On the Equicontinuity of Homeomorphisms of Orlicz and Orlicz-Sobolev Classes in the Closure of a Domain

Вивчається поведінка гомеоморфізмів класів Орліча-Соболєва в замиканні заданої област

Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations

Досліджено існування нормалізованих гомеоморфних розв’язків для виродженого рівняння Бельтрамі у всій комплексній площині з припущенням, що його вимірний коефіцієнт має компактний носій, а виродження рівняння контролюється коефіцієнтом тангенціальної дилатації. Доведено, що якщо коефіцієнт тангенціальної дилатації має обмежені чи скінченні середні осциляційні домінанти або задовольняє умову інтегральної розбіжності типу Лехто, то рівняння Бельтрамі допускає регулярний гомеоморфний розв’язок із гідродинамічною нормалізацією на нескінченності. Також розглянуто деякі інші інтегральні критерії типу Кальдерона-Зігмунда і Орліча для існування нормалізованих регулярних розв’язків як у термінах коефіцієнта тангенціальної дилатації, так і в термінах коефіцієнта максимальної дилатації. Зокрема, наведено низку критеріїв існування регулярних гомеоморфних розв’язків для виродженого рівняння Бельтрамі із гідродинамічною нормалізацією на нескінченності в термінах ітеративних логарифмів. Отримані результати можуть бути використані для дослідження крайових задач гідромеханіки в сильно анізотропних і неоднорідних середовищах

On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations

Вивчається задача Діріхле для виродженого рівняння Бельтрамі з неперервними межовими даними у довільній однозв’язній області комплексної площини. Встановлені критерії існування регулярних дискретних відкритих розв’язків цієї задачі, що відбулося шляхом використання функцій класів BMO — обмеженого середнього коливання та FMO — скінченного середнього коливання, а також ряду ефективних інтегральних критеріїв. Більше того, нами показано, що вказані розв’язки можуть бути зображені у вигляді композиції регулярних гомеоморфних розв’язків рівнянь Бельтрамі з гідродинамічним нормуванням у нескінченно віддаленій точці та голоморфного розв’язку відповідної задачі Діріхле, яка є асоційованою з цим рівнянням. Головні критерії сформульовані в термінах дотичної і максимальної дилатацій. Отримані результати можуть бути застосовані для для механіки рідин в сильно анізотропних і неоднорідних середовищах, оскільки рівняння Бельтрамі є складною формою основного рівняння гідромеханіки