KESTABILAN MODEL PREDATOR-PREY DENGAN LESLIE-GOWER DAN HOLLING TANPA ADANYA PERLINDUNGAN DI PREY

Model predator-prey Leslie Gower merupakan model interaksi antara mangsa dan pemangsa dengan laju pertumbuhan antara populasi predator sebanding dengan jumlah prey. Pertumbuhan kedua populasi yang tidak seimbang mempengaruhi salah satu populasi berkurang atau bertambah banyak. Fungsi respon mengacu pada peningkatan populasi predator atau pengurangan  populasi prey saat terjadinya interaksi. Interaksi terhadap predator-prey yang tidak seimbang mengakibatkan kepunahan di salah satu populasi. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kestabilan dari model predator-prey Leslie Gower dengan fungsi respon Holling tipe II. Model tersebut dianalisis sehingga diperoleh titik kesetimbangan. Kemudian dicari matriks Jacobian dan dari matriks Jacobian tersebut didapat nilai karakteristik dari titik kesetimbangan, sehingga dapat ditentukan kestabilan dari model predator-prey Leslie Gower dan Holling. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh empat titik kesetimbangan yakni    dan . Titik equilibrium trivial terjadi pada titik    dan titik equilibrium dengan kepunahan terhadap predator pada titik  bersifat tidak stabil. Karena tidak adanya keberadaan predator mengakibatkan pertumbuhan terhadap prey yang terus meningkat tanpa adanya pengurangan akibat pemburuan dari predator. Sedangkan titik equilibrium dengan kepunahan terhadap prey stabil pada titik  dengan syarat tertentu jika nilai  dan titik equilibrium interior bersifat stabil pada titik  jika . Kata Kunci : Titik Kesetimbangan, Fungsi Respo

Analisis Dinamik Model SIRC pada Transmisi Hepatitis B dengan Sirosis Hati

Hepatitis B is an infection of the liver that can cause liver cirrhosis. Liver cirrhosis can occur due to the formation of scar tissue in individuals who have prolonged hepatitis B. Transmission of hepatitis B can occur in two ways, namely horizontal and vertical. In this research, this problem is modeled in a mathematical model using the SIRC model, where the population is grouped into four sub-populations, namely susceptible (S), infected (I), cured or immune due to vaccination (R) and cirrhosis. liver (C). From the analysis, two equilibrium points were obtained, namely the disease-free equilibrium point the endemic equilibrium point  The basic reproduction number   is obtained using the Next Generation Matrix. The analysis results show that if , then the disease-free equilibrium point is locally asymptotically stable, which means that hepatitis B transmission in liver cirrhosis does not spread. Meanwhile, if  , then the disease-free equilibrium point is locally asymptotically stable, which means that hepatitis B transmission in liver cirrhosis does not spread. Meanwhile, if , this means that hepatitis B transmission in liver cirrhosis is influenced by contact between susceptible and infectious individuals. To support the results of the analytical analysis, numerical simulations are provided to describe the behavior of the SIRC model

TRANSFORMASI LAPLACE UNTUK MENYELESAIKAN GENERALISASI INTEGRAL FRESNEL

Integral Fresnel adalah integral dengan bentuk S(u)=\int\limits_{\0}^{\u}{sin(x^2)\,dx dan C(u)=\int\limits_{\0}^{\u}{cos(x^2)\,dx denganu∊ℝ. Kedua integral tersebut diperumum menjadi \int\limits_{\0}^{\infty}{sin(t(x^p)) \,dx dan \int\limits_{\0}^{\infty}{cos(t(x^p))\,dx denganp>1, dan t∈ ℝ^+ yang selanjutnya dinamakan generalisasi integral Fresnel. Dalam penelitian ini, dicari penyelesaian dari generalisasi integral Fresnel dengan menggunakan pendekatan transformasi Laplace. Penyelesaian generalisasi integral Fresnel diawali dengan memisalkan suatu fungsi f(t)=\int\limits_{\0}^{\infty}{sin (t(x^p))\,dx  dan g(t)=\int\limits_{\0}^{\infty}{cos(t(x^p))\,dx sehingga dapat diubah kebentuk transformasi Laplace. Kemudian dilanjutkan dengan menggunakan definisi dan rumus-rumus transformasi Laplace, serta sifat-sifat fungsi Gamma dan Beta. Selanjutnya mentransformasikan kembali ke fungsi awal menggunakan invers transformasi Laplace. Hasil penelitian menunjukan bahwa transformasi Laplace dapat digunakan untuk mencari penyelesaian numerik generalisasi integral Fresnel dengan rumus \int\limits_{\0}^{\infty}{sin(t(x^p))\,dx=∏sec(∏/2p)/(2p(t^(1/p)))Γ(1-(1/p)) dan \int\limits_{\0}^{\infty}{sin(t(x^p))\,dx=∏csc(∏/2p)/(2p(t^(1/p)))Γ(1-(1/p)). Kata Kunci : Integral Fresnel, Generalisasi Integral Fresnel, Transformasi Laplace

PENYELESAIAN GENERALISASI PERSAMAAN BERNOULLI DAN PERSAMAAN RICCATI DENGAN PENDEKATAN PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK

