How the co-integration analysis can help in mortality forecasting.

series of age-specific log-mortality rates as a sum of an independent of time age-specific component and a bilinear term in which one of the component is a time-varying parameter reflecting general change in mortality and the second one is an age-specific factor. Such a rigid model structure implies that on average the mortality improvements for different age groups should be proportional, regardless the calendar period. In this paper we investigate whether the mortality data for England and Wales follow this property or not. We perform the analysis by applying the concept of the Engle and Granger co-integration to the time series of log-mortality rates. We investigate the goodness of fit of the predictions to the historical data. We find that a lack of co-integration indeed can cause some problems in performance of the model. In the last section we propose several opportunities to omit the pitfalls.Data; Forecasting; Goodness of fit; Model; Opportunities; Performance; Predictions; Problems; Structure; The Lee-Carter model; Time; Time series; Time series analysis;

On the distribution of life annuities with stochastic interest rates.

In the traditional approach to life contingencies only decrements are assumed to be stochastic. In this contribution we consider the distribution of a life annuity (and a portfolio of life annuities) when also the stochastic nature of interest rates is taken into account. Although the literature concerning this topic is already quite rich, the authors usually restrict themselves to the computation of the first two or three moments. However, if one wants to determine e.g. capital requirements using more sofisticated risk measures like Value-at-Risk or Tail Value-at-Risk, more detailed knowledge about underlying distributions is required. For this purpose, we propose to use the theory of comonotonic risks developed in Dhaene et al. (2002a and 2002b), which has to be slightly adjusted to the case of scalar products. This methodology allows to obtain reliable approximations of the underlying distribution functions, in particular very accurate estimates of upper quantiles and stop-loss premiums. Several numerical illustrations confirm the very high accuracy of the methodology.Comonotonicity; Life annuity; Stochastic interest rates; Stop-loss premium;

Comparing approximations for risk measures of sums of non-independent lognormal random variables.

In this paper, we consider different approximations for computing the distribution function or risk measures related to a sum of non-independent lognormal random variables. Approximations for such sums, based on the concept of comonotonicity, have been proposed in Dhaene et al. (2002a,b). These approximations will be compared with two well-known moment matching approximations: the lognormal and the reciprocal Gamma approximation. We find that for a wide range of parameter values the comonotonic lower bound approximation outperforms the two classical approximations.Approximation; Choice; Comonotonicity; Criteria; Decision; Distribution; Dual theory; Lognormal; Market; Moment matching; Optimal; Order; Portfolio; Problems; Random variables; Reciprocal gamma; Research; Risk; Risk measure; Selection; Simulation; Theory; Time; Value; Variables;

Closed-form approximations for constant continuous annuities.

Abstract: For a series of cash flows, its stochastically discounted or compounded value is often a key quantity of interest in finance and actuarial science. Unfortunately, even for most realistic rate of return models, it may be too difficult to obtain analytic expressions for the risk measures involving this discounted sum. Some recent research has demonstrated that in the case where the return process follows a Brownian motion, the so-called comonotonic approximations usually provide excellent and robust estimates of risk measures associated with discounted sums of cash flows involving log-normal returns. In this paper, we derive analytic approximations for risk measures in case one considers the continuous counterpart of a discounted sum of log-normal returns. Although one may consider the discrete sums as providing a more realistic situation than its continuous counterpart, considering in this case, the continuous setting leads to more tractable explicit formulas and may therefore provide further insight necessary to expand the theory and to exploit new ideas for later developments. Moreover, the closed-form approximations we derive in this continuous set-up can then be compared more effectively with some exact results, thereby facilitating a discussion about the accuracy of the approximations. Indeed, in the discrete setting, one always must compare approximations with results from simulation procedures which always give rise to room of debate. Our numerical comparisons reveal that the comonotonic 'maximal variance' lower bound approximation provides an excellent fit for several risk measures associated with integrals involving log-normal returns. Similar results as we derive here for continuous annuities can also be obtained in case of continuously compounding which therefore opens a roadmap for deriving closed-form approximations for the prices of Asian options. Future research will also focus on optimal portfolio slection problems.Approximation; Choice; Comonotonicity; Criteria; Decision; Distribution;

Bounds for stop-loss premiums of stochastic sums (with applications to life contingencies).

