Resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales

Resolver sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables es un problema importante en álgebra computacional, con muchas aplicaciones. Cuando la cantidad de soluciones es infinita, no esta claro qué significa exactamente “resolver”. En esta charla, lo interpretamos como descomponer el conjunto de soluciones en sus componentes irreducibles. Algebraicamente, esto es equivalente a encontrar los primos minimales asociados al ideal generado por los polinomios. Veremos como se puede obtener algorítmicamente esta descomposicion y las herramientas que se necesitan, así como algunas aplicaciones concretas de estos algoritmos en robótica. Palabras clave: ecuaciones polinomiales, primos asociados, Groebner

Commutative algebra algorithms in polynomial rings

En esta tesis nos enfocamos en los aspectos algorítmicos de algunos de los tópicos más importantes del álgebra conmutativa. Estudiamos el cálculo de radicales y primos y minimales, la normalización de anillos e ideales y otros problemas relacionados. En los últimos años, se desarrollaron varios programas de álgebra computacional con implementaciones muy eficientes de las herramientas básicas para trabajar con polinomios, ideales y anillos. Esto renovó el interés por algoritmos eficientes para resolver algunos problemas difíciles del área. Proponemos nuevos algoritmos para algunos de estos problemas, basándonos en ideas matemáticas y resultados nuevos. Hemos implementado todos los algoritmos en esta tesis en Singular (Decker et al., 2011), uno de los programas de álgebra computacional más comúnmente utilizados, y están actualmente disponibles para su uso por toda la comunidad matemática. Si bien para la mayoría de estos problemas ya existían algoritmos, los nuevos algoritmos propuestos los superan en la mayoría de los casos, siendo ahora los algoritmos por default en SINGULAR.This thesis addresses the algorithmic aspects of some major topics of commutative algebra. We study the computation of radicals and minimal associated primes of ideals, the normalization of rings and ideals and other related problems. In recent years a number of computer algebra systems have been developed with very efficient implementations of some basic tools to work with polynomials, ideals and rings. This put on the spot the need for efficient algorithms to solve some difficult problems. We propose new algorithms for some of these problems, based on new mathematical ideas and results. All the algorithms in this thesis have been implemented in Singular (Decker et al., 2011), one of the most commonly used computer algebra systems, and are now available for use of the mathematical community. Although other algorithms already existed for most of these tasks, the new algorithms outperform them in most cases and are now the default algorithms in SINGULAR.Fil:Laplagne, Santiago Jorge. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina