Euclidean Windows

In this paper we study number fields which are Euclidean with respect to a function different from the absolute value of the norm. We also show that the Euclidean minimum with respect to weighted norms may be irrational and not isolated

The three-large-primes variant of the number field sieve

The Number Field Sieve (NFS) is the asymptotically fastest known factoringalgorithm for large integers.This method was proposed by John Pollard in 1988. Sincethen several variants have been implemented with the objective of improving thesiever which is the most time consuming part of this method (but fortunately,also the easiest to parallelise).Pollard's original method allowed one large prime. After that thetwo-large-primes variant led to substantial improvements.In this paperwe investigate whether the three-large-primes variant may lead to any furtherimprovement. We present theoretical expectations and experimental results.We assume the reader to be familiar with the NFS.As a side-result, we improved some formulae for Taylor coefficients ofDickman's $ho$ function given by Patterson and Rumsey andMarsaglia, Zaman and Marsaglia

Path Integral approach to the 2D Ising model through the Worm Algorithm

The aim of this article is to present a Path Integral Monte Carlo method known as the Worm Algorithm (WA) and analyze its promising performance by studying a particular problem. For this purpose, the well-known 2D Ising model on a square lattice with periodic boundary conditions and without external eld is considered and its alternative path integral formulation is presented. The WA is implemented and analyzed by comparing it with the classical Metropolis algorithm, which is known to show slowing-down near the critical temperature2020/202

The chern-simons topological quantum field theory and the so(8) large color R-matrix for quantum knot invariants

A física teòrica, la Teoria Quàntica de Camps (TQC) és un marc teòric extremadament reeixit que combina la Relativitat Especial amb la Mecànica Quàntica, permetent el diseny de models físics de les partícules subatómiques i quasipartícules que descriuen els aspectes més fundamentals de la matèria amb una precisió increïblement alta. Entre aquestes teories, la TQC Chern-Simons és una especial, que no només descriu fenòmens topològics a la física com ara l’Efecte Hall Quàntic, sinó que encaixa amb la noció del que es coneix com una Teoria Topològica de Camps Quàntics (TTCQ). Va ser fent servir aquests axiomes de les TTCQs que Edward Witten va mostrar al 1989 com d’estretament relacionada està la teoria de Chern-Simons amb l’àmbit d’invariants polinòmics que apareixen a la Teoria de Nusos, com ara el ben conegut polinomi de Jones. En aquests darrers anys, investigacions en aquest camp han donat lloc a nous i més poderosos invariants d’enllaços i, a través de cirurgies de Dehn sobre ells, de 3-varietats també. Per exemple, la sèrie de Gukov-Manolescu recentment proposta el 2020 —denotada FK(x, q)— és un invariant conjectural de complements de nusos que, en cert sentit, continua analíticament els polinomis de Jones colorejats. Poc després, Sunghyuk Park va introduir l’enfoc de la Matriu R de Gran Color corresponent a sl(2,C) per estudiar FK per trenats positius i calcular FK per a diversos nusos i enllaços. Aquest procediment ha estat així mateix extès per Angus Gruen a totes les altres àlgebres de Lie sl(n+1) més enllà de sl(2). En aquest treball, després d’un extens repàs sobre els anteriorment esmentats conceptes, abordem la família so(2n) d’àlgebres de Lie semisimples sobre els complexos a la classificació de Cartan, centrant-nos principalment en el cas so(8) atrets per la simetria triple al seu diagrama de Dynkin D4.En física teórica, la Teoría Cuántica de Campos (TCC) es un marco teórico extremadamente exitoso que combina la Relatividad Especial con la Mecánica Cuántica, permitiendo el diseño de modelos físicos de las partículas subatómicas y cuasipartículas que describen los aspectos más fundamentales de la materia con una precisión increíblemente alta. Entre dichas teorías, la TCC Chern-Simons es una especial, que no sólo describe fenómenos topológicos en física tales como el Efecto Hall Cuántico, sino que encaja con la noción de lo que se conoce como una Teoría Topológica de Campos Cuánticos (TTCC). Fue utilizando estos axiomas de las TTCCs que Edward Witten mostró en 1989 cómo de estrechamente relacionada está la teoría de Chern-Simons con el ámbito de invariantes polinómicos que aparecen en la Teoría de Nudos, tales como el bien conocido polinomio de Jones. En estos últimos años, investigaciones en este campo han dado lugar a nuevos y más poderosos invariantes de enlaces y, a través de cirugías de Dehn sobre ellos, así mismo de 3-variedades. Por ejemplo, la serie de Gukov-Manolescu recientemente propuesta en 2020 —denotada FK(x, q)— es un invariante conjetural de complementos de nudos que, en cierto sentido, continúa analíticamente los polinomios de Jones coloreados. Poco después, Sunghyuk Park introdujo el enfoque de la Matriz R de Gran Color correspondiente a sl(2,C) para estudiar FK para trenzados positivos y calcular FK para varios nudos y enlaces. Este procedimiento ha sido a su vez extendido por Angus Gruen a todas las otras álgebras de Lie sl(n+1) más allá de sl(2). En la presente obra, tras un extenso repaso sobre los anteriormente mencionados conceptos, abordamos la família so(2n) de álgebras de Lie semisimples sobre los complejos en la clasificación de Cartan, centrándonos principalmente en el caso so(8) atraídos por la simetría triple en su diagrama de Dynkin D4.In theoretical physics, Quantum Field Theory (QFT) is an extremely successful theoretical framework combining both Special Relativity and Quantum Mechanics, enabling to design physical models of subatomic particles and quasiparticles describing the most fundamental aspects of matter with an incredibly high accuracy. Among these theories, the Chern-Simons QFT is a special one, not only describing topological phenomena in physics such as the Quantum Hall Effect, but also fitting the notion of what is known as a Topological Quantum Field Theory (TQFT). It was by using the axioms of TQFTs that Edward Witten showed back in 1989 how closely related the Chern-Simons theory is to the realm of polynomial invariants appearing in Knot Theory, such as the well-known Jones polynomial. In the past years, further research in this field has led to new and more powerful invariants of links and, by means of Dehn surgeries on them, of 3-manifolds as well. For instance, the Gukov-Manolescu series proposed recently in 2020 —denoted FK(x, q)— is a conjectural invariant of knot complements that, in a sense, analytically continues the colored Jones polynomials. Shortly after, Sunghyuk Park introduced the Large Color R-matrix approach for sl(2,C) to study FK for some simple links, giving a definition of FK for positive braid knots and computing FK for various knots and links. This procedure has in turn been extended by Angus Gruen to all other Lie algebras sl(n+1) beyond sl(2). In this work, after a broad review on the above mentioned background, we move on to the family so(2n) of complex semisimple Lie algebras in Cartan’s classification, mainly focusing on the so(8) case attracted by the three-fold symmetry in its Dynkin diagram D4.Outgoin