In this paper we present in a general setting lower and upper bounds for the stop-loss premium of a (stochastic) sum of dependent random variables. Therefore, use is made of the methodology of comonotonic variables and the convex ordering of risks, introduced by Kaas et al. (2000) and Dhaene et al. (2002a, 2002b), combined with actuarial conditioning. The lower bound approximates very accurate the real value of the stop-loss premium. However, the comonotonic upper bounds perform rather badly for some retentions. Therefore, we construct sharper upper bounds based upon the traditional comonotonic bounds. Making use of the ideas of Rogers and Shi (1995), the first upper bound is obtained as the comonotonic lower bound plus an error term. Next this bound is refined by making the error term dependent on the retention in the stop-loss premium. Further, we study the case that the stop-loss premium can be decomposed into two parts. One part which can be evaluated exactly and another part to which comonotonic bounds are applied. As an application we study the bounds for the stop-loss premium of a random variable representing the stochastically discounted value of a series of cash flows with a fixed and stochastic time horizon. The paper ends with numerical examples illustrating the presented approximations. We apply the proposed bounds for life annuities, using Makeham's law, when also the stochastic nature of interest rates is taken into account by means of a Brownian motion.Comonotonicity; Life annuity; Stochastic time horizon; Stop-loss premium;

Moderne reserveringstechnieken voor het verzekeringswezen

In vele actuari#le en financi#le problemen is de verdeling van een som v an afhankelijke variabelen van belang. In het algemeen kan deze verdelin gsfunctie echter niet analytisch verkregen worden omwille van de complex e onderliggende afhankelijkheidsstructuur. In twee referentiewerken (Kaa s et al. (2000) en Dhaene et al. (2002)) lost men dit probleem op door b oven- en ondergrenzen voor (de verdelingsfunctie van) zulk een som te be schouwen die expliciete berekeningen van verschillende actuari#le grooth eden mogelijk maken. The originele afhankelijkheidsstructuur kan vervang en worden door een eenvoudigere structuur die leidt tot een 'gevaar lijkere' variabele, maar analytische berekeningen toelaat. Beslissingen (bv. Welk bedrag dient gereserveerd te worden?) gebaseerd op deze stocha stische veranderlijke leiden tot een veilige, conservatieve strategie. I n de (schade)reserveringscontext zal men provisies aanleggen die eerder te hoog te zijn. Daarom is het zinvol dat men ook een 'minder gevaa rlijke' variabele beschouwt die analytische berekeningen van verscheiden e risicomaten mogelijk maakt. Kaas et al. (2000) en Dhaene et al. (2002) werkten een wiskundige grondslag uit voor deze intu#tieve idee#n. Het c oncept van 'gevaarlijkheid' wordt gedefinieerd door de notie van co nvexe orde. Onder- en bovengrenzen worden afgeleid waarbij de termen in de betrokken som comonotoon zijn; wat betekent dat zij allemaal monotone (stijgende of dalend) functies zijn van dezelfde variabele. Wanneer bei de grenzen dicht bij elkaar liggen, kunnen ze betrouwbare informatie ver schaffen over de originele en meer complexe variabele. In het bijzonder is deze techniek erg nuttig om schattingen te bekomen van kwantielen en stop-loss premies. In deze bijdrage construeren we scherpere bovengrenzen voor stop-loss pr emies gebaseerd op de comonotone grenzen uit bovenstaande referentiewerk en en we veralgemenen bovenstaand idee van de convexe onder- en bovengre nzen naar scalaire produkten van niet-negatieve variabelen. Deze resulta ten worden toegepast op algemeen verdisconteerde cash flows met stochast ische betalingen. Verscheidene numerieke illustraties tonen aan dat de m ethodologie erg accurate benaderingen geeft voor de onderliggende verdel ingsfuncties en de corresponderende risicomaten. Deel I: Reservering in de sector leven We trachten conservatieve schattingen te bekomen voor kwantielen en stop -loss premies van een annu#teit en een ganse portefeuille van annu#teite n. Gelijkaardige technieken kunnen aangewend worden om schattingen te ve rkrijgen van meer algemene verzekeringsprodukten in de sector leven. Onz e techniek laat toe 'personal finance' problemen zeer nauwkeurig op te lossen. Het geval van een portefeuille van annu#teiten is reeds uitg ebreid onderzocht in de wetenschappelijke literatuur, maar enkel in het grensgeval - voor homogene portefeuilles, wanneer het sterfterisico voll edig gediversifieerd is. De toepasbaarheid van