A Note on Bi-Orthogonal Polynomials and Functions

The theory of orthogonal polynomials is well established and detailed, covering a wide field of interesting results, as, in particular, for solving certain differential equations. On the other side the concepts and the related formalism of the theory of bi-orthogonal polynomials is less developed and much more limited. By starting from the orthogonality properties satisfied from the ordinary and generalized Hermite polynomials, it is possible to derive a further family (known in literature) of these kind of polynomials, which are bi-orthogonal with their adjoint. This aspect allows us to introduce functions recognized as bi-orthogonal and investigate generalizations of families of orthogonal polynomial

Generalización de polinomios de Hermite en la descripción de polinomios de tipo Chebyshev

Tesis inédita de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, Departamento de Matemática Aplicada, leída el 21-05-2015En esta memoria se obtienen y analizan algunos modelos matemáticos de remodelación y reparación ósea. Para ello, y tras un primer capítulo introductorio en el que se presentan resultados preliminares para los estudios posteriores, se aborda en el Capítulo 2 la modelización del mecanismo de mantenimiento que tiene lugar a lo largo de la vida de cada persona, y en virtud del cual en pequeñas regiones del esqueleto el hueso viejo es reemplazado por el nuevo de manera que la cantidad total de hueso permanece constante.En concreto, en el capítulo 2 se formula un modelo matemático mínimo para el funcionamiento de las llamadas BMU Basic Multicellular Units, grupos de células diferenciadas que actúan coordinadamente para eliminar hueso en regiones marcadas para ello generalmente mediante señales emitidas por osteocitos, que actúan como sensores mecánicos y a continuación generan una matriz extracelular que, tras su mineralización, da lugar al nuevo hueso que reemplaza al antiguo. La actuación de tales unidades orgánicas es conocida desde los años 60 del siglo pasado, y aunque su esquema general de actuación es conocido, y muchas de las señales químicas involucradas han sido identificadas, el mecanismo preciso por el que tales unidades se forman cuando es necesario y se deshacen una vez cumplida su tarea, sigue sin ser bien conocido.Proponemos un modelo operativo simple para BMUs, que se basa en las siguientes hipótesis. En primer lugar, cada célula en una BMU puede elegir una entre un número muy limitado de posibles acciones a realizar dividirse, diferenciarse a otro tipo celular o morir. El resultado de esta suma de decisiones individuales independientes es una acción coordinada y perfectamente regulada, que permite remodelar la zona elegida para ello de manera robusta y eficaz, como se observa mediante el análisis de los resultados obtenidos al simular el modelo correspondiente, y que se presentan en el mismo capítulo.En el tercer capítulo de esta memoria se estudia la sucesión de procesos que tienen lugar en las etapas tempranas de la reparación del hueso después de producirse una fractura, y que son cruciales para una completa curación del mismo. Se propone un modelo matemático que permite estimar los tiempos característicos de tales procesos en términos de sus parámetros cinéticos. Para ello, se analizan tales etapas de manera separada, hasta la formación del primer callo fibroso, que proporciona el molde básico sobre el que posteriores procesos de remodelación no estudiados en esta memoria darán finalmente lugar a nuevo tejido óseo, plenamente funcional.El modelo propuesto es de tipo modular, de modo que consiste en una concatenación de modelos simples que se suceden uno a uno hasta completar la etapa temprana de reparación estudiada. Se comienza por describir la formación de un coágulo sanguíneo inducido por la fractura, cuya aparición se caracteriza como una transición de fase tipo sol-gel, en la que el coágulo resultante es descrito como un gel. La formación de dicho coágulo, que debe conectar los bordes de la fractura proporcionando una primera unión entre ambos, es condición necesaria para el éxito del proceso completo de reparación . Tras proponer un modelo de tipo clásico para la difusión del factor de crecimiento, se obtiene una solución explícita para dicha función, cuyo gradiente provoca el movimiento por quimiotaxis de las células mesenquimales desde el borde la fractura hacia su interior.Depto. de Análisis Matemático y Matemática AplicadaFac. de Ciencias MatemáticasTRUEunpu

Generalized Chebyshev polynomials

ABSTRACT -We generalize the first and second kind Chebyshev polynomials by using the concepts and the operational formalism of the Hermite polynomials of the Kampé de Fériet type. We will see how it is possible to derive integral representations for these generalized Chebyshev polynomials. Finally we will use these results to state several relations for Gegenbauer polynomials

Fractional Reverse Coposn's Inequalities via Conformable Calculus on Time Scales

This paper provides novel generalizations by considering the generalized conformable fractional integrals for reverse Copson's type inequalities on time scales. The main results will be proved using a general algebraic inequality, chain rule, Hölder's inequality, and integration by parts on fractional time scales. Our investigations unify and extend some continuous inequalities and their corresponding discrete analogues. In addition, when α = 1, we obtain some well-known time scale inequalities due to Hardy, Copson, Bennett, and Leindler inequalities

Unified inequalities of the q-Trapezium-Jensen-Mercer type that incorporate majorization theory with applications

The objective of this paper is to explore novel unified continuous and discrete versions of the Trapezium-Jensen-Mercer (TJM) inequality, incorporating the concept of convex mapping within the framework of ${\mathfrak{q}}$-calculus, and utilizing majorized tuples as a tool. To accomplish this goal, we establish two fundamental lemmas that utilize the $_{{\varsigma_{1}}}{\mathfrak{q}}$ and $^{{{\varsigma_{2}}}}{\mathfrak{q}}$ differentiability of mappings, which are critical in obtaining new left and right side estimations of the midpoint ${\mathfrak{q}}$-TJM inequality in conjunction with convex mappings. Our findings are significant in a way that they unify and improve upon existing results. We provide evidence of the validity and comprehensibility of our outcomes by presenting various applications to means, numerical examples, and graphical illustrations

Generalized special functions in the description of fractional diffusive equations

Starting from the heat equation, we discuss some fractional generalizations of various forms. We propose a method useful for analytic or numerical solutions. By using Hermite polynomials of higher and fractional order, we present some operational techniques to find general solutions of extended form to d'Alembert and Fourier equations. We also show that the solutions of the generalized equations discussed here can be expressed in terms of Hermite-based functions

Numerical Analysis or Numerical Method in Symmetry

This Special Issue focuses mainly on techniques and the relative formalism typical of numerical methods and therefore of numerical analysis, more generally. These fields of study of mathematics represent an important field of investigation both in the field of applied mathematics and even more exquisitely in the pure research of the theory of approximation and the study of polynomial relations as well as in the analysis of the solutions of the differential equations both ordinary and partial derivatives. Therefore, a substantial part of research on the topic of numerical analysis cannot exclude the fundamental role played by approximation theory and some of the tools used to develop this research. In this Special Issue, we want to draw attention to the mathematical methods used in numerical analysis, such as special functions, orthogonal polynomials, and their theoretical tools, such as Lie algebra, to study the concepts and properties of some special and advanced methods, which are useful in the description of solutions of linear and nonlinear differential equations. A further field of investigation is dedicated to the theory and related properties of fractional calculus with its adequate application to numerical methods

Asymptotic Properties of Solutions of Fourth-Order Delay Differential Equations

In the paper, we study the oscillation of fourth-order delay differential equations, the present authors used a Riccati transformation and the comparison technique for the fourth order delay differential equation, and that was compared with the oscillation of the certain second order differential equation. Our results extend and improve many well-known results for oscillation of solutions to a class of fourth-order delay differential equations. Some examples are also presented to test the strength and applicability of the results obtained