Transversal mappings and projections of invariant measures on manifolds

In this dissertation we consider the behaviour of sets and measures under different projection-like mappings. The main interest lies in observing how do different concepts of dimension behave under these mappings. One notion of dimension of measures is the dimension spectrum. In the first article of the thesis we study the behaviour of the dimension spectrum of measures under transversal families of mappings. This behaviour has been studied in the case of orthogonal projections, and we generalize these existing theorems to this more general setting. Using the generalized results, we study the dimension spectrum of the natural projection of a measure which is invariant under the geodesic flow on the unit tangent bundle of a Riemann surface. In the second article we study measures on the unit tangent bundle of a negatively curved Riemann manifold. We show that on any such manifold there exists measures on the unit tangent bundle with the following properties: the measures are invariant and ergodic under the geodesic flow, and their projections to the base manifold are 2-dimensional and singular with respect to the 2-dimensional Lebesgue measure. This results completes earlier research on natural projections of invariant measures and also relates to the Quantum Unique Ergodicity Conjecture. In the third paper we continue to study invariant measures on the unit tangent bundle of a Riemann manifold. This time we restrict our attention to a certain class of Riemann surfaces, called the pair of pants. Again we construct invariant measures with singular projections, but in this more restricted setting we obtain measures with better properties. Namely, the measures in the second article are singular on the unit tangent bundle, and their singularity is preserved by the projection. In this article the original measures are absolutely continuous and the singularity of the projected measure is actually due to the projection. In the third article we also generalize the Besicovitch-Federer projection theorem to transversal families of mappings. This generalized theorem is used as a main tool in constructing the measures mentioned above. In the fourth article we consider the isotropic projections in Euclidean setting. The projections form a lower dimensional subfamily of all orthogonal projections, and therefore one can not use the classical projection theorems to obtain information on the behaviour of dimensions of sets and measures under these projections. However, we prove that this subfamily satisfies a transversality condition, which, as a corollary, gives information on the behaviour of dimension under these projections. Isotropic projections also relate to the horizontal projections in the Heisenberg group, and we use the aforementioned results to obtain information on these projections.Väitöskirjassa käsitellään mittojen ja joukkojen käyttäytymistä erilaisissa projektiotyyppisissä kuvauksissa. Tutkimuksen pääpaino on mittojen dimensiokäsitteissä ja niiden muuntumisessa erilaisissa projektiokuvauksissa. Väitöskirjassa tarkastellaan sekä euklidisen avaruuden että Riemannin moniston mittoja. Riemannin monisto on avaruus, joka läheltä tarkasteltuna muistuttaa euklidista avaruutta ja jonka jokaisessa tangenttiavaruudessa on määritelty sisätulo. Sisätulon antaa niin sanottu Riemannin metriikka. Moniston geodeesinen virtaus on sen tangenttivektoreiden synnyttämä virtaus. Väitöskirjassa tarkastellaan mittoja, jotka säilyvät muuttumattomina tässä virtauksessa, eli täsmällisemmin sanottuna yksikkötangenttikimpun mittoja, jotka ovat invariantteja geodeesisessa virtauksessa. Erityisesti tarkastellaan näiden mittojen käyttäytymistä, kun ne siirretään luonnollisella projektiolla kantamonistolle. Eräs mittojen dimension käsite on niin sanottu dimensiospektri. Väitöskirjan ensimmäisessä artikkelissa tarkastellaan mittojen dimensiospektrin käyttäytymistä transversaaliprojektioissa. Artikkelissa yleistetään aiempia ortogonaaliprojektioille todistettuja tuloksia. Näitä yleisempiä tuloksia käyttämällä artikkelissa tutkitaan geodeesisessa virtauksessa invarianttien mittojen dimensiospektrin muuntumista Riemannin pinnan luonnollisessa projektiossa. Toisessa ja kolmannessa artikkelissa tarkastellaan edelleen Riemannin pinnan yksikkötangenttikimpun mittoja, jotka ovat invariantteja geodeesisessa virtauksessa. Molemmissa artikkeleissa konstruoidaan mittoja, joiden luonnollinen projektio on singulaarinen kantamoniston pinta-alamitan suhteen. Näistä ensimmäisessä artikkelissa käsitellään yleisempiä pintoja, kun taas toisessa rajoitutaan tietyt oletukset täyttäviin pintoihin. Tämän rajoituksen vastapainona saadaan kuitenkin konstruoitua mittoja, joilla on paremmat ominaisuudet. Neljännessä artikkelissa tarkastellaan euklidisen avaruuden isotrooppisia projektioita. Nämä projektiot muodostavat ortogonaaliprojektioiden aliperheen, eikä mittojen ja joukkojen dimensioiden käyttäytymisestä tämän aliperheen projektioissa saada tietoa käyttämällä klassisia projektiotuloksia. Artikkelissa osoitetaan, että tämä aliperhe toteuttaa transversaalisuusehdon, minkä seurauksena saadaan tietoa projisoitujen mittojen dimensiosta. Isotrooppiset projektiot liittyvät läheisesti myös Heisenbergin ryhmän horisontaaliprojektioihin, ja artikkelissa johdetaan tuloksia myös näille projektioille

Singularity of projections of 2-dimensional measures invariant under the geodesic flow

We show that on any compact Riemann surface with variable negative curvature there exists a measure which is invariant and ergodic under the geodesic flow and whose projection to the base manifold is 2-dimensional and singular with respect to the 2-dimensional Lebesgue measure.Comment: 12 page