Transformaciones espectrales, funciones de Carathéodory y polinomios ortogonales en la circunferencia unidad

En el capítulo 2, se obtiene una expresión explícita para la familia de coeficientes de Verblunsky asociados a la transformación de Christo el en términos de la familia de los coeficientes de Verblunsky asociados con la medida original, y se lleva a cabo un análisis del comportamiento asintótico de los mismos. En el mismo capítulo, con respecto a la transformación consistente en la multiplicación de la medida por la parte real de un polinomio, se obtiene la relación entre las correspondientes funciones de Carathéodory, utilizando la representación integral de Riesz-Herglotz de la función de Carathéodory original. Dicha relación fué obtenida en [17] utilizando un método distinto. Además, se obtiene una relación entre las correspondientes matrices de Hessenberg y un análisis asintótico de la familia de coeficientes de Verblunsky asociada a la medida perturbada. En el capítulo 3, se estudia la transformación de Geronimus. Se obtienen condiciones necesarias y suficientes para que el funcional lineal asociado a dicha transformación sea cuasi-definido asumiendo que el funcional lineal original es definido positivo. También se obtiene la expresión explícita para la nueva familia de polinomios ortogonales en términos de la sucesión de polinomios ortogonales asociados con el funcional lineal original, así como la relación entre las correspondientes matrices de Hessenberg. También se estudia el comportamiento asintótico de las familias de coeficientes de Verblunsky asociadas a las transformaciones de Uvarov con una y dos masas, respectivamente. Finalmente, en el capítulo 4 se estudia la conexión entre medidas soportadas en el intervalo [1; 1] de la recta real y medidas soportadas en la circunferencia unidad, a través de la transformación de Szeg˝o. En primer lugar, se obtiene una relación entre los parámetros de la relación de recurrencia a tres términos para los polinomios ortogonales en la recta real y la familia de coeficientes de Verblunsky en la circunferencia unidad, tomando como base la factorización LU de la matriz de Jacobi correspondiente. Luego, se estudia dicha conexión en el marco de las transformaciones espectrales. Se aplican transformaciones espectrales, tanto lineales como racionales, a funciones de Stieltjes asociadas a medidas en el intervalo [1; 1] y se describe la transformación resultante en las funciones de Carathédory asociadas a las correspondientes medidas en la circunferencia unidad. El mismo análisis se lleva a cabo en la dirección contraria, es decir, aplicando transformaciones espectrales a funciones de Carathéodory y describiendo las transformaciones resultantes en las funciones de Stieltjes correspondientes

A matrix approach for the semiclassical and coherent orthogonal polynomials

We obtain a matrix characterization of semiclassical orthogonal polynomials in terms of the Jacobi matrix associated with the multiplication operator in the basis of orthogonal polynomials, and the lower triangular matrix that represents the orthogonal polynomials in terms of the monomial basis of polynomials. We also provide a matrix characterization for coherent pairs of linear functionals.The work of the first author was supported by a grant of the Secretaría de Educación Pública of México and the Mexican Government. The work of the second author was supported by Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología of México, Grant 156668. The work of the third author was supported by Dirección General de Investigación Científica y Técnica, Ministerio de Economía y Competitividad of Spain, Grant MTM2012 36732 C03 01

A matrix characterization for the D-v-semiclassical and D-v-coherent orthogonal polynomials

We present a new structure relation for the sequence of orthogonal polynomials associated with a D-v-semiclassical linear functional of class s, and then we use it to obtain a matrix characterization of the D-v-semiclassical orthogonal polynomials in terms of the Jacobi matrix associated with the multiplication operator in the basis of orthonormal polynomials, and the nonsingular lower triangular matrix that represents the orthogonal polynomials with respect to some bases of polynomials. We also provide a matrix characterization of D-v-coherent pairs of linear functionals.The work of the first author was supported by a grant of the Secretar´ıa de Educaci´on P´ublica of M´exico and the Mexican Government. The work of the second author was supported by Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa of M´exico, grant 156668. The work of the third author was supported by Direcci ´on General de Investigaci´on Cient´ıfica y T´ecnica, Ministerio de Econom´ıa y Competitividad of Spain, grant MTM2012-36732-C03-01. The authors thank the anonymous referee for her/his valuable comments and suggestions. They contributed to improve the presentation of the manuscript

Perturbations on the antidiagonals of Hankel matrices

Given a strongly regular Hankel matrix, and its associated sequence of moments whichdefines a quasi-definite moment linear functional, we study the perturbation of a fixedmoment, i.e., a perturbation of one antidiagonal of the Hankel matrix. We define a linearfunctional whose action results in such a perturbation and establish necessary and sufficientconditions in order to preserve the quasi-definite character. A relation between thecorresponding sequences of orthogonal polynomials is obtained, as well as the asymptoticbehavior of their zeros. We also study the invariance of the Laguerre-Hahn class of linearfunctionals under such perturbation, and determine its relation with the so-called canonicallinear spectral transformations.The research of the first author was supported by Bolsa de Atração de Jovens Talentos CAPES/CNPq/FAPs of Brazil, Project 370291/2013 1 and Dirección General de Investigación, Ministerio de Economía y Competitividad of Spain, Grant MTM2012 36732 C03 0

On a Matrix Approach for Semiclassical Orthogonal Polynomials

Non UBCUnreviewedAuthor affiliation: Universidad de ColimaFacult