deze resultaten in de ver zekeringspraktijk kan echter in vraag gesteld worden: in het bijzonder h ier aangezien een typische portefeuille niet genoeg polissen bevat om te spreken over volledige diversificatie. Daarom stellen we voor het aanta l actieve polissen in de opeenvolgende jaren te benaderen gebruikmakend van een 'normal power' verdeling en de huidige waarde va n de toekomstige uitkeringen te modelleren als een scalair produkt van o nderling onafhankelijke vectoren. Deel II: Reservering in de sector niet-leven Het correct schatten van het bedrag dat een maatschappij moet opzij zett en om tegemoet te komen aan de verplichtingen (schadegevallen) die zich in de toekomst voordoen, is een belangrijke taak voor verzekeringsmaatsc happijen om een correct beeld van haar verplichtingen te krijgen. De his torische data die nodig zijn om schattingen te bekomen voor toekomstige betalingen worden meestal weergegeven in driehoek-vorm met incrementele betalingen. De bedoeling is deze schadedriehoek te vervolledigen tot een vierkant en zelfs eventueel tot een rechthoek indien schattingen nodig zijn die behoren tot afwikkelingsjaren waarvan geen data in de driehoek opgenomen zijn. Hiervoor kan de actuaris gebruik maken van aantal techni eken. De intrinsieke onzekerheid wordt beschreven door de verdeling van mogelijke uitkomsten en men zoekt steeds naar de beste schatting van de reserve. Schadereservering heeft te maken met de bepaling van de onzekere huidige waarde van een ongekend bedrag van toekomstige betalingen. Opdat d e reserveschatting werkelijk de beste schatting van de actuaris zou weer geven, moet zowel de bepaling van de verwachte waarde van niet betaalde schadegevallen alsook de geschikte verdisconteringsvoet de beste schatti ng van de actuaris weergeven (hiermee bedoelen we dat deze niet opgelegd moet worden door anderen of door de wetgeving). Aangezien de reserve ee n provisie is voor toekomstige betalingen van niet-afgehandelde schadege vallen, geloven we dat de geschatte schadereserve de tijdswaarde van gel d moet weergeven. In vele situaties is de verdisconteerde reserve nuttig , bv. in een dynamisch financi#le analyse, winstbepaling en het prijs ze tten, risico gebaseerd kapitaal, schadeportefeuille transfers,... . Idealiter zou de verdisconteerde reserve ook aanvaardbaar moeten zijn v oor rapportering. De huidige wetgeving laat het echter meestal niet toe. Niet verdisconteerde reserves bevatten in feite een zekere risicomarge afhankelijk van het niveau van de interestvoet. We beschouwen de verdisc onteerde schadereserve en leggen we een impliciete marge op gebaseerd op een risicomaat van de verdeling van de totale verdisconteerde reserve. We modelleren de schadebetalingen gebruikmakend van lognormale lineaire modellen, loglineaire locatie-schaal modellen en veralgemeende lineaire modellen en leiden accurate comonotone benaderingen af voor de verdiscon teerde reserve. Tenslotte leiden we enkele asymptotische resultaten af voor de staartver deling van sommen van zwaarstaartige afhankelijke variabelen. We tonen h oe we deze resultaten kunnen toepassen om bepaalde functies van (de verd elingsfunctie van) sommen van afhankelijke variabelen te benaderen. Onze numerieke resultaten geven aan dat de asymptotische benaderingen dicht liggen bij de Monte Carlo gesimuleerde waarden. Verder herhalen we kort de wiskundige technieken achter de moment gebaseerde benaderingen en de Bayesiaanse aanpak. We vergelijken al deze benaderingstechnieken met de comonotone benaderingen in de schadereserveringscontext. In geval de ond erliggende variantie van het statistische en financi#le gedeelte van de verdisconteerde IBNR reserve groter wordt, presteren de comonotone benad eringen slecht. We illustreren dit aan de hand van een eenvoudig voorbee ld en stellen de bekomen asymptotische resultaten als een alternatief vo or. We vergelijken al deze resultaten ook met de lognormale moment gebas eerde benaderingen. Ten slotte bekijken we ook de verdeling van de verdi sconteerde reserve wanneer we de data in de schadedriehoek modelleren me t behulp van een veralgemeend lineair model en vergelijken de resultaten van de comonotone benaderingen met de Bayesiaanse benaderingen. Referenties: Kaas R., Dhaene J. & Goovaerts M.J. (2000). "Upper and lower bounds for sums of random variables", Insurance: Mathematics and Economics 27(2), 151-168. Dhaene J., Denuit M., Goovaerts M.J, Kaas R. & Vyncke D. (2002 ). "The concept of comonotonicity in actuarial science and finance: Theo ry", Insurance: Mathematics and Economics 31(1), 3-33.status: publishe

