6 research outputs found
Lower Bounds for Heights in Relative Galois Extensions
The goal of this paper is to obtain lower bounds on the height of an
algebraic number in a relative setting, extending previous work of Amoroso and
Masser. Specifically, in our first theorem we obtain an effective bound for the
height of an algebraic number when the base field is a
number field and is Galois. Our second result
establishes an explicit height bound for any non-zero element which is
not a root of unity in a Galois extension , depending on
the degree of and the number of conjugates of
which are multiplicatively independent over . As a consequence, we
obtain a height bound for such that is independent of the
multiplicative independence condition
Problème de Lehmer relatif dans un tore : cas des hypersurfaces
We tackle the "relative" Lehmer problem on algebraic subvarieties of a multiplicative torus. Generalizing a theorem of F. Amoroso and U. Zannier, we give a lower bound for the normalized height of a non torsion hypersurface in terms of its obstruction index over \Q^{ab}, the maximal abelian extension of \Q. We prove up to \eps the sharpest conjecture that can be formulated
Autour du problème de Lehmer relatif dans un tore
Lehmer's problem consists in finding lower bounds for the Weil height of an algebraic number in terms of its degree over Q. Even if there is still no answer to Lehmer's original question, the sharpest corresponding conjecture has been proved up to an epsilon. Besides, there are several generalizations of this problem. On one hand, one can formulate the same kind of conjecture replacing the field of rationals by an abelian extension of a number field. On the other hand, one can generalize these statements in higher dimension. The point is to find lower bounds for the normalized height of a point or a subvariety of a torus; in this case, we substitute to the degree a more precise invariant: the obstruction index. It is then natural to try to combine these two generalizations: this is the relative Lehmer problem in a torus.In this thesis, we first consider the one dimensional relative Lehmer problem. We give a lower bound for the height of an algebraic number in terms of its degree over an abelian extension of a number field. This is an improvement of a theorem of Amoroso and Zannier, obtained with a technically simpler proof. Furthermore, we precise the dependence of the lower bound on the ground field. Then, we focus on the Lehmer relative problem in higher dimension and find a lower bound for the normalized height of a hypersurface in terms of its obstruction index over an abelian extension of Q. Finally, we obtain an analogous result for a point, provided there's a technical hypothesis satisfied. Thus we show the sharpest conjectures up to an epsilon.Le problème de Lehmer consiste à minorer la hauteur de Weil d'un nombre algébrique en fonction de son degré sur Q. Si la question originelle de Lehmer reste aujourd'hui sans réponse, la conjecture optimale correspondante a été démontrée à un epsilon près. Par ailleurs, ce problème admet plusieurs généralisations. D'une part, on peut formuler le même type de conjecture en remplaçant le corps des rationnels par une extension abélienne d'un corps de nombres. D'autre part, on peut généraliser ces énoncés en dimension supérieure. Il s'agit alors de minorer la hauteur normalisée d'un point ou d'une sous-variété d'un tore ; dans ce cas, on substitue au degré un invariant plus fin : l'indice d'obstruction. Il est ensuite naturel de chercher à combiner ces deux généralisations : c'est le problème de Lehmer relatif dans un tore.Dans cette thèse, nous considérons tout d'abord le problème de Lehmer relatif unidimensionnel. Nous donnons une minoration pour la hauteur d'un nombre algébrique en fonction de son degré sur une extension abélienne d'un corps de nombres. Il s'agit d'une amélioration d'un théorème d'Amoroso et Zannier, obtenue à l'aide d'une démonstration techniquement plus simple. De plus, nous explicitons la dépendance de la borne inférieure en le corps de base. Puis nous abordons le problème de Lehmer relatif en dimension supérieure et minorons la hauteur d'une hypersurface en fonction de son indice d'obstruction sur une extension abélienne de Q. Enfin, nous obtenons un résultat analogue pour un point, sous réserve que celui-ci satisfasse une hypothèse technique. Nous montrons ainsi les conjectures les plus fines à un epsilon près
Autour du problème de Lehmer relatif dans un tore
CAEN-BU Sciences et STAPS (141182103) / SudocSudocFranceF