Projection aléatoire pour l'optimisation de grande dimension

Abstract

In the digitization age, data becomes cheap and easy to obtain. That results in many new optimization problems with extremely large sizes. In particular, for the same kind of problems, the numbers of variables and constraints are huge. Moreover, in many application settings such as those in Machine learning, an accurate solution is less preferred as approximate but robust ones. It is a real challenge for traditional algorithms, which are used to work well with average-size problems, to deal with these new circumstances.Instead of developing algorithms that scale up well to solve these problems directly, one natural idea is to transform them into small-size problems that strongly relates to the originals. Since the new ones are of manageable sizes, they can still be solved efficiently by classical methods. The solutions obtained by these new problems, however, will provide us insight into the original problems. In this thesis, we will exploit the above idea to solve some high-dimensional optimization problems. In particular, we apply a special technique called random projection to embed the problem data into low dimensional spaces, and approximately reformulate the problem in such a way that it becomes very easy to solve but still captures the most important information. Therefore, by solving the projected problem, we either obtain an approximate solution or an approximate objective value for the original problem.We will apply random projection to study a number of important optimization problems, including linear and integer programming (Chapter 3), convex optimization with linear constraints (Chapter 4), membership and approximate nearest neighbor (Chapter 5) and trust-region subproblems (Chapter 6).In Chapter 3, we study optimization problems in their feasibility forms. In particular, we study the so-called restricted linear membership problem. This class contains many important problems such as linear and integer feasibility. We proposeto apply a random projection to the linear constraints, andwe want to find conditions on T, so that the two feasibility problems are equivalent with high probability.In Chapter 4, we continue to study the above problem in the case the restricted set is a convex set. Under that assumption, we can define a tangent cone at some point with minimal squared error. We establish the relations between the original and projected problems based on the concept of Gaussian width, which is popular in compressed sensing. In particular, we prove thatthe two problems are equivalent with high probability as long as for some random projection sampled from sub-gaussian ensemble with large enough dimension (depends on the gaussian width).In Chapter 5, we study the Euclidean membership problem: ``Given a vector b and a Euclidean closed set X, decide whether b is in Xor not". This is a generalization of the restricted linear membership problem considered previously. We employ a Gaussian random projection T to embed both b and X into a lower dimension space and study the corresponding projected version: ``Decide whether Tb is in T(X) or not". When X is finite or countable, using a straightforward argument, we prove that the two problems are equivalent almost surely regardless the projected dimension. In the case when X may be uncountable, we prove that the original and projected problems are also equivalent if the projected dimension d is proportional to some intrinsic dimension of the set X. In particular, we employ the definition of doubling dimension estimate the relation between the two problems.In Chapter 6, we propose to apply random projections for the trust-region subproblem. We reduce the number of variables by using a random projection and prove that optimal solutions for the new problem are actually approximate solutions of the original. This result can be used in the trust-region framework to study black-box optimization and derivative-free optimization.À l'ère de la numérisation, les données devient pas cher et facile à obtenir. Cela se traduit par de nombreux nouveaux problèmes d'optimisation avec de très grandes tailles. En particulier, pour le même genre de problèmes, le nombre de variables et de contraintes sont énormes. En outre, dans de nombreux paramètres d'application tels que ceux dans l'apprentissage de la machine, une solution précise est moins préférée que celles approximatives mais robustes. Il est un véritable défi pour les algorithmes traditionnels, qui sont utilisés pour bien travailler avec des problèmes de taille moyenne, pour faire face à ces nouvelles circonstances.Au lieu de développer des algorithmes qui évoluent bien à résoudre ces problèmes directement, une idée naturelle est de les transformer en problèmes de petite taille qui se rapporte fortement aux originaux. Étant donné que les nouvelles sont de tailles gérables, ils peuvent encore être résolus efficacement par des méthodes classiques. Les solutions obtenues par ces nouveaux problèmes, cependant, nous donner un aperçu des problèmes originaux. Dans cette thèse, nous allons exploiter l'idée ci-dessus pour résoudre certains problèmes de grande dimension optimisation. En particulier, nous appliquons une technique spéciale appelée projection aléatoire pour intégrer les données du problème dans les espaces de faible dimension, et de reformuler environ le problème de telle manière qu'il devient très facile à résoudre, mais capte toujours l'information la plus importante.Dans le chapitre 3, nous étudions les problèmes d'optimisation dans leurs formes de faisabilité. En particulier, nous étudions le problème que l'on appelle l'adhésion linéaire restreint. Cette classe contient de nombreux problèmes importants tels que la faisabilité linéaire et entier. Nous proposonsd'appliquer une projection aléatoire aux contraintes linéaires etnous voulons trouver des conditions sur T, de sorte que les deux problèmes de faisabilité sont équivalentes avec une forte probabilité.Dans le chapitre 4, nous continuons à étudier le problème ci-dessus dans le cas où l'ensemble restreint est un ensemble convexe. Nous établissons les relations entre les problèmes originaux et projetés sur la base du concept de la largeur gaussienne, qui est populaire dans la détection comprimé. En particulier, nous montrons que les deux problèmes sont équivalents avec une forte probabilité aussi longtemps que pour une projection aléatoire échantillonné à partir ensemble sous-gaussienne avec grande dimension suffisante (dépend de la largeur gaussienne).Dans le chapitre 5, nous étudions le problème de l'adhésion euclidienne:.. `` Étant donné un vecteur b et un euclidienne ensemble fermé X, décider si b est en Xor pas "Ceci est une généralisation du problème de l'appartenance linéaire restreinte précédemment considéré. Nous employons une gaussienne projection aléatoire T pour l'intégrer à la fois b et X dans un espace de dimension inférieure et étudier la version projetée correspondant. Lorsque X est fini ou dénombrable, en utilisant un argument simple, nous montrons que les deux problèmes sont équivalents presque sûrement quelle que soit la dimension projetée. Dans le cas où X peut être indénombrable, nous prouvons que les problèmes initiaux et prévus sont également équivalentes si la dimension d projetée est proportionnelle à une dimension intrinsèque de l'ensemble X. En particulier, nous employons la définition de doubler la dimension estimer la relation entre les deux problèmes.Dans le chapitre 6, nous proposons d'appliquer des projections aléatoires pour la zone de confiance sous-problème. Nous réduisons le nombre de variables en utilisant une projection aléatoire et prouver que des solutions optimales pour le nouveau problème sont en fait des solutions approchées de l'original. Ce résultat peut être utilisé dans le cadre de confiance-région pour étudier l'optimisation de boîte noire et l'optimisation des produits dérivés libre