On tensor decompositions and algebraic structure of the mixed and transverse ray transforms

The geodesic ray transform, the mixed ray transform and the transverse ray transform of a tensor field on a manifold can all be seen as what we call mixing ray transforms, compositions of the geodesic ray transform and an invertible linear map on tensor fields. We show that the characterization of the kernel and the stability of a mixing ray transform can be reduced to the same properties of any other mixing ray transform. Our approach applies to various geometries and ray transforms, including the light ray transform. In particular, we extend studies in de Hoop--Saksala--Zhai (2019) from compact simple surfaces to orientable surfaces with solenoidally injective geodesic ray transform. Our proofs are based on algebraic arguments.Comment: 26 pages, minor changes and correction

The higher order fractional Calder\'on problem for linear local operators: uniqueness

We study an inverse problem for the fractional Schr\"odinger equation (FSE) with a local perturbation by a linear partial differential operator (PDO) of order smaller than the order of the fractional Laplacian. We show that one can uniquely recover the coefficients of the PDO from the Dirichlet-to-Neumann (DN) map associated to the perturbed FSE. This is proved for two classes of coefficients: coefficients which belong to certain spaces of Sobolev multipliers and coefficients which belong to fractional Sobolev spaces with bounded derivatives. Our study generalizes recent results for the zeroth and first order perturbations to higher order perturbations.Comment: 20 page

Laskennallisista inversio-ongelmista - erityisesti tilastollinen lähestymistapa ja sen soveltaminen ilmakehän kaukokartoituksessa

Tutkielmassa tutustutaan laskennallisten inversio-ongelmien teoriaan kirjallisuuden ja tieteellisten artikkelien perusteella. Laskennallisessa inversio-ongelmassa suora malli kuvaa tuntemattoman tilan ja epäsuorasti mitatun suureen välisen yhteyden. Inversio-ongelmassa taas ratkaistaan suoran mallin määrittämä yhtälö käänteiseen suuntaan, kun olemme saaneet yhtälöstä äärellisen määrän kohinallisia mittauksia. Ratkaisuun liittyvää epävarmuutta voidaan arvioida luonnollisella tavalla käyttäen todennäköisyysteoriaa, jolloin kaikki muuttujat esitetään Lebesguen mitan suhteen absoluuttisesti jatkuvina satunnaismuuttujina. Tällöin määrittelemme inversio-ongelman ratkaisuksi tuntemattoman muuttujan posteriorijakauman määrittämisen. Tutkielmassa keskitytään erityisesti inversio-ongelman tilastolliseen ratkaisemiseen, kun suora malli tunnetaan. Tutkielman puhtaan matematiikan aiheet johdattelevat lukijan funktionaalianalyysiin sekä mitta- ja todennäköisyysteorioihin, mitkä luovat teoreettisen viitekehyksen inversio-ongelmien esittämiseen. Käytännön sovelluksissa rajoittuminen reaalianalyysiin ja matriisilaskentaan on kuitenkin usein riittävää. Yhtenä keskeisenä esimerkkinä käsittelemmekin lineaarisia inversio-ongelmia euklidisessa avaruudessa. Epälineaaristen inversio-ongelmien ratkaisumenetelminä esittelemme differentiaalilaskentaan perustuvan Levenbergin-Marquardtin algoritmin (LMA) ja Markovin ketju Monte Carlo (MCMC) -menetelmiä, kuten Metropolisin-Hastingsin (MH) ja adaptiivisen Metropolisin (AM) algoritmit. Näytämme tutkielmassa lisäksi, miten dimension redusointimenetelmiä, kuten pääkomponenttianalyysia (PCA), voidaan soveltaa inversio-ongelman ratkaisemisessa. Tutkielmassa esitellään kasvihuonekaasujen kaukokartoitusta laskennallisten inversio-ongelmien sovelluksena. Sovellukseen liittyviä simulaatioita ja kehitystyötä voidaan pitää tieteellisesti uutena tutkimuksena. Tutkielmaan liittyvä soveltava osuus on tehty Ilmatieteen laitoksella, Uudet havaintomentelmät -yksikön Ilmakehän kaukokartoitus -ryhmässä, vuosina 2013–2014

