On Local Error Bound in Nonlinear Programs

Numerous efforts in the literature are devoted to studying error bounds in optimization problems. The existence of local error bounds is closely related with constraint qualifications. It is well-known that some constraint qualifications imply error bounds. We consider constraint qualifications, which do not impose as strong requirements on the structure of the optimization problem as traditional conditions do. On their base necessary and sufficient conditions of error bounds are derived

К УСЛОВИЯМ РЕГУЛЯРНОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

The article is devoted to the condition of R-regularity (Error Bound Property) in problems of mathematical programming. This condition plays an important role in analyzing the convergence of numerical optimization algorithms and it is a fairly general condition of regularity (constraint qualification) in problems of mathematical programming. The article obtains new sufficient conditions for the presence of R-regularity in problems of mathematical programming.Статья посвящена условию R-регулярности (Error Bound Property) в задачах математического программирования. Данное условие играет важную роль в анализе сходимости численных алгоритмов оптимизации и является достаточно общим условием регулярности (constraint qualification) в задачах математического программирования. В статье получаются новые достаточные условия наличия R-регулярности в задачах математического программирования

К ЗАДАЧАМ ДВУХУРОВНЕВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С УСЛОВИЕМ РЕГУЛЯРНОСТИ RCPLD

Multilevel optimization problems often arise in various applications (in economics, ecology, power engineering and other areas) when modeling complex systems with a hierarchical structure associated with independent actions of subsystems. The difficulty of analyzing such complex systems requires first of all the study of bilevel models, the management of which would be an integral part of the analysis of more complex systems. In solving bilevel programming problems, an important role is played by the property of partial calmness, the presence of which allows us to reduce the bilevel problem to the classical nonlinear programming problem with a nonsmooth objective function. It is known that linear bilevel programming problems are partially stable. The proof of this property for more complex problems meets difficulties. In particular, our article shows the inaccuracy of some results in this area. The goal of the paper is to obtain some new results in the partial calmness of bilevel programming. In particular, new sufficient conditions for bilevel problems are proved. The results are obtained on the base of Lipschitz-like properties for multivalued mappings. In the paper we propose new sufficient conditions for partial calmness which are based on some modification of the known constraint qualification RCPLD which have been proposed by the researches Andreani, Haeser, Schuverdt and Silva.Задачи многоуровневой оптимизации часто встречаются в различных приложениях (в экономике, экологии, энергетике и других областях) при моделировании сложных систем с иерархической структурой, связанной с неравноправным положением и самостоятельными действиями подсистем. Трудность анализа такого рода сложных систем требует в первую очередь изучения двухуровневых моделей, управление которыми явилось бы составной частью анализа более сложных систем. При решении задач двухуровневого программирования важную роль играет предложенное учеными Ye и Zhu свойство частичной устойчивости, наличие которого позволяет свести двухуровневую задачу к классической задаче нелинейного программирования с негладкой целевой функцией. Известно, что линейные задачи двухуровневого программирования являются частично устойчивыми. Доказательство данного свойства для более сложных задач встречает трудности. В частности, в статье показывается неверность некоторых известных ранее результатов в этой области. Целью данной статьи является доказательство новых результатов по частичной устойчивости задач двухуровневого программирования. Вывод данных результатов в статье основывается на применении обобщенных липшицевых свойств многозначных отображений. В данной статье выводятся новые достаточные условия частичной устойчивости, основанные на модификации известного в литературе условия регулярности RCPLD, предложенного учеными Andreani, Haeser, Schuverdt и Silva. Полученные достаточные условия обобщают известные условия частичной устойчивости для двухуровневых задач и позволяют выделить класс задач, которые могут быть решены редукцией к задаче математического программирования с негладкой целевой функцией

On constraint qualifications in mathematical programming

Статья посвящена условию R-регулярности (Error Bound Property) в задачах математического программирования. Данное условие играет важную роль в анализе сходимости численных алгоритмов оптимизации и является достаточно общим условием регулярности (constraint qualification) в задачах математического программирования. В статье получаются новые достаточные условия наличия R-регулярности в задачах математического программирования. The article is devoted to the condition of R-regularity (Error Bound Property) in problems of mathematical programming. This condition plays an important role in analyzing the convergence of numerical optimization algorithms and it is a fairly general condition of regularity (constraint qualification) in problems of mathematical programming. The article obtains new sufficient conditions for the presence of R-regularity in problems of mathematical programming

