Limit theorems for renewal shot noise processes with decreasing response functions

We consider shot noise processes $(X(t))_{t \geq 0}$ with deterministic response function $h$ and the shots occurring at the renewal epochs $0= S_0 < S_1 < S_2 ...$ of a zero-delayed renewal process. We prove convergence of the finite-dimensional distributions of $(X(ut))_{u \geq 0}$ as $t \to \infty$ in different regimes. If the response function $h$ is directly Riemann integrable, then the finite-dimensional distributions of $(X(ut))_{u \geq 0}$ converge weakly as $t \to \infty$. Neither scaling nor centering are needed in this case. If the response function is eventually decreasing, non-integrable with an integrable power, then, after suitable shifting, the finite-dimensional distributions of the process converge. Again, no scaling is needed. In both cases, the limit is identified. If the distribution of $S_1$ is in the domain of attraction of an $\alpha$-stable law and the response function is regularly varying at $\infty$ with index $\beta$ (with $\beta < 1/\alpha$ or $\beta \leq 1/\alpha$, depending on whether $\mathbb{E} S_1 < \infty$ or $\mathbb{E} S_1 = \infty$), then scaling is needed to obtain weak convergence of the finite-dimensional distributions of $(X(ut))_{u \geq 0}$. The limiting processes are fractionally integrated stable L\'{e}vy motions if $\mathbb{E} S_1 < \infty$ and fractionally integrated inverse stable subordinators if $\mathbb{E} S_1 = \infty$.Comment: 58 pages, submitted in a shortened form; the present version corrects a coupling defined in Section 3.1 and used in various parts of the pape

THE COLLISION SPECTRUM OF Lambda-COALESCENTS

$\Lambda$-coalescents model the evolution of a coalescing system in which any number of blocks randomly sampled from the whole may merge into a larger block. For the coalescent restricted to initially $n$ singletons we study the collision spectrum $(X_{n,k}:2\le k\le n)$, where $X_{n,k}$ counts, throughout the history of the process, the number of collisions involving exactly $k$ blocks. Our focus is on the large $n$ asymptotics of the joint distribution of the $X_{n,k}$'s, as well as on functional limits for the bulk of the spectrum for simple coalescents. Similarly to the previous studies of the total number of collisions, the asymptotics of the collision spectrum largely depends on the behaviour of the measure $\Lambda$ in the vicinity of $0$. In particular, for beta$(a,b)$-coalescents different types of limit distributions occur depending on whether $02$.Comment: 21 pages, submitte

Cutting edges at random in large recursive trees

We comment on old and new results related to the destruction of a random recursive tree (RRT), in which its edges are cut one after the other in a uniform random order. In particular, we study the number of steps needed to isolate or disconnect certain distinguished vertices when the size of the tree tends to infinity. New probabilistic explanations are given in terms of the so-called cut-tree and the tree of component sizes, which both encode different aspects of the destruction process. Finally, we establish the connection to Bernoulli bond percolation on large RRT's and present recent results on the cluster sizes in the supercritical regime.Comment: 29 pages, 3 figure

Культивирование Dunaliella salina на питательной среде из нейтрально-сульфитных щелоков

Установлена эффективность культивирования микроводорослей Dunaliella salina на питательной среде из нейтрально-сульфитных щелоков, полученных при варке целлюлозы из древесины березы, с дополнительным внесением хлорида натрия. Микроводоросли D. salina выделены из донного осадка Кояшского озера Керченского полуострова. Показано, что на физиологическую активность микроводорослей влияет количество внесенного в питательную среду хлорида натрия. При добавлении в питательную среду до 5 % хлорида натрия микроводоросли D. salina проявляют галотолерантные свойства. С увеличением количества хлорида натрия до 30 % – галофильные свойства. Наилучшие кинетические характеристики роста D. salina при культивировании на питательной среде из нейтрально-сульфитных щелоков отмечены при галофильной физиологической активности. Выход биомассы микроводорослей D. salina при культивировании на питательной среде из нейтрально-сульфитных щелоков без внесения и при внесении 5 % хлорида натрия выше по сравнению с добавлением 15 и 30 % хлорида натрия. Однако накопление белка имеет противоположную зависимость, в частности, количество белка в культуральной жидкости с 15 и 30 % хлорида натрия больше, чем при содержании хлорида натрия 5 %. С увеличением продолжительности культивирования до 240 ч наблюдается снижение pH питательной среды c 7,04 до 4,70, что обусловлено усвоением микроводорослями минерального и связанного с органическими веществами азота, присутствующего в питательной среде из нейтрально-сульфитных щелоков. Установлено, что при культивировании микроводоросли ассимилируют как редуцирующие, так и красящие вещества, присутствующие в питательной среде, следствием является интенсивный рост клеток. При увеличении продолжительности культивирования микроводорослей наблюдается рост числа клеток в культуральной жидкости до 4‧106 кл./мл, при этом они синтезируют внеклеточный фермент ксиланазу, что способствует дополнительному образованию редуцирующих веществ в питательной среде за счет ферментативного гидролиза ксилана. Результаты исследований показывают перспективность использования нейтрально-сульфитных щелоков в биотехнологии при культивировании микроводорослей D. salina для получения биопродуктов. Для цитирования: Иксанов Р.А., Канарский А.В., Канарская З.А., Гематдинова В.М., Белкина Е.В. Культивирование Dunaliella salina на питательной среде из нейтральносульфитных щелоков // Изв. вузов. Лесн. журн. 2023. № 6. С. 162–175. https://doi.org/10.37482/0536-1036-2023-6-162-17

Moment convergence in renewal theory

Let ¿1, ¿2, . . . be independent copies of a positive random variable ¿, and let Sk := ¿ 1 + . . . + ¿ k, k ¿ N0. Define N(t) := #{k ¿ N0 : Sk= t}. (N(t))t=0 is a renewal counting process. It is known that if ¿ is in the domain of attraction of a stable law of index a ¿ (1, 2], then N(t), suitably shifted and scaled, converges in distribution as t ¿ 8 to a random variable with a stable law. We show that in this situation, also the first absolute moments converge to the first absolute moment of the limiting random variable. Further, the corresponding result for subordinators is established

Evolution of a Two-Type Bellman–Harris Process Generated by a Large Number of Particles

2010 Mathematics Subject Classification: 60J80; 60E10; 60J85; 60K05

Moment convergence in renewal theory

Let ¿1, ¿2, . . . be independent copies of a positive random variable ¿, and let Sk := ¿ 1 + . . . + ¿ k, k ¿ N0. Define N(t) := #{k ¿ N0 : Sk= t}. (N(t))t=0 is a renewal counting process. It is known that if ¿ is in the domain of attraction of a stable law of index a ¿ (1, 2], then N(t), suitably shifted and scaled, converges in distribution as t ¿ 8 to a random variable with a stable law. We show that in this situation, also the first absolute moments converge to the first absolute moment of the limiting random variable. Further, the corresponding result for subordinators is established