A formal proof of the Kepler conjecture

This article describes a formal proof of the Kepler conjecture on dense sphere packings in a combination of the HOL Light and Isabelle proof assistants. This paper constitutes the official published account of the now completed Flyspeck project

Projection aléatoire pour l'optimisation de grande dimension

In the digitization age, data becomes cheap and easy to obtain. That results in many new optimization problems with extremely large sizes. In particular, for the same kind of problems, the numbers of variables and constraints are huge. Moreover, in many application settings such as those in Machine learning, an accurate solution is less preferred as approximate but robust ones. It is a real challenge for traditional algorithms, which are used to work well with average-size problems, to deal with these new circumstances.Instead of developing algorithms that scale up well to solve these problems directly, one natural idea is to transform them into small-size problems that strongly relates to the originals. Since the new ones are of manageable sizes, they can still be solved efficiently by classical methods. The solutions obtained by these new problems, however, will provide us insight into the original problems. In this thesis, we will exploit the above idea to solve some high-dimensional optimization problems. In particular, we apply a special technique called random projection to embed the problem data into low dimensional spaces, and approximately reformulate the problem in such a way that it becomes very easy to solve but still captures the most important information. Therefore, by solving the projected problem, we either obtain an approximate solution or an approximate objective value for the original problem.We will apply random projection to study a number of important optimization problems, including linear and integer programming (Chapter 3), convex optimization with linear constraints (Chapter 4), membership and approximate nearest neighbor (Chapter 5) and trust-region subproblems (Chapter 6).In Chapter 3, we study optimization problems in their feasibility forms. In particular, we study the so-called restricted linear membership problem. This class contains many important problems such as linear and integer feasibility. We proposeto apply a random projection to the linear constraints, andwe want to find conditions on T, so that the two feasibility problems are equivalent with high probability.In Chapter 4, we continue to study the above problem in the case the restricted set is a convex set. Under that assumption, we can define a tangent cone at some point with minimal squared error. We establish the relations between the original and projected problems based on the concept of Gaussian width, which is popular in compressed sensing. In particular, we prove thatthe two problems are equivalent with high probability as long as for some random projection sampled from sub-gaussian ensemble with large enough dimension (depends on the gaussian width).In Chapter 5, we study the Euclidean membership problem: ``Given a vector b and a Euclidean closed set X, decide whether b is in Xor not". This is a generalization of the restricted linear membership problem considered previously. We employ a Gaussian random projection T to embed both b and X into a lower dimension space and study the corresponding projected version: ``Decide whether Tb is in T(X) or not". When X is finite or countable, using a straightforward argument, we prove that the two problems are equivalent almost surely regardless the projected dimension. In the case when X may be uncountable, we prove that the original and projected problems are also equivalent if the projected dimension d is proportional to some intrinsic dimension of the set X. In particular, we employ the definition of doubling dimension estimate the relation between the two problems.In Chapter 6, we propose to apply random projections for the trust-region subproblem. We reduce the number of variables by using a random projection and prove that optimal solutions for the new problem are actually approximate solutions of the original. This result can be used in the trust-region framework to study black-box optimization and derivative-free optimization.