Local inverse scattering at fixed energy in spherically symmetric asymptotically hyperbolic manifolds

In this paper, we adapt the well-known \emph{local} uniqueness results of Borg-Marchenko type in the inverse problems for one dimensional Schr{\"o}dinger equation to prove \emph{local} uniqueness results in the setting of inverse \emph{metric} problems. More specifically, we consider a class of spherically symmetric manifolds having two asymptotically hyperbolic ends and study the scattering properties of massless Dirac waves evolving on such manifolds. Using the spherical symmetry of the model, the stationary scattering is encoded by a countable family of one-dimensional Dirac equations. This allows us to define the corresponding transmission coefficients $T(\lambda,n)$ and reflection coefficients $L(\lambda,n)$ and $R(\lambda,n)$ of a Dirac wave having a fixed energy $\lambda$ and angular momentum $n$. For instance, the reflection coefficients $L(\lambda,n)$ correspond to the scattering experiment in which a wave is sent from the \emph{left} end in the remote past and measured in the same left end in the future. The main result of this paper is an inverse uniqueness result local in nature. Namely, we prove that for a fixed $\lambda \not=0$, the knowledge of the reflection coefficients $L(\lambda,n)$ (resp. $R(\lambda,n)$) - up to a precise error term of the form $O(e^{-2nB})$ with B\textgreater{}0 - determines the manifold in a neighbourhood of the left (resp. right) end, the size of this neighbourhood depending on the magnitude $B$ of the error term. The crucial ingredients in the proof of this result are the Complex Angular Momentum method as well as some useful uniqueness results for Laplace transforms.Comment: 24 page

Sur la theorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans divers espaces-temps de la relativite generale

This thesis is devoted to the study of scattering theory for Dirac fields in various spacetimes of General Relativity. Thetime-dependent methods developed by Enss, Sigal, Soffer, Graf,Derezi\'nski and Gérard are the backbone of thiswork. These methods are based on propagation estimates, such as minimalvelocity estimates (obtained using a Mourre theory) that are a weakform of the Huygens principle, and on the study of natural and intuitive asymptotic observables such as theasymptotic velocity operators. They turn out to be extremelyconvenient when studying relativistic equations since they areintimately related to the fundamental structure of GeneralRelativity: the light cone. We first test these methods studying theasymptotic behaviour of Dirac fields perturbed by long-range potentialsin flat spacetime and we prove the existence and asymptoticcompleteness of modified wave operators. We then consider morecomplicated geometrical situations: the propagation of Diracfields in the exterior region of a Reissner-Nordström black hole(spherically symmetric) and a Kerr-Newman black hole (in rotation) fromthe point of view of observers static at infinity. The peculiarity ofsuch situations is that the observer perceives two asymptotic regions(the horizon of the black hole and spacelike infinity) having verydifferent geometrical structures; this leads to the existence of twodistinct scattering channels. In the case of spherically symmetricblack holes, we can use a decomposition into spherical harmonics inorder to obtain a Dirac equation with potentials on one dimensionalflat spacetime. The main difficulty in the Kerr-Newman case comes fromthe absence of spherical symmetry. In both cases, we prove theexistence and asymptotic completeness of (modified at infinity) wave operators by means of theprevious time-dependent methods.Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude de lathéorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans plusieursespaces-temps de la relativité générale. Les méthodes complètementdépendantes du temps développées par Enss, Sigal, Soffer, Graf,Derezi\'nski et Gérard constituent le fil conducteur de cetravail. Ces méthodes sont basées sur des estimations de propagationcomme les estimations de vitesse minimale (obtenues par une théorie deMourre) qui correspondent à une version faible du principe de Huygens et sur l'étude d'observables asymptotiques naturelles comme lesopérateurs de vitesse asymptotiques. Dans un premier temps, on testeces méthodes en étudiant la propagation de champs de Dirac, massifs ounon, perturbés par des potentiels à longue portée, en espace-tempsplat. On montre ainsi l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'ondemodifiés. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à des situationsgéométriques plus compliquées en étudiant la propagation de ces champsà l'extérieur de trous noirs de Reissner-Nordström (à symétriesphérique) et de Kerr-Newman (en rotation) du point de vued'observateurs lointains. L'originalité de ce type d'étude réside dansle fait que les observateurs distinguent deux régions asymptotiques(l'horizon du trou noir et l'infini spatial) aux structuresgéométriques bien différentes ce qui entraîne l'existence de deuxcanaux de diffusion. Dans le cas de trous noirs à symétriesphérique, une décomposition sur une base d'harmoniques sphériquespermet de se ramener à un problème à une dimension d'espace, du typeespace-temps plat. La difficulté essentielle provient alors del'absence de symétrie sphérique des trous noirs de Kerr-Newman quirend impossible une telle simplification. Dans les deux cas, on montre l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde(modifiés à l'infini) à l'aide des méthodes dépendantes du temps