Fourier Analysis of Periodic Radon Transforms

We study reconstruction of an unknown function from its d-plane Radon transform on the flat torus {\mathbb {T}}^n = {\mathbb {R}}^n /{\mathbb {Z}}^n when 1 \le d \le n-1. We prove new reconstruction formulas and stability results with respect to weighted Bessel potential norms. We solve the associated Tikhonov minimization problem on H^s Sobolev spaces using the properties of the adjoint and normal operators. One of the inversion formulas implies that a compactly supported distribution on the plane with zero average is a weighted sum of its X-ray data.peerReviewe

Geodesic Tomography Problems on Riemannian Manifolds

This dissertation is concerned with integral geometric inverse problems. The geodesic ray transform is an operator that encodes the line integrals of a function along geodesics. The dissertation establishes many conditions when such information determines a function uniquely and stably. A new numerical model for computed tomography imaging is created as a part of the dissertation. The introduction of the dissertation contains an introduction to inverse problems and mathematical models associcated to computed tomography. The main focus is in definitions of integral geometry problems, survey of the related literature, and introducing the main results of the dissertation. A list of important open problems in integral geometry is given. In the first article of the dissertation, it is shown that a symmetric solenoidal tensor field can be determined uniquely from its geodesic ray transform on Cartan-Hadamard manifolds, when certain geometric decay conditions are satisfied. The studied integral transforms appear in inverse scattering theory in quantum physics and general relativity. In the second article of the dissertation, it is shown that a piecewise constant vector-valued function can be determined uniquely from its geodesic ray transform with a continuous and non-singular matrix weight on Riemannian manifolds that admit a strictly convex function and have a strictly convex boundary. These integral transforms can be used to model attenuated ray transforms and inverse problems for connections and Higgs fields. The third and fourth articles of the dissertation study the geodesic ray transform over closed geodesics on flat tori when the functions have low regularity assumptions. The fourth article studies a generalization of the geodesic ray transform when the integrals of a function are known over lower dimensional isometrically embedded flat tori. New inversion formulas, regularization strategies and stability estimates are proved in the articles. The new results have applications in different computational tomography methods.Väitöskirjassa tutkitaan integraaligeometriaan liittyviä inversio-ongelmia. Geodeettinen sädemuunnos on operaattori, joka laskee funktion polkuintegraalin geodeesia pitkin. Väitöskirjassa määritetään monia ehtoja, joilla tällainen tieto määrää funktion yksikäsitteisesti ja vakaasti. Lisäksi osana väitöskirjan työtä on toteutettu numeerinen malli, jota voidaan käyttää tietokonetomografiassa. Väitöskirjan johdannossa esitetään inversio-ongelmien peruskäsitteitä ja tietokonetomografiaan läheisesti liittyviä matemaattisia malleja. Johdannon pääpaino on integraaligeometriaan liittyvien mallien määrittelyssä, tutkimusaiheen kirjallisuuskatsauksessa ja väitöskirjan tutkimustulosten esittelyssä. Lisäksi annetaan lista integraaligeometrian tärkeistä avoimista matemaattisista ongelmista. Väitöskirjan ensimmäisessä artikkelissa osoitetaan, että symmetrinen solenoidaalinen tensorikenttä voidaan määrätä yksikäsitteisesti sen geodeettisesta sädemuunnoksesta Cartan-Hadamard monistolla, kun tietyt geometriasta riippuvat vähenemisehdot täyttyvät. Tutkittu integraalimuunnos esiintyy sirontaan liittyvissä käänteisongelmissa kvanttifysiikassa ja yleisessä suhteellisuusteoriassa. Väitöskirjan toisessa artikkelissa näytetään, että paloittain vakio vektoriarvoinen funktio voidaan määrittää yksikäsitteisesti sen matriisipainotetusta geodeettisesta sädemuunnoksesta reunallisella Riemannin monistolla, jos geometria sallii aidosti konveksin funktion olemassaolon ja epäsingulaarinen matriisipaino riippuu jatkuvasti sen sijainnista moniston yksikköpallokimpulla. Tällaista integraalimuunnosta voidaan käyttää mallintamaan attenuoitua sädemuunnosta sekä inversioongelmia konnektiolle ja Higgsin kentälle. Väitöskirjan kolmannessa ja neljännessä artikkelissa tutkitaan geodeettista sädemuunnosta suljettujen geodeesien yli toruksella, kun funktioiden säännöllisyys on alhainen. Neljännessä artikkelissa tarkastellaan lisäksi tällaisen muunnoksen yleistystä, kun funktion integraalit tunnetaan isometrisesti upotettujen alempiasteisten toruksien yli. Artikkeleissa todistetaan uusia rekonstruktiokaavoja, regularisointistrategioita ja vakausestimaatteja tällaisille integraalimuunnoksille. Saaduilla tutkimustuloksilla on sovelluskohteita erilaisissa laskennallisissa tomografiamenetelmissä

