A Short Note on the Bruinier-Kohnen Sign Equidistribution Conjecture and Hal\'asz' Theorem

In this note, we improve earlier results towards the Bruinier-Kohnen sign equidistribution conjecture for half-integral weight modular eigenforms in terms of natural density by using a consequence of Hal\'asz' Theorem. Moreover, applying a result of Serre we remove all unproved assumptions.Comment: 4 pages, main result made unconditional, minor changes due to referee's report

On conjectures of Sato-Tate and Bruinier-Kohnen

This article covers three topics. (1) It establishes links between the density of certain subsets of the set of primes and related subsets of the set of natural numbers. (2) It extends previous results on a conjecture of Bruinier and Kohnen in three ways: the CM-case is included; under the assumption of the same error term as in previous work one obtains the result in terms of natural density instead of Dedekind-Dirichlet density; the latter type of density can already be achieved by an error term like in the prime number theorem. (3) It also provides a complete proof of Sato-Tate equidistribution for CM modular forms with an error term similar to that in the prime number theorem.Comment: 26 pages; to appear in The Ramanujan Journa

Fast computation of half-integral weight modular forms

To study statistical properties of modular forms, including for instance Sato-Tate like problems, it is essential to have a large number of Fourier coefficients. In this article, we exhibit three bases for the space of modular forms of any half-integral weight and level 4, which have the property that many coefficients can be computed (relatively) quickly on a computer.Comment: 8 pages; major improvements in the comparision between the different algorithm

On The Hecke Eigenforms of Half-Integral Weight and Dedekind-Eta Products

Systematic choice of the Hecke eigenforms of half-integral weight is an interesting problem in the theory of modular forms. In this paper, we find all Dedekind-eta products of half-integral weight which are Hecke eigenforms up to weight 15/2 with varying levels. Proof is based on the Shimura lift

A Short Note on the Pell-Lucas-Eisenstein Series

In this work, we define a new type of Eisenstein-like series by using Pell-Lucas numbers and call them the Pell-Lucas-Eisenstein Series. Firstly, we show that the Pell-Lucas-Eisenstein series are convergent on their domain. Afterwards we prove that they satisfy some certain functional equations. Proofs follows from some on calculations on Pell-Lucas numbers.Comment: 5 pages, might differ slightly from the published versio

On the distribution of coefficients of half-integral weight modular forms and the Bruinier-Kohnen Conjecture

This work represents a systematic computational study of the distribution of the Fourier coefficients of cuspidal Hecke eigenforms of level $\Gamma_0(4)$ and half-integral weights. Based on substantial calculations, the question is raised whether the distribution of normalised Fourier coefficients with bounded indices can be approximated by a generalised Gaussian distribution. Moreover, it is argued that the apparent symmetry around zero of the data lends strong evidence to the Bruinier-Kohnen Conjecture on the equidistribution of signs and even suggests the strengthening that signs and absolute values are distributed independently.Comment: v3: minor revision, might differ slightly from the published versio

Selmer Groups in Twist Families of Elliptic Curves

The aim of this article is to give some numerical data related to the order of the Selmer groups in twist families of elliptic curves. To do this we assume the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture is true and we use a celebrated theorem of Waldspurger to get a fast algorithm to compute $$. Having an extensive amount of data we compare the distribution of the order of the Selmer groups by functions of type $\alpha \frac{(\log \log (X))^{1+\varepsilon}}{\log (X)}$ with $\varepsilon$ small. We discuss how the "best choice" of $\alpha$ is depending on the conductor of the chosen elliptic curves and the congruence classes of twist factors.Comment: to appear in Quaestiones Mathematicae. 16 page

