Reallocating Multiple Facilities on the Line

We study the multistage $K$-facility reallocation problem on the real line, where we maintain $K$ facility locations over $T$ stages, based on the stage-dependent locations of $n$ agents. Each agent is connected to the nearest facility at each stage, and the facilities may move from one stage to another, to accommodate different agent locations. The objective is to minimize the connection cost of the agents plus the total moving cost of the facilities, over all stages. $K$-facility reallocation was introduced by de Keijzer and Wojtczak, where they mostly focused on the special case of a single facility. Using an LP-based approach, we present a polynomial time algorithm that computes the optimal solution for any number of facilities. We also consider online $K$-facility reallocation, where the algorithm becomes aware of agent locations in a stage-by-stage fashion. By exploiting an interesting connection to the classical $K$-server problem, we present a constant-competitive algorithm for $K = 2$ facilities

High dimensional Approximate r-nets with emphasis on vectors on a unit hypercube

Σε αυτή τη διπλωματική, παρουσιάζουμε έναν αλγόριθμο για την κατασκευή προσεγγιστικών $r$-nets σε Ευκλείδιο χώρο υψηλής διάστασης. Δεδομένου ενός μετρικού χώρου $X,|X|=n$, ένα $r$-net είναι ένα υποσύνολο $Ν$ των αρχικών σημείων, τέτοιο ώστε τα σημεία που ανήκουν στο $Ν$ έχουν απόσταση τουλάχιστον $r$, και όλα τα υπόλοιπα σημεία του σημειοσυνόλου απέχουν απόσταση από τα σημεία του $Ν$ το πολύ $r.$ Για την κατασκευή $r$-net, έχουν προταθεί διάφοροι αλγόριθμοι, οι οποίοι έχουν χρόνο τερματισμού τετραγωνικό στο πλήθος του σημειοσυνόλου ή εκθετικό στη διάσταση του μετρικού χώρου, με ανάλυση χειρότερης περίπτωσης. Οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται συχνότερα είναι αυτή της άπληστης μεθόδου, καθώς και της δημιουργίας πλεγμάτων σε συνδυασμό με κατακερματισμό και κουβάδιασμα. Τέτοιοι αλγόριθμοι δεν μπορούν να θεωρηθούν αποδοτικοί σε περιπτώσεις μεγάλου πλήθους σημείων και σε περιπτώσεις μετρικών χώρων με υψηλή διάσταση. Μια αποδοτική προσέγγιση για το πρόβλημα της κατασκευής $r$-net σε υψηλή διάσταση είναι ο αλγόριθμος των \cite{EHS15}, οποίος βασίζεται στο LSH (Locality Sensitive Hashing). Ο αλγόριθμός τους είναι πιθανοκρατικός και υπολογίζει προσεγγιστικά $r$-net, με μεγάλη πιθανότητα. O προσεγγιστικός λόγος είναι $1+\epsilon$, για κάθε \epsilon>0, και η χρονική πολυπλοκότητα είναι $\tilde{O}(dn^{2-\Theta({\epsilon})})$, για κατάλληλα μικρά $\epsilon$, όπου το $\tilde{O}$ κρύβει πολυλογαριθμικούς παράγοντες. Ο αλγόριθμος που αναπτύσσουμε για την κατασκευή $r$-nets βελτιώνει το αποτέλεσμα των \cite{EHS15} όσο αφορά την εξάρτηση από το $\epsilon$, για κατάλληλα μικρά $\epsilon$. Συγκεκριμένα, η πολυπλοκλότητα του αλγορίθμου είναι $\tilde{O}(dn^{2-\Theta(\sqrt{\epsilon})})$ και υπολογίζει $(1+\epsilon)r$-nets με μεγάλη πιθανότητα. Επιπλέον, η μέθοδος που χρησιμοποιούμε δεν βασίζεται στο LSH, αντιθέτως εκμεταλλεύεται φαινόμενα που εμφανίζονται σε υψηλές διαστάσεις. Η προσέγγισή μας ακολουθεί αυτή του Valiant \cite{Val15}, για την επίλυση του προβλήματος του προσεγγιστικά κοντινότερου γείτονα. Αρχικά ανάγουμε το πρόβλημά του υπολογισμολού του $r$-net για αυθαίρετα διανύσματα με Ευκλείδια απόσταση στο ίδιο πρόβλημα για μοναδιαία διανύσματα και ακολουθούν διάφορες μετατροπές του προβλήματος όπως μετασχηματισμοί των μοναδιαίων διανυσμάτων σε διανύσματα με στοιχεία 1 ή -1, μετάφραση της Ευκλείδιας απόστασης σε εσωτερικό γινόμενο, και εμβάπτιση του σημειοσυνόλου έτσι ώστε να μπορούμε να ξεχωρίσουμε "μακρινά" και "κοντινά" σημεία. Όλες αυτές οι αναγωγές απαιτούν αποδείξεις ορθότητας, που εγγυώνται ότι θα έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα, με μεγάλη πιθανότητα, και ότι το συσσωρευτικό σφάλμα, που προκύπτει από την ακολουθία των μετασχηματισμών, είναι στα επιτρεπτά όρια. Στο τελικό στάδιο του αλγορίθμου εκμεταλλευόμαστε γρήγορο πολλαπλασιασμό πινάκων. Ο αλγόριθμός μας μπορεί να χρησιμoποιηθεί σαν υπορουτίνα στο πλαίσιο Net and Prune και να επιλύσει αποδοτικά σε χώρο υψηλής διάστάσης προβλήματα, όπως το $k$-center και $k$-th nearest neighbor distance.The construction of $r$-nets offers a powerful tool in computational and metric geometry. We focus on high-dimensional spaces and present a new randomized algorithm which efficiently computes approximate $r$-nets with respect to Euclidean distance. For any fixed \epsilon>0, the approximation factor is $1+\epsilon$ and the complexity is polynomial in the dimension and subquadratic in the number of points. The algorithm succeeds with high probability. More specifically, the best previously known LSH-based construction of Eppstein et al.\ \cite{EHS15} is improved in terms of complexity by reducing the dependence on $\epsilon$, provided that $\epsilon$ is sufficiently small. Our method does not require LSH but, instead, follows Valiant's \cite{Val15} approach in designing a sequence of reductions of our problem to other problems in different spaces, under Euclidean distance or inner product, for which $r$-nets are computed efficiently and the error can be controlled. Our result immediately implies efficient solutions to a number of geometric problems in high dimension, such as finding the $(1+\epsilon)$-approximate $k$th nearest neighbor distance in time subquadratic in the size of the input