À l'ère de la numérisation, les données devient pas cher et facile à obtenir. Cela se traduit par de nombreux nouveaux problèmes d'optimisation avec de très grandes tailles. En particulier, pour le même genre de problèmes, le nombre de variables et de contraintes sont énormes. En outre, dans de nombreux paramètres d'application tels que ceux dans l'apprentissage de la machine, une solution précise est moins préférée que celles approximatives mais robustes. Il est un véritable défi pour les algorithmes traditionnels, qui sont utilisés pour bien travailler avec des problèmes de taille moyenne, pour faire face à ces nouvelles circonstances.Au lieu de développer des algorithmes qui évoluent bien à résoudre ces problèmes directement, une idée naturelle est de les transformer en problèmes de petite taille qui se rapporte fortement aux originaux. Étant donné que les nouvelles sont de tailles gérables, ils peuvent encore être résolus efficacement par des méthodes classiques. Les solutions obtenues par ces nouveaux problèmes, cependant, nous donner un aperçu des problèmes originaux. Dans cette thèse, nous allons exploiter l'idée ci-dessus pour résoudre certains problèmes de grande dimension optimisation. En particulier, nous appliquons une technique spéciale appelée projection aléatoire pour intégrer les données du problème dans les espaces de faible dimension, et de reformuler environ le problème de telle manière qu'il devient très facile à résoudre, mais capte toujours l'information la plus importante.Dans le chapitre 3, nous étudions les problèmes d'optimisation dans leurs formes de faisabilité. En particulier, nous étudions le problème que l'on appelle l'adhésion linéaire restreint. Cette classe contient de nombreux problèmes importants tels que la faisabilité linéaire et entier. Nous proposonsd'appliquer une projection aléatoire aux contraintes linéaires etnous voulons trouver des conditions sur T, de sorte que les deux problèmes de faisabilité sont équivalentes avec une forte probabilité.Dans le chapitre 4, nous continuons à étudier le problème ci-dessus dans le cas où l'ensemble restreint est un ensemble convexe. Nous établissons les relations entre les problèmes originaux et projetés sur la base du concept de la largeur gaussienne, qui est populaire dans la détection comprimé. En particulier, nous montrons que les deux problèmes sont équivalents avec une forte probabilité aussi longtemps que pour une projection aléatoire échantillonné à partir ensemble sous-gaussienne avec grande dimension suffisante (dépend de la largeur gaussienne).Dans le chapitre 5, nous étudions le problème de l'adhésion euclidienne:.. `` Étant donné un vecteur b et un euclidienne ensemble fermé X, décider si b est en Xor pas "Ceci est une généralisation du problème de l'appartenance linéaire restreinte précédemment considéré. Nous employons une gaussienne projection aléatoire T pour l'intégrer à la fois b et X dans un espace de dimension inférieure et étudier la version projetée correspondant. Lorsque X est fini ou dénombrable, en utilisant un argument simple, nous montrons que les deux problèmes sont équivalents presque sûrement quelle que soit la dimension projetée. Dans le cas où X peut être indénombrable, nous prouvons que les problèmes initiaux et prévus sont également équivalentes si la dimension d projetée est proportionnelle à une dimension intrinsèque de l'ensemble X. En particulier, nous employons la définition de doubler la dimension estimer la relation entre les deux problèmes.Dans le chapitre 6, nous proposons d'appliquer des projections aléatoires pour la zone de confiance sous-problème. Nous réduisons le nombre de variables en utilisant une projection aléatoire et prouver que des solutions optimales pour le nouveau problème sont en fait des solutions approchées de l'original. Ce résultat peut être utilisé dans le cadre de confiance-région pour étudier l'optimisation de boîte noire et l'optimisation des produits dérivés libre

