Justification mathématique d'un système moyen compressible biphasique avec température mais sans conductivité thermique

Abstract

This article concerns the mathematical justification of an averaged system of partial differential equations governing the evolution of a two-phase mixture of heat non-conductive, compressible fluids, in space dimension 1 with periodic boundary conditions. The first step is to write a system of partial differential equations governing the physics at a mesoscopical level where the two phases are separated by sharp interfaces. In a second step we study the behavior of a sequence of solutions corresponding to highly oscillating initial densities and temperatures. The limit of such a sequence is described byan averaged system of partial differential equations that has a different algebraic structure than the mesoscopic model and that reflects the macroscopical properties of the mixture. The originality of the paper consists in the fact that both the density and temperature are allowed to oscillate, so that the limiting model is a six-equation, two-pressures, two-temperatures model. The key point is to show the strong convergence of the stress tensor in $L^2((0, T) \times (0, 1))$. In order to obtain uniform estimates in spite of the presence of oscillating coefficients in the energy equation, we look at solutions with low regularity for the density and the temperature.For the readers convenience, we provide in a separated section the modelization of the mesoscopic system and the formal derivation of the averaged two-phase system. We also provide, at the end of the paper, numerical illustrations comparing the unknowns solving the mesoscopic system and the one satisfying the averaged two-phase system.Cet article concerne la justification mathématique d'un système moyenné d'équations aux dérivées partielles régissant l'évolution d'un mélange biphasique de fluides compressibles sans conductivité thermique, en dimension 1, avec des conditions aux limites périodiques. La première étape consiste à écrire un système d'équations aux dérivées partielles régissant la physique à un niveau mésoscopique où les deux phases sont séparées par des interfaces. Dans une deuxième étape, nous étudions le comportement d'une séquence de solutions correspondant à des densités et des températures initiales fortement oscillantes. La limite d'une telle séquence est décrite par un système d'équations aux dérivées partielles qui a une structure algébrique différente de celle du modèle mésoscopique et qui reflète les propriétés macroscopiques du mélange. L'originalité de l'article réside dans le fait que la densité et la température sont toutes deux autorisées à osciller, de sorte que le modèle limite est un modèle à six équations, deux pressions, et deux températures. Le point clé est de montrer la convergence forte du tenseur de contrainte dans \( L^2((0, T) \times (0, 1)) \). Afin d'obtenir des estimations uniformes malgré la présence de coefficients oscillants dans l'équation de l'énergie, nous examinons des solutions de faible régularité pour la densité et la température.Pour la commodité des lecteurs, nous fournissons dans une section séparée la modélisation du système mésoscopique et la dérivation formelle du système macroscopique. Nous fournissons également, à la fin de l'article, des illustrations numériques comparant les inconnues résolvant le système mésoscopique et celles satisfaisant le système macroscopique