High-dimensional approximate r-nets

International audienceThe construction of r-nets offers a powerful tool in computational and metric geometry. We focus on high-dimensional spaces and present a new randomized algorithm which efficiently computes approximate $r$-nets with respect to Euclidean distance. For any fixed \epsilon>0, the approximation factor is 1+\epsilon and the complexity is polynomial in the dimension and subquadratic in the number of points. The algorithm succeeds with high probability. More specifically, the best previously known LSH-based construction of Eppstein et al. [EHS15] is improved in terms of complexity by reducing the dependence on \epsilon, provided that $\epsilon$ is sufficiently small. Our method does not require LSH but, instead, follows Valiant's [Val15] approach in designing a sequence of reductions of our problem to other problems in different spaces, under Euclidean distance or inner product, for which r-nets are computed efficiently and the error can be controlled. Our result immediately implies efficient solutions to a number of geometric problems in high dimension, such as finding the (1+\epsilon)-approximate k-th nearest neighbor distance in time subquadratic in the size of the input

Fairness Aware Counterfactuals for Subgroups

In this work, we present Fairness Aware Counterfactuals for Subgroups (FACTS), a framework for auditing subgroup fairness through counterfactual explanations. We start with revisiting (and generalizing) existing notions and introducing new, more refined notions of subgroup fairness. We aim to (a) formulate different aspects of the difficulty of individuals in certain subgroups to achieve recourse, i.e. receive the desired outcome, either at the micro level, considering members of the subgroup individually, or at the macro level, considering the subgroup as a whole, and (b) introduce notions of subgroup fairness that are robust, if not totally oblivious, to the cost of achieving recourse. We accompany these notions with an efficient, model-agnostic, highly parameterizable, and explainable framework for evaluating subgroup fairness. We demonstrate the advantages, the wide applicability, and the efficiency of our approach through a thorough experimental evaluation of different benchmark datasets