Persamaan diferensial biasa merupakan persamaan yang memuat turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu variabel bebas. Persamaan Bernoulli dan persamaan Riccati merupakan bentuk dari persamaan diferensial biasa orde satu. Pada penelitian ini dibahas tentang mencari solusi umum dari generalisasi persamaan Bernoulli dan persamaan Riccati dengan menggunakan pendekatan persamaan diferensial eksak. Bentuk umum persamaan Bernoulli yang digeneralisasikan menjadi dy/dx+a(x)h(y)=b(x)g(y) dengan h(y)=g(y)∫(dy/g(y)).  Solusi umum dari generalisasi persamaan Bernoulli, yaitu e^∫(a(x)dx)∫dy/g(y)-∫b(x)e^(a(x)dx)dx=c dan solusi umum persamaan Riccati diperoleh dari solusi umum persamaan Bernoulli dengan memisalkan y=u+z dimana u sebagai solusi partikular dengan dan z sebagai solusi homogen.  Kata Kunci: generalisasi persamaan Bernoulli, persamaan Riccati, persamaan diferensial eksak

HOMOTOPY ANALYSIS METHOD (HAM) UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR

Homotopy Analysis Method (HAM) merupakan sebuah metode yang digunakan untuk memperoleh barisan solusi dari berbagai permasalahan diferensial nonlinear. Metode ini merupakan hasil konstruksi dari persamaan deformasi orde nol ke persamaan deformasi orde tinggi yang berdasar pada konsep fungsi homotopi dan deret Taylor. Penelitian ini mengkaji pembentukan HAM dan aplikasinya pada beberapa penyelesaian persamaan diferensial nonlinear. Tahap-tahap penyelesaian masalah diferensial nonlinear menggunakan HAM diawali dengan sebuah permasalahan persamaan diferensial nonlinear yang dibentuk ke dalam operator diferensial nonlinear  dengan  parameter homotopi . Kemudian dari operator diferensial nonlinear tersebut dibangun persamaan deformasi orde ke-   sehingga diperoleh bentuk solusi  yang kemudian disubstitusikan ke dalam deret  untuk  sampai . Hasil penyelesaian diferensial nonlinear dengan menggunakan HAM berlaku jika memenuhi teorema solusi HAM, sebaliknya jika tidak memenuhi teorema tersebut maka penyelesaian permasalahan diferensial tidak berlaku.  Kata Kunci : Metode Analisis Homotopi, Persamaan Diferensial Nonlinea

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA DENGAN METODE BLOK K-LANGKAH

Penelitian ini mengkaji dan menentukan penyelesaian numerik persamaan diferensial biasa orde dua menggunakan metode blok k-langkah dengan banyaknya langkah  yaitu dua langkah dan tiga langkah. Nilai masing-masing koefisien pada metode blok dua langkah dan tiga langkah diperoleh dengan ekspansi deret Taylor. Metode  ini mampu menghitung penyelesaian numerik di dua titik atau lebih. Hasil penelitian diperoleh penyelesaian numerik dengan galat yang kecil mendekati penyelesaian eksaknya sehingga metode ini bisa menjadi alternatif untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde dua linear maupun nonlinear dengan baik.   Kata Kunci: Persamaan diferensial biasa, metode blok k-langkah, deret Taylo

METODE ALTERNATIF DALAM MENENTUKAN SOLUSI PARTIKULAR PERSAMAAN EULER-CAUCHY

Euler-Cauchy equation is the typical example of a linear ordinary differential equation with variable coefficients. In this paper, we apply the alternative method to determine the particular solution of Euler-Cauchy nonhomogenous with polynomial and natural logarithm form. An explicit formula of the particular solution is derived from the use of an upper triangular Toeplitz matrix. The study showed that this method could be finding the particular solution for the Euler-Cauchy equatio

ANALISIS JUMLAH TELLER OPTIMAL PADA SISTEM ANTRIAN DI PT. BANK RAKYAT INDONESIA (BRI) UNIT BENGKAYANG

Salah satu bank milik pemerintah terbesar di Indonesia adalah Bank Rakyat Indonesia (BRI), yang berguna sebagai badan hukum tempat masyarakat (nasabah) menyimpan atau menyalurkan dana dalam bentuk kredit, debit atau bentuk-bentuk lainnya untuk meningkatkan taraf hidup masyarakat. BRI Unit Bengkayang merupakan cabang dari Bank BRI yang berlokasi di kabupaten Bengkayang, Kalimantan Barat. Permasalahan yang sering terjadi di BRI Unit Bengkayang adalah terjadinya peningkatan jumlah kedatangan nasabah yang tidak menentu secara terus menerus dengan kapasitas jumlah teller dua orang dan ditambah lagi terjadinya jam istirahat dari jam 12.00-13.00 WIB, sehingga mengakibatkan antrian. Teori antrian merupakan metode yang digunakan sebagai menentukan alternatif model matematika dalam pengambilan keputusan suatu sistem antrian. Penelitian ini berguna untuk menentukan model sistem antrian di BRI Unit Bengkayang yang tepat dengan menganalisis data jumlah kedatangan nasabah dan waktu pelayanan selama tiga hari mulai hari Senin, 14 November 2022 sampai Rabu, 16 November 2022 dari jam 08.00-12.00 WIB. Analisis data tersebut dilakukan uji kecocokan distribusi Kolmogorov-Smirnov dengan Software R Studio dan Software Excel, sehingga diperoleh model antrian di BRI Unit Bengkayang yaitu (M/G/2):(FCFS/ / ). Selanjutnya, model antrian (M/G/2):(FCFS/ / ) dilakukan perhitungan kinerja sistem antrian secara keseluruhan dan disimpulkan bahwa teller BRI Unit Bengkayang sudah optimal karena dengan jumlah rata-rata kedatangan nasabah (λ) tidak lebih dari jumlah rata-rata kecepatan pelayanan nasabah (μ)