Mixed integer formulations using natural variables for single machine scheduling around a common due date

34 pages, 10 figuresWhile almost all existing works which optimally solve just-in-time scheduling problems propose dedicated algorithmic approaches, we propose in this work mixed integer formulations. We consider a single machine scheduling problem that aims at minimizing the weighted sum of earliness tardiness penalties around a common due-date. Using natural variables, we provide one compact formulation for the unrestrictive case and, for the general case, a non-compact formulation based on non-overlapping inequalities. We show that the separation problem related to the latter formulation is solved polynomially. In this formulation, solutions are only encoded by extreme points. We establish a theoretical framework to show the validity of such a formulation using non-overlapping inequalities, which could be used for other scheduling problems. A Branch-and-Cut algorithm together with an experimental analysis are proposed to assess the practical relevance of this mixed integer programming based methods

Dominance inequalities for scheduling around an unrestrictive common due date

The problem considered in this work consists in scheduling a set of tasks on a single machine, around an unrestrictive common due date to minimize the weighted sum of earliness and tardiness. This problem can be formulated as a compact mixed integer program (MIP). In this article, we focus on neighborhood-based dominance properties, where the neighborhood is associated to insert and swap operations. We derive from these properties a local search procedure providing a very good heuristic solution. The main contribution of this work stands in an exact solving context: we derive constraints eliminating the non locally optimal solutions with respect to the insert and swap operations. We propose linear inequalities translating these constraints to strengthen the MIP compact formulation. These inequalities, called dominance inequalities, are different from standard reinforcement inequalities. We provide a numerical analysis which shows that adding these inequalities significantly reduces the computation time required for solving the scheduling problem using a standard solver.Comment: 30 pages, 7 figures and 4 table

Dominances en programmation linéaire : ordonnancement autour d’une date d’échéance commune

Scheduling problems are combinatorial optimization problems arising in project management: the aim is to schedule tasks execution under resource constraints or precedence constraints so as to minimize a cost or maximize a gain. An integer linear programm (ILP° consists in optimizing a linear objective function over the integer points satisfying linear constraints. A lot of operation research problems can be formulated as ILP, and then be solved by commercial ILP. This thesis focuses on a single machine scheduling problem where earliness and tardiness with respect to a common due date have to be minimized. Thanks to so-called dominance properties used in the scheduling field, we propose several ILP formulation for this problem. First formulations, which are based on continuous variables similar to completion times variables (natural variables), use non-overlapping inequalities. Last formulations, which are based on binary partition variables, rely on a new type of linear inequalities that translate dominance properties.Les problèmes d’ordonnancement sont des problèmes d’optimisation combinatoire modélisant la gestion de projets: il s’agit de planifier l’exécution de tâches, sous des contraintes de ressources ou de précédence et de manière à minimiser un coût ou maximiser un gain. On appelle programmation linéaire en nombres entiers (PLNE) l’optimisation d’une fonction linéaire sur les points entiers vérifiant un lot de contraintes linéaires. Cet outil permet de modéliser de nombreux problèmes de recherche opérationnelle, qui peuvent alors être résolus par des solveurs implémentant l’algorithme du simplexe dans un schéma de branchement et évaluation. Cette thèse porte sur l’étude d’un problème d’ordonnancement où les tâches doivent être exécutées sur une machine de manière à minimiser les pénalités d’avance et de retard par rapport à une date de fin souhaitée commune. Grâce à des propriétés dites de dominance utilisées par la communauté de l’ordonnancement, nous avons fourni plusieurs formulations PLNE modélisant ce problème. Les premières formulations, basées sur des variables continues comparables à des dates de fin, dites variables naturelles, utilisent des inégalités de non-chevauchement. Les dernières formulations, basées sur des variables booléennes de partitions, reposent sur un type nouveau d’inégalités linéaires qui traduisant des propriétés de dominance

Dominances in linear programming : scheduling around a common due date

Les problèmes d’ordonnancement sont des problèmes d’optimisation combinatoire modélisant la gestion de projets: il s’agit de planifier l’exécution de tâches, sous des contraintes de ressources ou de précédence et de manière à minimiser un coût ou maximiser un gain. On appelle programmation linéaire en nombres entiers (PLNE) l’optimisation d’une fonction linéaire sur les points entiers vérifiant un lot de contraintes linéaires. Cet outil permet de modéliser de nombreux problèmes de recherche opérationnelle, qui peuvent alors être résolus par des solveurs implémentant l’algorithme du simplexe dans un schéma de branchement et évaluation. Cette thèse porte sur l’étude d’un problème d’ordonnancement où les tâches doivent être exécutées sur une machine de manière à minimiser les pénalités d’avance et de retard par rapport à une date de fin souhaitée commune. Grâce à des propriétés dites de dominance utilisées par la communauté de l’ordonnancement, nous avons fourni plusieurs formulations PLNE modélisant ce problème. Les premières formulations, basées sur des variables continues comparables à des dates de fin, dites variables naturelles, utilisent des inégalités de non-chevauchement. Les dernières formulations, basées sur des variables booléennes de partitions, reposent sur un type nouveau d’inégalités linéaires qui traduisant des propriétés de dominance.Scheduling problems are combinatorial optimization problems arising in project management: the aim is to schedule tasks execution under resource constraints or precedence constraints so as to minimize a cost or maximize a gain. An integer linear programm (ILP° consists in optimizing a linear objective function over the integer points satisfying linear constraints. A lot of operation research problems can be formulated as ILP, and then be solved by commercial ILP. This thesis focuses on a single machine scheduling problem where earliness and tardiness with respect to a common due date have to be minimized. Thanks to so-called dominance properties used in the scheduling field, we propose several ILP formulation for this problem. First formulations, which are based on continuous variables similar to completion times variables (natural variables), use non-overlapping inequalities. Last formulations, which are based on binary partition variables, rely on a new type of linear inequalities that translate dominance properties

Formulations PLNE et dominances pour l’ordonnancement juste-à-temps avec date d’échéance commune

International audienc

Dominance inequalities for scheduling around an unrestrictive common due date

International audienc

Extreme points for scheduling around a common due date

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MIP Formulations for Just-in-Time Scheduling with Common Due-Date

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