Stratégies de décomposition et de génération de coupes pour résoudre les problèmes de déploiement multi-robots

International audienceIn this paper, we consider a multi-robot deployment problem involving a set of robots which must realize observation tasks at different locations and navigate through a shared network of waypoints. To solve this problem, we develop a two-level approach which alternates between (a) quickly obtaining high-level schedules based on a coarse grain CP model which approximates navigation tasks as setup times between observations , and (b) generating more accurate schedules based on a fine grain CP model which takes into account all resource usage conflicts during traversals of the shared network. The low-level layer also contains an explanation module able to generate constraints holding on high-level decision variables. These constraints (or cuts) account for interferences found in the low-level solutions and which the high-level scheduler should take into account to minimize the makespan. The proposed variants of the cut generation strategy are incomplete, the aim being to obtain good quality solutions in a short time, and they differ in the way they allow to diversify search. Experiments show the efficiency of this approach and the complementarity of the cut generation schemes proposed.Dans cet article, nous examinons un problème de déploiement de plusieurs robots qui doivent réaliser des tâches d'observation à différents endroits et naviguer dans un réseau partagé de points de cheminement. Pour résoudre ce problème, nous développons une approche à deux niveaux qui alterne entre (a) l'obtention rapide d'ordonnancements de haut niveau basés sur un modèle de PC à gros grain qui se rapproche des tâches de navigation comme temps de préparation entre les observations, et (b) la génération d'ordonnancements plus précis basés sur un modèle de PC à grain fin qui prend en compte tous les conflits d'utilisation des ressources pendant les traversées du réseau partagé. La couche de bas niveau contient également un module d'explication capable de générer des contraintes tenant compte des variables de décision de haut niveau. Ces contraintes (ou coupes) tiennent compte des interférences trouvées dans les solutions de bas niveau et dont le planificateur de haut niveau doit tenir compte pour minimiser le makespan. es variantes proposées de la stratégie de génération de coupes sont incomplètes, le but étant d'obtenir des solutions de bonne qualité dans un délai court, et elles diffèrent dans la manière dont elles permettent de diversifier la recherche. Les expériences montrent l'efficacité de cette approche et la complémentarité des schémas de génération de coupes proposés

Development of composite panels based on porous glass aerogels for acoustic applications

In this work, we present the results of research on manufacturing composite materials based on porous glass beads for acoustic treatment. A new material with fire resistance, heat resistance, impermeability, longevity, and insulation is made from foam glass beads (made from waste glass) and cement mortar. Firstly, the composite concrete panels with a high level of porosity 66%–82% and spherical pores in millimeter scale (i.e., ranging from 0.15mm to 10mm) are fabricated. Then, acoustical measurements are performed to characterize the sound absorbing coefficient and the transport properties of the selected composite panels. The measurement data are compared to the semi-phenomenological Johnson-Champoux-Allard-Lafarge model to show a good agreement in terms of predicting the sound absorption property. From the obtained results it can be stated that the open porosity and the thickness of the fabricated materials affect strongly their sound absorption performance. Within a panel thickness of 33.3mm, the aerogel-based concrete panel can provide a good sound absorption coefficient which could be more than 0.60 in the frequency range of [820 1290]Hz and reach the value of 0.84 at a low resonance frequency of ~1032Hz. The methodology, therefore, enables the identification and validation of acoustical models for specific porous glass aerogel-based materials and paves the way for an efficient exploration of the parameter space for acoustical materials design

Determining Optimal Gear Ratios of a Two-stage Helical Reducer for Getting Minimal Acreage of Cross Section

This article introduces a study on the optimal calculation of gear ratios of a two-stage helical reducer. In the study, the acreage of the cross section of the reducer was chosen as the objective function of the optimization problem. Also, the design equation for pitting resistance of a gear set was investigated. Furthermore, the equations on moment equilibrium condition of a two-stage helical reducer and their regular resistance condition were analysed. A computer program was performed to determine the optimal partial transmission ratios for getting the minimal acreage of the cross section of the system. From the results of the computer program, two models for determining the optimal gear ratios of a two-stage reducer were proposed. Using these models, the gear ratios can be calculated accurately in a simple way

Determining Optimal Gear Ratios of a Two-stage Helical Reducer for Getting Minimal Acreage of Cross Section

This article introduces a study on the optimal calculation of gear ratios of a two-stage helical reducer. In the study, the acreage of the cross section of the reducer was chosen as the objective function of the optimization problem. Also, the design equation for pitting resistance of a gear set was investigated. Furthermore, the equations on moment equilibrium condition of a two-stage helical reducer and their regular resistance condition were analysed. A computer program was performed to determine the optimal partial transmission ratios for getting the minimal acreage of the cross section of the system. From the results of the computer program, two models for determining the optimal gear ratios of a two-stage reducer were proposed. Using these models, the gear ratios can be calculated accurately in a simple way