Fractional Calderón problems and Poincaré inequalities on unbounded domains

We generalize many recent uniqueness results on the fractional Calderón problem to cover the cases of all domains with nonempty exterior. The highlight of our work is the characterization of uniqueness and nonuniqueness of partial data inverse problems for the fractional conductivity equation on domains that are bounded in one direction for conductivities supported in the whole Euclidean space and decaying to a constant background conductivity at infinity. We generalize the uniqueness proof for the fractional Calderón problem by Ghosh, Salo and Uhlmann to a general abstract setting in order to use the full strength of their argument. This allows us to observe that there are also uniqueness results for many inverse problems for higher order local perturbations of a lower order fractional Laplacian. We give concrete example models to illustrate these curious situations and prove Poincaré inequalities for the fractional Laplacians of any order on domains that are bounded in one direction. We establish Runge approximation results in these general settings, improve regularity assumptions also in the cases of bounded sets and prove general exterior determination results. Counterexamples to uniqueness in the inverse fractional conductivity problem with partial data are constructed in another companion work.ISSN:1664-039XISSN:1664-040

Geodesic ray transform with matrix weights for piecewise constant functions

We show injectivity of the geodesic X-ray transform on piecewise constant functions when the transform is weighted by a continuous matrix weight. The manifold is assumed to be compact and nontrapping of any dimension, and in dimension three and higher we assume a foliation condition. We make no assumption regarding conjugate points or differentiability of the weight. This extends recent results for unweighted transforms.peerReviewe

Unique continuation property and Poincaré inequality for higher order fractional Laplacians with applications in inverse problems

We prove a unique continuation property for the fractional Laplacian (−Δ)s when s∈(−n/2,∞)∖Z where n≥1. In addition, we study Poincaré-type inequalities for the operator (−Δ)s when s≥0. We apply the results to show that one can uniquely recover, up to a gauge, electric and magnetic potentials from the Dirichlet-to-Neumann map associated to the higher order fractional magnetic Schrödinger equation. We also study the higher order fractional Schrödinger equation with singular electric potential. In both cases, we obtain a Runge approximation property for the equation. Furthermore, we prove a uniqueness result for a partial data problem of the d-plane Radon transform in low regularity. Our work extends some recent results in inverse problems for more general operators.peerReviewe

The fractional p -biharmonic systems: optimal Poincaré constants, unique continuation and inverse problems

This article investigates nonlocal, quasilinear generalizations of the classical biharmonic operator (- Δ) 2. These fractional p -biharmonic operators appear naturally in the variational characterization of the optimal fractional Poincaré constants in Bessel potential spaces. We study the following basic questions for anisotropic fractional p -biharmonic systems: existence and uniqueness of weak solutions to the associated interior source and exterior value problems, unique continuation properties, monotonicity relations, and inverse problems for the exterior Dirichlet-to-Neumann maps. Furthermore, we show the UCP for the fractional Laplacian in all Bessel potential spaces Ht,p for any t∈ R, 1 ≤ p< ∞ and s∈ R+\ N: If u∈ Ht,p(Rn) satisfies (- Δ) su= u= 0 in a nonempty open set V, then u≡ 0 in Rn. This property of the fractional Laplacian is then used to obtain a UCP for the fractional p -biharmonic systems and plays a central role in the analysis of the associated inverse problems. Our proofs use variational methods and the Caffarelli–Silvestre extension.ISSN:0944-2669ISSN:1432-083