Probabilistic analysis of the upwind scheme for transport

We provide a probabilistic analysis of the upwind scheme for multi-dimensional transport equations. We associate a Markov chain with the numerical scheme and then obtain a backward representation formula of Kolmogorov type for the numerical solution. We then understand that the error induced by the scheme is governed by the fluctuations of the Markov chain around the characteristics of the flow. We show, in various situations, that the fluctuations are of diffusive type. As a by-product, we prove that the scheme is of order 1/2 for an initial datum in BV and of order 1/2-a, for all a>0, for a Lipschitz continuous initial datum. Our analysis provides a new interpretation of the numerical diffusion phenomenon

The Lifschitz-Slyozov equation with space-diffusion of monomers

The Lifschitz–Slyozov system describes the dynamics of mass exchanges between macro–particles and monomers in the theory of coarsening. We consider a variant of the classical model where monomers are subject to space diffusion. We establish the existence–uniqueness of solutions for a wide class of relevant data and kinetic coefficients. We also derive a numerical scheme to simulate the behavior of the solutions.

Justification mathématique d'un système moyen compressible biphasique avec température mais sans conductivité thermique

This article concerns the mathematical justification of an averaged system of partial differential equations governing the evolution of a two-phase mixture of heat non-conductive, compressible fluids, in space dimension 1 with periodic boundary conditions. The first step is to write a system of partial differential equations governing the physics at a mesoscopical level where the two phases are separated by sharp interfaces. In a second step we study the behavior of a sequence of solutions corresponding to highly oscillating initial densities and temperatures. The limit of such a sequence is described byan averaged system of partial differential equations that has a different algebraic structure than the mesoscopic model and that reflects the macroscopical properties of the mixture. The originality of the paper consists in the fact that both the density and temperature are allowed to oscillate, so that the limiting model is a six-equation, two-pressures, two-temperatures model. The key point is to show the strong convergence of the stress tensor in $L^2((0, T) \times (0, 1))$. In order to obtain uniform estimates in spite of the presence of oscillating coefficients in the energy equation, we look at solutions with low regularity for the density and the temperature.For the readers convenience, we provide in a separated section the modelization of the mesoscopic system and the formal derivation of the averaged two-phase system. We also provide, at the end of the paper, numerical illustrations comparing the unknowns solving the mesoscopic system and the one satisfying the averaged two-phase system.Cet article concerne la justification mathématique d'un système moyenné d'équations aux dérivées partielles régissant l'évolution d'un mélange biphasique de fluides compressibles sans conductivité thermique, en dimension 1, avec des conditions aux limites périodiques. La première étape consiste à écrire un système d'équations aux dérivées partielles régissant la physique à un niveau mésoscopique où les deux phases sont séparées par des interfaces. Dans une deuxième étape, nous étudions le comportement d'une séquence de solutions correspondant à des densités et des températures initiales fortement oscillantes. La limite d'une telle séquence est décrite par un système d'équations aux dérivées partielles qui a une structure algébrique différente de celle du modèle mésoscopique et qui reflète les propriétés macroscopiques du mélange. L'originalité de l'article réside dans le fait que la densité et la température sont toutes deux autorisées à osciller, de sorte que le modèle limite est un modèle à six équations, deux pressions, et deux températures. Le point clé est de montrer la convergence forte du tenseur de contrainte dans \( L^2((0, T) \times (0, 1)) \). Afin d'obtenir des estimations uniformes malgré la présence de coefficients oscillants dans l'équation de l'énergie, nous examinons des solutions de faible régularité pour la densité et la température.Pour la commodité des lecteurs, nous fournissons dans une section séparée la modélisation du système mésoscopique et la dérivation formelle du système macroscopique. Nous fournissons également, à la fin de l'article, des illustrations numériques comparant les inconnues résolvant le système mésoscopique et celles satisfaisant le système macroscopique

Justification mathématique d'un système moyen compressible biphasique avec température mais sans conductivité thermique

This article concerns the mathematical justification of an averaged system of partial differential equations governing the evolution of a two-phase mixture of heat non-conductive, compressible fluids, in space dimension 1 with periodic boundary conditions. The first step is to write a system of partial differential equations governing the physics at a mesoscopical level where the two phases are separated by sharp interfaces. In a second step we study the behavior of a sequence of solutions corresponding to highly oscillating initial densities and temperatures. The limit of such a sequence is described byan averaged system of partial differential equations that has a different algebraic structure than the mesoscopic model and that reflects the macroscopical properties of the mixture. The originality of the paper consists in the fact that both the density and temperature are allowed to oscillate, so that the limiting model is a six-equation, two-pressures, two-temperatures model. The key point is to show the strong convergence of the stress tensor in $L^2((0, T) \times (0, 1))$. In order to obtain uniform estimates in spite of the presence of oscillating coefficients in the energy equation, we look at solutions with low regularity for the density and the temperature.For the readers convenience, we provide in a separated section the modelization of the mesoscopic system and the formal derivation of the averaged two-phase system. We also provide, at the end of the paper, numerical illustrations comparing the unknowns solving the mesoscopic system and the one satisfying the averaged two-phase system.Cet article concerne la justification mathématique d'un système moyenné d'équations aux dérivées partielles régissant l'évolution d'un mélange biphasique de fluides compressibles sans conductivité thermique, en dimension 1, avec des conditions aux limites périodiques. La première étape consiste à écrire un système d'équations aux dérivées partielles régissant la physique à un niveau mésoscopique où les deux phases sont séparées par des interfaces. Dans une deuxième étape, nous étudions le comportement d'une séquence de solutions correspondant à des densités et des températures initiales fortement oscillantes. La limite d'une telle séquence est décrite par un système d'équations aux dérivées partielles qui a une structure algébrique différente de celle du modèle mésoscopique et qui reflète les propriétés macroscopiques du mélange. L'originalité de l'article réside dans le fait que la densité et la température sont toutes deux autorisées à osciller, de sorte que le modèle limite est un modèle à six équations, deux pressions, et deux températures. Le point clé est de montrer la convergence forte du tenseur de contrainte dans \( L^2((0, T) \times (0, 1)) \). Afin d'obtenir des estimations uniformes malgré la présence de coefficients oscillants dans l'équation de l'énergie, nous examinons des solutions de faible régularité pour la densité et la température.Pour la commodité des lecteurs, nous fournissons dans une section séparée la modélisation du système mésoscopique et la dérivation formelle du système macroscopique. Nous fournissons également, à la fin de l'article, des illustrations numériques comparant les inconnues résolvant le système mésoscopique et celles satisfaisant le système macroscopique

Conservation laws with a non-local flow application to pedestrian traffic

In this note, we introduce some models of pedestrian traffic and prove existence and uniqueness of solutions for these models. On présente ici différents modèles de trafic piéton et on prouve l’existence et l’unicité des solutions pour ces modèles

A multiscale method for compressible liquid-vapor flow with surface tension*

Discontinuous Galerkin methods have become a powerful tool for approximating the solution of compressible flow problems. Their direct use for two-phase flow problems with phase transformation is not straightforward because this type of flows requires a detailed tracking of the phase front. We consider the fronts in this contribution as sharp interfaces and propose a novel multiscale approach. It combines an efficient high-order Discontinuous Galerkin solver for the computation in the bulk phases on the macro-scale with the use of a generalized Riemann solver on the micro-scale. The Riemann solver takes into account the effects of moderate surface tension via the curvature of the sharp interface as well as phase transformation. First numerical experiments in three space dimensions underline the overall performance of the method