Критерій осциляції для сублінійних диференціальних рівнянь із запізненням

In the interval $[a,+\infty[$, the sublinear differential equations of order $n\geqslant 2$ are considered. A solution of such equation is called proper if it is not identically equal to zero in any neighbourhood of $+\infty$. The proper solution is called oscillatory if it changes its sign in any neighbourhood of $+\infty$. We say that the equation has property $A$ if every its proper solution for $n$ even is oscillatory, and for $n$ odd either oscillatory or monotone and vanishing at infinity together with their derivatives up to order $n-1$, inclusive. To investigate oscillatory properties of the above-mentioned equations the sets \linebreak $M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ and $\widetilde M _ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ of sublinear with respect to the second argument continuous functions $f:[a,+\infty[ \times\mathbb R \to\mathbb R$ are introduced (see Definitions \ref def:1Рассматривается сублинейное дифференциальное уравнение порядка $n\geqslant 2$ на интервале $[a,+\infty[$. Решение такого уравнения называется правильным, если оно не равно нулю в любой окрестности $+\infty$. Правильное решение называется осциллирующим, если оно меняет совй знак в любой окрестности $+\infty$. Будем говорить, уравнение обладает свойством $A$, если каждое его правильное решение для четного $n$ является осциллирующим, а для нечетного $n$ либо осциллирующим, либо стремящимся к нулю на бесконечности вместе со своими производными до $n-1$-го порядка включительно. Чтобы исследовать осцилляционные свойства таких уравнений, вводятся два множества --- $M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ и $\widetilde M _ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ --- сублинейных по второму аргументу непрерывных функций $f:[a,+\infty[ \times\mathbb R \to\mathbb R$. В случае, когда $f\in M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$, для дифференциального уравнения u^ (n)Розглядається сублінійне диференціальне рівняння порядку $n\geqslant 2$ на інтервалі $[a,+\infty[$. Розв'язок такого рівняння називається правильним, якщо він не дорівнює нулеві в будь-якому околі $+\infty$. Правильний розв'язок називається осцилюючим, якщо він змінює свій знак в будь-якому околі $+\infty$. Казатимемо, що рівняння володіє властивістю $A$, якщо кожний його правильний розв'язок для парного $n$ є осцилюючим, а для непарного $n$ або осцилюючим, або таким, що монотоно збігається до нуля на нескінченності разом із своїми похідними до $n-1$-го порядку включно. Щоб дослідити осциляційні властивості таких рівнянь, вводяться дві множини --- $M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ та $\widetilde M _ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ --- сублінійних за другим аргументом неперервних функцій $f:[a,+\infty[ \times\mathbb R \to\mathbb R $. У випадку, коли $f\in M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$, для диференціального рівняння u^ (n

The dirichlet boundary value problems for strongly singular higher-order nonlinear functional-differential equations

summary:The a priori boundedness principle is proved for the Dirichlet boundary value problems for strongly singular higher-order nonlinear functional-differential equations. Several sufficient conditions of solvability of the Dirichlet problem under consideration are derived from the a priori boundedness principle. The proof of the a priori boundedness principle is based on the Agarwal-Kiguradze type theorems, which guarantee the existence of the Fredholm property for strongly singular higher-order linear differential equations with argument deviations under the two-point conjugate and right-focal boundary conditions

On asymptotic behavior of solutions of nn-th order Emden-Fowler differential equations with advanced argument

summary:We study oscillatory properties of solutions of the Emden-Fowler type differential equation $$u^{(n)}(t)+p(t)\big |u(\sigma (t))\big |^\lambda \operatorname{sign} u(\sigma (t))=0,$$ where $0<\lambda <1$, $p\in L_{\rm loc }(\Bbb R_+;\Bbb R)$, $\sigma \in C(\Bbb R_+;\Bbb R_+)$ and $\sigma (t)\ge t$ for $t\in \Bbb R_+$. \endgraf Sufficient (necessary and sufficient) conditions of new type for oscillation of solutions of the above equation are established. \endgraf Some results given in this paper generalize the results obtained in the paper by Kiguradze and Stavroulakis (1998)