On scattering theory for Dirac fields in various spacetimes of general relativity

Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude de la théorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans plusieurs espaces-temps de la relativité générale. Les méthodes complètement dépendantes du temps développées par Enss. Signal, Soffer, Graf, Derezinski et Gérard constituent le fil conducteur de ce travail. Ces méthodes sont basées sur des estimations de propagation comme les estimations de vitesse minimale (obtenues par une théorie de Mourre) qui correspondent à une version faible du principe de Huygens et sur l'étude d'observables asymtotiques naturelles comme les opérateurs de vitesse asymptotiques. Dans un premier temps, on teste ces méthodes en étudiant la propagation de champs de Dirac, massifs ou non, perturbés par des potentiels à longue portée, en espace-temps plat. On montre ainsi l'existance et la complétude asyptotique des opérateurs d'onde modifiés. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à des situations géométriques plus compliquées en étudiant la propagation de ces champs à l'extérieur de trous noirs de Reissner-Nordström (à symétrie sphérique) et Kerr-Newman (en rotation) du point de vue d'observateurs lointains. L'originalité de ce type d'étude réside dans le fait que les observateurs distinguent deux régions asymptotiques (l'Horizon du trou noir et l'infini spatial) aux structures géométriques bien différentes ce qui entraîne l'existence de deux canaux de diffusion. Dans le cas de trous noirs à symétrie sphérique, une décomposition sur une base d'harmoniques sphériques permet de se ramener à un problème à une dimension d'espace, du type espace-temps plat. La difficulté essentielle provient alors de l'absence de symétrie sphérique des trois nors de Kerr-Newman qui rend impossible une telle simplification. Dans les deux cas, on montre l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde (modifiés à l'infini) à l'aide des méthodes dépendantes du temps.BORDEAUX1-BU Sciences-Talence (335222101) / SudocSudocFranceF

The anisotropic Calderón problem for singular metrics of warped product type: the borderline between uniqueness and invisibility

International audienceIn this paper, we investigate the anisotropic Calderón problem on cylindrical Riemannian manifolds with boundary having two ends and equipped with singular metrics of (simple or double) warped product type, that is whose warping factors only depend on the horizontal direction of the cylinder. By singular, we mean that these factors are only assumed to be positive almost everywhere and to belong to some L p space with 0 < p ≤ ∞. Using recent developments on the Weyl-Titchmarsh theory for singular Sturm-Liouville operators, we prove that the local Dirichlet-to-Neumann maps at each end are well defined and determine the metric uniquely if: 1. (Doubly warped product case) the coefficients of the metric are L ∞ and bounded from below by a positive constant. 2. (Warped product case) the coefficients of the metrics belong to a critical L p space where p < ∞ depends on the dimension of the compact fibers of the cylinder. Finally, we show (in the warped product case and for zero frequency) that these uniqueness results are sharp by giving simple counterexamples for a class of singular metrics whose coefficients do not belong to the critical L p space. All these counterexamples lead to a region of space that is invisible to boundary measurements

Separability and Symmetry Operators for Painlevé Metrics and their Conformal Deformations