How the co-integration analysis can help in mortality forecasting

series of age-specific log-mortality rates as a sum of an independent of time age-specific component and a bilinear term in which one of the component is a time-varying parameter reflecting general change in mortality and the second one is an age-specific factor. Such a rigid model structure implies that on average the mortality improvements for different age groups should be proportional, regardless the calendar period. In this paper we investigate whether the mortality data for England and Wales follow this property or not. We perform the analysis by applying the concept of the Engle and Granger co-integration to the time series of log-mortality rates. We investigate the goodness of fit of the predictions to the historical data. We find that a lack of co-integration indeed can cause some problems in performance of the model. In the last section we propose several opportunities to omit the pitfalls.status: publishe

Closed-form approximations for constant continuous annuities

Abstract: For a series of cash flows, its stochastically discounted or compounded value is often a key quantity of interest in finance and actuarial science. Unfortunately, even for most realistic rate of return models, it may be too difficult to obtain analytic expressions for the risk measures involving this discounted sum. Some recent research has demonstrated that in the case where the return process follows a Brownian motion, the so-called comonotonic approximations usually provide excellent and robust estimates of risk measures associated with discounted sums of cash flows involving log-normal returns. In this paper, we derive analytic approximations for risk measures in case one considers the continuous counterpart of a discounted sum of log-normal returns. Although one may consider the discrete sums as providing a more realistic situation than its continuous counterpart, considering in this case, the continuous setting leads to more tractable explicit formulas and may therefore provide further insight necessary to expand the theory and to exploit new ideas for later developments. Moreover, the closed-form approximations we derive in this continuous set-up can then be compared more effectively with some exact results, thereby facilitating a discussion about the accuracy of the approximations. Indeed, in the discrete setting, one always must compare approximations with results from simulation procedures which always give rise to room of debate. Our numerical comparisons reveal that the comonotonic 'maximal variance' lower bound approximation provides an excellent fit for several risk measures associated with integrals involving log-normal returns. Similar results as we derive here for continuous annuities can also be obtained in case of continuously compounding which therefore opens a roadmap for deriving closed-form approximations for the prices of Asian options. Future research will also focus on optimal portfolio slection problems.status: publishe

On the Distribution of Discounted Loss Reserves

Different factors can delay the payment process of claims. Therefore insurers need to keep reserves. This article gives a brief overview of the statistical models involved in loss reserving and explains how the theory of comonotonicity and convex order (see Kaas et al (2000) and Dhaene et al (2002 a,b)) can be used to determine accurate approximations for the distribution of the discounted loss reserve. 1 1