A Semigroup associated to a linear control system on a Lie group

Let us consider a linear control system \Sigma on a connected Lie group G. It is known that the accessibility set A from the identity e is in general not a semigroup. In this article we associate a new algebraic object S to \Sigma which turns out to be a semigroup, allowing the use of the semigroup machinery to approach \Sigma. In particular, we obtain some controllability results

Perturbative re-construction of the massive derivative coupling model in 2 dimensions

The Schroer model [1] is a 2-dimensional model built to discuss the structural characteristics of Quantum Electrodynamics (QED), namely the Hilbert space and dynamic particularities due to the infraparticle character of the electron. The interaction there is set through a massless boson φ. In this case, the fields do not live in the Fock space of free fermions due to IR divergences, and so one has to define the model through the Wightman functions and then reconstruct the Hilbert space. The model we studied contains the boson φ of mass m that is free, in the sense of obeying Klein-Gordon equation, and a fermion ψq of mass M, which are coupled through the equation of motion (i∂/ − M)ψq = −q(∂φ/ )ψq, where q is the coupling constant. The non-perturbative solution is the dressed Dirac field ψq(x) .=: e iqφ(x) : ψ(x) from [1], where φ is the free boson and ψ is the free Dirac field. We will call this the massive Schroer model. The IR divergences do not appear in the massive case. We suggest how the massive Schroer model arise from the free Dirac field with the interaction L = ∂µφjµ in the context of Epstein-Glaser perturbation theory, with φ being the massive boson and j µ the Dirac current. This model is renormalizable, with an infinite number of graphs to be normalized. We impose certain normalization conditions, which among others are the extended Ward identities. For tree graphs, these normalization conditions are automatically satisfied, while loop graphs are uniquely fixed by the respective normalization. This turns the model superrenormalizable. We show that, in the adiabatic limit, the S-matrix equals the unity, the interacting observables j µ , ∂µφ become free fields, and the interacting version of the free Dirac field coincides with the free dressed Dirac field ψq mentioned above.O modelo de Schroer [1] é um modelo bidimensional construído a fim de discutir as características estruturais da Eletrodinâmica Quântica, mais especificamente, as particularidades que ocorrem no espaço de Hilbert e na dinâmica devido ao caráter de infrapartícula do elétron. A interação nesse modelo é dada pelo bóson sem massa φ. Os campos do modelo não vivem no espaço de Fock de férmions livres devido a divergências no infravermelho e, portanto, é necessário definir o modelo através das funções de Wightman e reconstruir o espaço de Hilbert. Neste trabalho estudamos o modelo que contêm o bóson φ de massa m que é livre, no sentido de obedecer a equação de Klein-Gordon, e um férmion ψq de massa M, que são acoplados pela equação de movimento (i∂/ − M)ψq = −q(∂φ/ )ψq, onde q é a constante de acoplamento. A solução não-perturbativa é dada pelo campo de Dirac livre vestido ψq .=: e iqφ(x)ψ(x) : de [1], onde ψ é o campo de Dirac livre. Nós o chamaremos de modelo de Schroer massivo. As divergências no infravermelho não aparecem no caso massivo. Aqui, sugerimos como o modelo de Schroer massivo surge a partir do campo de Dirac livre com a interação Lint = ∂µφjµ no contexto da teoria de perturbação de Epstein-Glaser, com φ sendo o bóson massivo e j µ a corrente de Dirac. Esse modelo é renormalizável, com um número infinito de gráficos a serem normalizados. Nós então impomos certas condições de normalização, que entre outras, estão as identidades de Ward extendidas. Para gráficos de árvore, essas condições de normalização são automaticamente satisfeitas, enquanto gráficos com loops são fixados unicamente pelas respectivas normalizações. Isso torna o modelo superrenormalizável. Nós mostramos que, no limite adiabático, a matrix S é igual a unidade, os observáveis interagentes j µ , ∂µφ se tornam livres e a versão interativa do campo de Dirac livre coincide com o campo de Dirac livre vestido ψq mencionado acimaCAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superio