qualitat de les seues propietats mecàniques, físiques i químiques que fan útils les seus aleacions per a processos tèrmics i de fabricació de peces, posicionant-lo ràpidament en el mercat. Les principals aplicacions, on la utilització del titani es competitiu, son en instruments biomedics, components d’automoció i aeroespacials, i en la industria química o energètica. En els últims anys s’han dissenyat aleacions de titani de fase β, aleades amb diferents elements estabilitzants de la citada fase, que posseeixen menor mòdul elàstic i que no contenen Ni o V (donats els problemes cancerígens i al•lèrgics que provoquen). De la mateixa manera s´han obtingut pròtesis que no interfereixen en el creixement dels teixits, en les voreres del implant, i disminueixen el problema de la pèrdua de massa del ossos provocat pel apantallament de carregues. L`objectiu d’aquest projecte ha sigut obtindre aleacions ternàries de Ti-Nb-Ta mitjançant la pulvimetal•lúrgia, estudiant-se la influencia del contingut de Nb, Ta i la temperatura de sinteritzat en les propietats mecàniques tenint en compte la microestructura d’aquestes aleacions. Tot açò, en un context d’aplicacions biomecàniques, com s’observa en els objectius i conclusions d’aquesta Tesina. Els resultats obtinguts demostren que mitjançant la pulvimetal•lúrgia es possible obtindre aleacions lliures de níquel i vanadi amb baix mòdul elàstic, que elevaria el temps d’una revisió quirúrgica de la pròtesis, deguda a la reducció de l’absorció ossea en el pacient. Finalment s’ha obtingut la millor aleació ternària, sota el punt de vista del tesinant, que considera la densitat relativa, duresa i resistència del material a mes a mes del mòdul elàstic (factors a tindre en compte en la funcionalitat d’una pròtesis). Aquesta aleacio obtinguda es la Ti35Nb15Ta a la temperatura de sinterització màxima de 1300 °C, amb mòdul elàstic de 55,8 GPa. Aquest es molt inferior a les aleacions habituals comercial de Ti (CP Ti grau 2 amb mòdul elàstic 102,7 GPa i Ti-6Al-4V de grau 5 amb 110 GPa de mòdul elàstic). L´aleacio obtinguda, en aquesta tesina, es trova molt mes pròxima al mòdul elàstic de l’ós en viu(30 GPa); obtenint , així, l’objectiu d’aquesta Tesina.Lario Femenía, J. (2014). Caracterización de aleaciones Tl-Nb-Ta obtenidas por vía pulvimetalúrgicL. http://hdl.handle.net/10251/4715

Satins, lattices, and extended Euclid's algorithm

Motivated by the design of satins with draft of period m and step a, we draw our attention to the lattices L(m,a)=¿(1,a),(0,m)¿ where 1=a<m are integers with gcd(m,a)=1. We show that the extended Euclid's algorithm applied to m and a produces a shortest no null vector of L(m, a) and that the algorithm can be used to find an optimal basis of L(m, a). We also analyze square and symmetric satins. For square satins, the extended Euclid's algorithm produces directly the two vectors of an optimal basis. It is known that symmetric satins have either a rectangular or a rombal basis; rectangular basis are optimal, but rombal basis are not always optimal. In both cases, we give the optimal basis directly in terms of m and a.Postprint (published version

Gauss i els polígons

Per copsar el llegat de Gauss, cal tenir en compte què va fer, naturalment, però també què va deixar als altres per fer. En aquest article expositiu, mostrem aquest fet en el cas de la constructibilitat amb regle i compàs dels polígons regulars a la circumferència i a la lemniscata. Gauss va provar (1796) que el polígon regular de n costats es pot construir amb regle i compàs si els factors primers senars de n són primers de Fermat diferents. També va conjecturar que aquesta condició era necessària, la qual cosa fou demostrada per Wantzel el 1836. Una nota “insinuant” a les seves Disquisitiones Mathematicae va propiciar que Abel trobés (1828) el mateix resultat per al cas dels polígons regulars de la lemniscata; en aquest cas, el recíproc fou provat per Rosen el 1981.Factoria FM

Cropping Euler factors of modular L-functions

According to the Birch and Swinnerton-Dyer conjectures, if A/Q is an abelian variety, then its L-function must capture a substantial part of the properties of A. The smallest number field L where A has all its endomorphisms defined must also play a role. This article deals with the relationship between these two objects in the specific case of modular abelian varieties Af =Q associated to weight 2 newforms for the group t1(N). Specifically, our goal is to relate ords=1 L(Af =Q, s), with the order at s D 1 of Euler products restricted to primes that split completely in L. This is attained when a power of Af is isogenous over Q to the Weil restriction of the building block of Af . We give separated formulae for the CM and non-CM cases.Postprint (published version