42 pagesInternational audiencePainlevé metrics are a class of Riemannian metrics which generalize the well-known separable metrics of Stäckel to the case in which the additive separation of variables for the Hamilton-Jacobi equation is achieved in terms of groups of independent variables rather than the complete orthogonal separation into ordinary dierential equations which characterizes the Stäckel case. Painlevé metrics in dimension n thus admit in general only r < n linearly independent Poisson-commuting quadratic rst integrals of the geodesic ow, where r denotes the number of groups of variables. Our goal in this paper is to carry out for Painlevé metrics the generalization of the analysis, which has been extensively performed in the Stäckel case, of the relation between separation of variables for the Hamilton-Jacobi and Helmholtz equations, and of the connections between quadratic rst integrals of the geodesic ow and symmetry operators for the Laplace-Beltrami operator. We thus obtain the generalization for Painlevé metrics of the Robertson separability conditions for the Helmholtz equation which are familiar from the Stäckel case, and a formulation thereof in terms of the vanishing of the o-block diagonal components of the Ricci tensor, which generalizes the one obtained by Eisenhart for Stäckel metrics. We also show that when the generalized Robertson conditions are satised, there exist r < n linearly independent second-order dierential operators which commute with the Laplace-Beltrami operator and which are mutually commuting. These operators admit the block-separable solutions of the Helmholtz equation as formal eigenfunctions, with the separation constants as eigenvalues. Finally, we study conformal deformations which are compatible with the separation into blocks of variables of the Helmholtz equation for Painlevé metrics, leading to solutions which are R-separable in blocks. The paper concludes with a set of open questions and perspectives

Asymptotic analysis in general relativity

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Semiautomatic quantification of abdominal wall muscles deformations based on dynamic MRI image registration

International audiencein the diagnosis of abdominal muscle deficiency. Here, wepresent a dedicated semiautomatic dynamic MRI postprocessing method enablingthe quantification of spatial and temporal deformations of the antero-lateral abdominalwall muscles. Ten healthy participants were imaged during a controlled breathingsession at the L3–L4 disc level using real-time dynamic MRI at 3 T. A coarse featuretrackingstep allowed the selection of the inhalation cycle of maximum abdominalexcursion. Over this image series, the described method combines (1) a supervised2D+t segmentation procedure of the abdominal wall muscles, (2) the quantificationof muscle deformations based on masks registration, and (3) the mapping of deformationswithin muscle subzones leveraging a dedicated automatic parcellation. Thesupervised 2D+t segmentation (1) provided an accurate segmentation of the abdominalwall muscles throughout maximum inhalation with a 0.95 ± 0.03 Dice similaritycoefficient (DSC) value and a 2.3 ± 0.7 mm Hausdorff distance value while requiringonly manual segmentation of 20% of the data. The robustness of the deformationquantification (2) was indicated by high indices of correspondence between the registeredsource mask and the target mask (0.98 ± 0.01 DSC value and 2.1 ± 1.5 mmHausdorff distance value). Parcellation (3) enabled the distinction of muscle substructuresthat are anatomically relevant but could not be distinguished based on imagecontrast. The present genuine postprocessing method provides a quantitative analyticalframe that could be used in further studies for a better understanding of abdominalwall deformations in physiological and pathological situations

Tensile mechanical properties of the cervical, thoracic and lumbar porcine spinal meninges

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L’intertextualité

Le présent volume s’ouvre sur le bilan d’une trentaine d’années de recherches consacrées à l’intertextualité, ce vaste champ théorique où se croisent plusieurs disciplines et courants d’idées. Viennent ensuite dix-sept études sur des textes et leur contexte d’écriture. En effet, les particularités d’un corpus, l’approfondissement d’une poétique permettent de combiner des notions déjà établies et parfois de les compléter, notamment les classifications très utilisées de Genette. En outre, les variations de genre et de style, l’abondance ou la raréfaction des emprunts à d’autres textes peuvent être analysées à travers l’imaginaire, l’esthétique, l’idéologie d’un auteur ou d’un groupe littéraire. Certains exemples font valoir les jeux fictionnels ou les contraintes structurelles ; d’autres éclairent surtout l’arrière-plan biographique ou culturel, l’incidence de l’inconscient, l’ancrage socio-historique, l’horizon d’attente du public. Car il s’agit essentiellement ici d’explorer les fonctions, les effets, les enjeux de l’intertextualité. Par conséquent, les formes implicites ou diffuses n’ont pas été écartées lorsqu’elles se présentent comme une ressource possible dans des circonstances ou à des fins précises. Activité herméneutique par excellence, la lecture intertextuelle ne manque pas de relancer le "plaisir du texte", mais loin de nous disperser entre les allusions, références et citations, elle nous rend finalement plus attentifs à des corrélations, à des tendances générales qui offrent une synthèse révélatrice de chaque époque : l’ésotérisme médiéval, les codes de l’imitation antique et classique, la défense et illustration du Burlesque, l’esprit des Lumières, les mythologies du Romantisme et de la Décadence, les expériences de la modernité..