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Nonlinear programming problems are studied. Necessary second order optimality conditions are proved under minimal assumptions about constraints.Необходимые условия второго порядка играют важную роль в теории оптимизации. Это объясняется тем, что большинство используемых на практике численных алгоритмов сводится к нахождению стационарных точек, удовлетворяющих условиям оптимальности первого порядка. В то же время многие задачи оптимизации, особенно задачи высокой размерности, имеют достаточно большое число стационарных точек. В связи с этим возникает проблема усиления необходимых условий за счет привлечения необходимых условий второго порядка для удаления неоптимальных стационарных точек. В данной статье рассматриваются так называемые слабые необходимые условия оптимальности второго порядка и доказывается их справедливость при менее жестких требованиях по сравнению с известными ранее результатами

On Lipschitz-like continuity of a class of set-valued mappings

We study set-valued mappings defined by solution sets of parametric systems of equalities and inequalities. We prove Lipschitz-like continuity of these mappings under relaxed constant rank constraint qualification

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК В ЗАДАЧАХ ДВУХУРОВНЕВОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Bilevel programming problems are considerably difficult for numerical analysis. Despite the vast amount of literature and research dedicated to studying them, there are no universal methods to solve them and numerous publications are concerned mainly with identifying particular subsets of problems that can be efficiently analyzed. Linear bilevel programming problems are considered, and an algorithm for computing their stationary points is developed in this paper.Двухуровневые задачи являются весьма сложным объектом для численного анализа. Несмотря на то, что их изучению посвящена обширная литература, не существует универсальных методов их решения и многочисленные публикации сводятся в основном к выделению отдельных классов доступных для анализа задач. В данной статье рассматриваются линейные задачи двухуровневого программирования, для которых строится алгоритм вычисления стационарных точек

Достаточное условие псевдолипшицевости системы параметрических равенств и неравенств

We study the Lipschitz-like properties of multivalued mappings defined by functional parametric equalities and inequalities. Sufficient conditions of pseudo-Lipschitzian continuity are obtained on the basе of the regularity condition of the relaxed constant positive linear dependence (RCPLD) by Andreani et al. The results of the article generalize some known sufficient conditions for pseudo-Lipschitzian continuity of the systems of parametric equalities and inequalities.Исследуются липшицевы свойства многозначных отображений, заданных в виде системы параметрических равенств и неравенств. Доказываются достаточные условия псевдолипшицевости (pseudo-Lipschitzian continuity or Aubin property) на основе ослабленного условия регулярности постоянства положительно-линейной зависимости (RCPLD). За счет использования более слабых условий регулярности полученные результаты обобщают некоторые известные ранее достаточные условия псевдолипшицевости для многозначных отображений, заданных системой функциональных равенств и неравенств

УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ В ЗАДАЧАХ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Weak regularity conditions are studied. Necessary and sufficient conditions of R -regularity are obtained. The relations between different types of regularity conditions are investigated.Условия регулярности играют важную роль в задачах нелинейного программирования, поскольку гарантируют выполнение необходимых условий оптимальности Куна-Таккера. Среди условий регулярности наиболее известным и широко применяемым является условие Мангасаряна-Фромовица. В то же время, несмотря на сравнительную эффективность условий Мангасаряна-Фромовица, существуют достаточно широкие классы задач оптимизации, в которых это условие не выполняется, однако для которых можно указать более слабые условия регулярности, гарантирующие справедливость необходимых условий Куна-Таккера. Целью данной статьи является исследование задач оптимизации, удовлетворяющих ослабленным условиям регулярности

О ЧАСТИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАЧИ ДВУХУРОВНЕВОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕЙ НИЖНЕГО УРОВНЯ

Numerous publications are devoted to bilevel programming problems. Despite a seemingly simple statement these problems are considerably difficult for numerical solving, and a significant part of research in the field of bilevel programming is devoted to identifying particular subsets of problems that allow for a numerical solution. One of such subsets consists of bilevel problems that possess the partial calmness property. Global partial calmness of bilevel programming problems with a linear lower-level problem is proven in this article.Задачам двухуровневого программирования (bilevel programming) посвящены многочисленные публикации. Несмотря на внешнюю простоту постановки, данные задачи весьма сложны для численного решения, и значительная часть исследований в двухуровневом программировании сводится к выделению отдельных классов доступных для численного анализа задач. Одним из таких классов являются двухуровневые задачи, обладающие свойством частичной устойчивости (partial calmness). В статье доказывается глобальная частичная устойчивость задачи двухуровневого программирования с линейной задачей нижнего уровня