Άμεσοι αλγόριθμοι για προβλήματα δυναμικής συνάθροισης

In this PhD thesis, we study online variants of Dynamic Aggregation problems that are generalizations of prominent and well studied online problems. In the online setting, we additionally assume that the input arrives piece-by-piece and that the online algorithm has to provide a solution for the input piece of the current stage before it sees the upcoming input pieces of future stages. The decision quality of the online algorithm is evaluated against an optimal offline algorithm, which is given the whole problem data from the beginning. The performance of the online algorithm is measured by the competitive ratio which is the worst-case ratio between the online cost and the optimal offline cost. We consider the online variants of the Min-Sum Set Cover problem, the K-Facility Reallocation problem and the Dynamic Facility Location problem. For all the aforementioned problems, we design online algorithms and we prove upper bounds on their competitive ratio. Moreover, we construct difficult instances for these problems and we prove lower bounds on the competitive ratio of online algorithms on these instances. The majority the upper bounds are close (or the same) with the lower bounds that we prove and this ensures that our online algorithms are optimal or near optimal.Σε αυτή την διδακτορική διατριβή, μελετάμε άμεσους αλγόριθμους για προβλήματα Δυναμικής Συνάθροισης. Στην περίπτωση των άμεσων αλγόριθμων θεωρούμε ότι η είσοδοςτων προβλημάτων δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων, αλλά αποκαλύπτεται κομμάτι‐κομμάτι στον αλγόριθμο. Τα αποτελέσματα μας αφορούν άμεσες εκδοχές των προβλημάτων Κάλυψης Συνόλου Ελάχιστου Αθροίσματος , Ανακατανομής Κ‐Υπηρεσιών και Δυναμικής Χωροθέτησης Υπηρεσιών. Για όλα αυτά τα προβλήματα σχεδιάζουμε άμεσους αλγόριθμους και αποδεικνύουμε την αποτελεσματικότητά τους. Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε άνω φράγματα στον λόγο ανταγωνιστικότητας των άμεσων αλγορίθμων μας. Ο λόγος ανταγωνιστικότητας ορίζεται ως ο χειρότερος δυνατό λόγος ανάμεσα στο κόστος της λύσης του άμεσου αλγορίθμου και στο κόστος της λύσης ενός βέλτιστου αλγορίθμου, ο οποίος επιπλέον γνωρίζει όλη την είσοδο εκ των προτέρων. Επιπλέον, σχεδιάζουμε δύσκολα στιγμιότυπα για όλα τα προβλήματα που μελετάμε, τα οποία μας δίνουν την δυνατότητα να αποδείξουμε κάτω φράγματα στον καλύτερο δυνατό λόγο ανταγωνιστικότητας που μπορεί να επιτύχει οποιοσδήποτε άμεσος αλγόριθμος. Αυτό σημαίνει ότι κανένας αλγόριθμος δεν μπορεί να πετύχει καλύτερο λόγο ανταγωνιστικότητας από το κάτω φράγμα που ισχύει για τα δύσκολα στιγμιότυπα. Στις περισσότερες περιπτώσεις, τα κάτω φράγματα είναι πολύ κοντά στα άνω φράγματα (σε κάποιες περιπτώσεις ταυτίζονται) και το γεγονός αυτό αποδεικνύει ότι οι αλγόριθμοι που έχουμε διατυπώσει και αναλύσει είναι βέλτιστοι ή σχεδόν βέλτιστοι για το αντίστοιχο πρόβλημα

High-Dimensional Approximate r-Nets

International audienceThe construction of r-nets offers a powerful tool in computational and metric geometry. We focus on high-dimensional spaces and present a new randomized algorithm which efficiently computes approximate r-nets with respect to Euclidean distance. For any fixed ϵ>0, the approximation factor is 1+ϵ and the complexity is polynomial in the dimension and subquadratic in the number of points; the algorithm succeeds with high probability. Specifically, we improve upon the best previously known (LSH-based) construction of Eppstein et al. (Approximate greedy clustering and distance selection for graph metrics, 2015. CoRR arxiv: abs/1507.01555) in terms of complexity, by reducing the dependence on ϵ, provided that ϵ is sufficiently small. Moreover, our method does not require LSH but follows Valiant’s (J ACM 62(2):13, 2015. https://doi.org/10.1145/2728167) approach in designing a sequence of reductions of our problem to other problems in different spaces, under Euclidean distance or inner product, for which r-nets are computed efficiently and the error can be controlled. Our result immediately implies efficient solutions to a number of geometric problems in high dimension, such as finding the (1+ϵ)-approximate k-th nearest neighbor distance in time subquadratic in the size of the input

Telecommunications in North America

SIGLEAvailable from British Library Document Supply Centre-DSC:Vq97/03538 / BLDSC - British Library Document Supply CentreGBUnited Kingdo

The Online Min-Sum Set Cover Problem

We consider the online Min-Sum Set Cover (MSSC), a natural and intriguing generalization of the classical list update problem. In Online MSSC, the algorithm maintains a permutation on n elements based on subsets S₁, S₂, … arriving online. The algorithm serves each set S_t upon arrival, using its current permutation π_t, incurring an access cost equal to the position of the first element of S_t in π_t. Then, the algorithm may update its permutation to π_{t+1}, incurring a moving cost equal to the Kendall tau distance of π_t to π_{t+1}. The objective is to minimize the total access and moving cost for serving the entire sequence. We consider the r-uniform version, where each S_t has cardinality r. List update is the special case where r = 1. We obtain tight bounds on the competitive ratio of deterministic online algorithms for MSSC against a static adversary, that serves the entire sequence by a single permutation. First, we show a lower bound of (r+1)(1-r/(n+1)) on the competitive ratio. Then, we consider several natural generalizations of successful list update algorithms and show that they fail to achieve any interesting competitive guarantee. On the positive side, we obtain a O(r)-competitive deterministic algorithm using ideas from online learning and the multiplicative weight updates (MWU) algorithm. Furthermore, we consider efficient algorithms. We propose a memoryless online algorithm, called Move-All-Equally, which is inspired by the Double Coverage algorithm for the k-server problem. We show that its competitive ratio is Ω(r²) and 2^{O(√{log n ⋅ log r})}, and conjecture that it is f(r)-competitive. We also compare Move-All-Equally against the dynamic optimal solution and obtain (almost) tight bounds by showing that it is Ω(r √n) and O(r^{3/2} √n)-competitive.ISSN:1868-896