Analytic covering maps and application for the modular functions

Üç bölümden oluşan bu çalışmada örtü uzayları, analitik örtü uzayları, modüler fonksiyon ve modüler fonksiyonun örtü dönüşümlerine uygulamaları ele alınmıştır. Birinci bölümde ilerideki bölümlere hazırlık olması amacıyla bazı temel kavramlar tanıtılmıştır. Ayrıca ikinci ve üçüncü bölümdeki teoremlerin ispatlarında kullanılmak üzere bazı önemli teoremler ispatsız olarak verilmiştir. İkinci bölüme örtü dönüşümü yardımıyla elde edilen örtü uzayları tanıtılarak başlanmıştır. Ardından örtü uzaylarının önemli bir özelliği olan, örtülen uzaydaki her bir eğrinin örtü uzayındaki bir eğriye yükseltilebilmesi özelliği ve bunun sonuçları ele alınmıştır. Bunun yanı sıra son olarak, bu bölümde analitik örtü dönüşümleri ve analitik örtü uzayları kavramları incelenmiştir. Burada evrensel örtü uzayı tanımlanmış ve bunun çok önemli sonuçları verilmiştir. Üçüncü bölümde, öncelikle modüler grup ve bunun bir elemanı olan modüler fonksiyon tanıtılmış ve örtü uzayları ile bağlantısı araştırılmıştır. Bunun sonucunda modüler fonksiyon yardımıyla üst yarı düzlemin, C0,1 in bir örtü uzayı olduğu elde edilmiştir. Ardından modüler fonksiyonun örtü uzaylarına bir uygulaması olarak üst yarı düzlemin bir döşemesi ele alınmıştır. Bunun yanı sıra C. E. Picard’a (1856-1941) ithaf edilen önemli iki teorem incelenmiştir. Son olarak evrensel analitik örtü uzaylarının varlığı hakkında gerek ve yeter şartlar verilmiştir.Covering spaces, analytic covering spaces, modular function and applications of the modular function to covering maps are considered in this work, consisting of three sections. In the first section some fundamental concepts are introduced for the next sections. In addition, some important theorems are given without proofs, to be used in the second and the third sections. The second section begins with covering spaces which are obtained from covering maps. And then the fact that every path in the covered space can be lifted to a path in the covering space, which is an important feature of the covering spaces, is given. Finally in this section, analytic covering maps and anaytic covering spaces are examined. Here, the universal covering space is defined and its consequences which are very important are given. In the third section, firstly modular group and a special element of it, the modular function, are introduced and the connection with covering spaces is investigated. As a consequence of this, the fact that upper half plane is the covering space of C0,1 is obtained. Then as an application of the modular function to covering maps, a tessellation of the upper half plane is considered. However two important theorems dedicated to C. E. Picard (1856-1941) are given. Lastly necessary and sufficient conditions for the existence of the universal analytic covering spaces are given

Modular forms, elliptic curves and their applications

Bu çalışmada matematiğin son dönemdeki popüler iki teorisi, Eliptik Eğriler ve Modüler Formlar ele alınmıştır. İspatlandıktan sonra Modülarite Teoremi adını alan Taniyama-Shimura-Weil Konjektürü sayesinde birbirine bağlanan bu iki teorinin çeşitli uygulamaları mevcuttur. Bu çalışmada, bu teorilerin birbirleriyle olan ilişkisi kullanılarak Eliptik Eğriler Teorisi'nde yer alan bir açık problem, Modüler Formlar Teorisi kullanılarak çözülmüştür. Birinci bölümde, çalışmanın ilerleyen kısımlarında kullanılacak olan bazı kavramlar tanıtılmıştır. İkinci bölümde Eliptik Eğriler Teorisi'ne giriş yapılmış, sonlu cisimler üzerinde tanımlı bazı eliptik eğri aileleri hakkında elde edilen sonuçlar verilmiştir. Bu bölümün son kısmında üzerinde tanımlı eliptik eğrilerin özellikleri ele alınmış ve bazı uygulamalar yapılmıştır. Üçüncü bölüm modüler formlara ayrılmıştır. Tamsayı ve yarım tamsayı ağırlıklı formlar tanıtılmış, bu formlar üzerindeki Hecke operatörlerinin tanımları verilmiştir. Bu bölüm yukarıda adı geçen Modülarite Teoremi'nin ifadesinin verilmesi ile sona ermiştir. Çalışmanın temelini oluşturan dördüncü ve son bölümünde, rastgele seçilen bir eliptik eğrinin Selmer grubunun mertebesinin hesaplanması problemi ele alınmıştır. Literatürde bu haliyle çözümü bulunmayan problem eliptik eğrilerin twist ailelerine kısıtlanarak modüler formların analitik fonksiyonlar olması özelliği yardımıyla kısmen çözülmüştür. Bunun için matematiğin ödüllü konjektürlerinden Birch ve Swinnerton-Dyer Konjektürü'nün doğru olduğu kabul edilmiş ve J. L. Waldspurger'in önemli bir teoremi kullanılmıştır. Hesaplanan Selmer grubu mertebelerinin dağılımı basit bir fonksiyon yardımıyla ifade edilmiştir.In this work, two recent popular theories of mathematics, namely Elliptic Curves and Modular Forms are discussed. The Taniyama-Shimura-Weil Conjecture which is also named as "Modularity Theorem" after proven, connects these two theories and it has various applications. Using the relationship of these theories an open problem on the Theory of Elliptic Curves is solved by Modular Forms Theory. In the first chapter of the work, some of the concepts which will be used later are introduced. In the second chapter, the theory of elliptic curves is introduced and some results for the families of elliptic curves over finite fields are obtained. In the last section of this chapter, the properties of the elliptic curves defined over rational numbers were observed and some applications are given. The third chapter is reserved for modular forms. Integer and half-integer weight forms are introduced and also the definition of Hecke operator is given. This chapter ended with the statement of Modularity Theorem which is mentioned above. The fourth and final chapter of the work which is the essential part of this thesis, the problem of computing the order of the Selmer group of a randomly selected elliptic curve is considered. In this case, there is no solution of this problem in the literature but restricting twist families of elliptic curves, this problem is partly solved by using the fact that modular forms are analytic functions. While this problem is being solved, it is assumed that one of the award-winning conjectures of the mathematics called the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture is true and an important theorem of J. L. Waldspurger is used. The distribution of the computed orders of Selmer groups expressed with a simple function