On simulation in automata networks

An automata network is a finite graph where each node holds a state from some finite alphabet and is equipped with an update function that changes its state according to the configuration of neighboring states. More concisely, it is given by a finite map $f:Q^n\rightarrow Q^n$. In this paper we study how some (sets of) automata networks can be simulated by some other (set of) automata networks with prescribed update mode or interaction graph. Our contributions are the following. For non-Boolean alphabets and for any network size, there are intrinsically non-sequential transformations (i.e. that can not be obtained as composition of sequential updates of some network). Moreover there is no universal automaton network that can produce all non-bijective functions via compositions of asynchronous updates. On the other hand, we show that there are universal automata networks for sequential updates if one is allowed to use a larger alphabet and then use either projection onto or restriction to the original alphabet. We also characterize the set of functions that are generated by non-bijective sequential updates. Following Tchuente, we characterize the interaction graphs $D$ whose semigroup of transformations is the full semigroup of transformations on $Q^n$, and we show that they are the same if we force either sequential updates only, or all asynchronous updates

Complete Simulation of Automata Networks

Consider a finite set A and . We study complete simulation of transformations of , also known as automata networks. For , a transformation of is n-complete of size m if it may simulate every transformation of by updating one register at a time. Using tools from memoryless computation, we establish that there is no n-complete transformation of size n, but there is one of size . By studying various constructions, we conjecture that the maximal time of simulation of any n-complete transformation is at least 2n. We also investigate the time and size of sequentially n-complete transformations, which may simulate every finite sequence of transformations of . Finally, we show that there is no n-complete transformation updating all registers in parallel, but there exists one updating all but one register in parallel. This illustrates the strengths and weaknesses of sequential and parallel models of computation

Complexity of fixed point counting problems in Boolean Networks

A Boolean network (BN) with $n$ components is a discrete dynamical system described by the successive iterations of a function $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$. This model finds applications in biology, where fixed points play a central role. For example, in genetic regulations, they correspond to cell phenotypes. In this context, experiments reveal the existence of positive or negative influences among components: component $i$ has a positive (resp. negative) influence on component $j$ meaning that $j$ tends to mimic (resp. negate) $i$. The digraph of influences is called signed interaction digraph (SID), and one SID may correspond to a large number of BNs (which is, in average, doubly exponential according to $n$). The present work opens a new perspective on the well-established study of fixed points in BNs. When biologists discover the SID of a BN they do not know, they may ask: given that SID, can it correspond to a BN having at least/at most $k$ fixed points? Depending on the input, we prove that these problems are in $\textrm{P}$ or complete for $\textrm{NP}$, $\textrm{NP}^{\textrm{NP}}$, \textrm{NP}^{\textrm{#P}} or $\textrm{NEXPTIME}$. In particular, we prove that it is $\textrm{NP}$-complete (resp. $\textrm{NEXPTIME}$-complete) to decide if a given SID can correspond to a BN having at least two fixed points (resp. no fixed point).Comment: 43 page

Simulations intrinsèques et complexités dans les réseaux d’automates

The objects at the center of this thesis are discrete dynamical systems, understood through finite automata networks, defined as vectors of local transition functions (so that one function is associated with one automaton). These automata networks can be tools for modeling natural interaction systems (biological networks, particle networks in physics...) and the phenomena they induce. They can also be seen as a model of computation that can be studied per se. These objects are approached through the prism of complexity and (theoretical) simulation, each of these concepts forming the core of a part of the document.The first part is devoted to the relations between the interaction graph of a network, that represents the influences between its automata, and the underlying dynamics. First, the focus is put on the fixed points problem that aims to understand the information that gives an interaction graph on the number of fixed points of a network, and more precisely on the algorithmic complexity of this counting. Then, our interest is focused on a somewhat opposite property, namely expansiveness. A network is expansive if one can predict its initial configuration by observing only one of its components for a long enough time. In other words, a network is expansive if its dynamics is unstable and if any initial local perturbation has visible repercussions on each automaton. We characterize the interaction graphs that admit an expansive network and study the possibility of a network to be expansive according to several parameters like the size of the alphabet, the "expansiveness time" or the type of the computed functions (linear, abelian...).The second part is devoted to intrinsic simulation, namely the capacity of a network to contain the behavioral complexity and computational richness of another network. Specifically, we are interested in a specific simulation based on the ability of one network to simulate step by step the dynamics of another network. One of the parameters that is emphasized is the update mode, which represents the time steps in which automata update their state. It is well known that the dynamics of a network strongly depends on update modes. A natural question in this context is to understand what kind of dynamics can be simulated with a given update mode. First, we highlight that a sequentially updated network is less "powerful" than a network updated in parallel. While any dynamics can be simulated by a network evolving in parallel, we show that to be simulated sequentially, it may require larger networks for which we give bounds on the size. Next, we present the characteristics of "complete" networks in the sense that they can simulate all networks of a given size by varying their update modes. Finally, we emphasize several networks of minimum size, or of minimal "simulation time", and study the relations between these two parameters.Les objets qui se trouvent au centre de cette thèse sont les systèmes dynamiques discrets, appréhendés à travers les réseaux d’automates finis, qui se définissent comme des vecteurs de fonctions locales de transition associées à chaque automate. Ces réseaux d’automates peuvent aussi bien être vus comme un outil pour modéliser des systèmes d’interactions naturels (réseaux biologiques, réseaux de particules physiques…) et les phénomènes qu’ils induisent que comme modèle de calcul que l’on peut étudier per se. Ces objets sont abordés à travers le prisme de la complexité et selon celui de la simulation (théorique), chacun de ces concepts formant le cœur d’une partie du document.La première partie est consacrée au rapport entre le graphe d’interaction d’un réseau, qui permet de représenter les influences entre ses automates, et la dynamique sous-jacente. Dans un premier temps, le focus est mis sur le problème des points fixes, ou configurations stables du réseau, qui vise à comprendre les informations que donne un graphe d’interaction sur le nombre de points fixes d’un réseau, et plus précisément sur la complexité algorithmique de ce comptage. Dans un second temps, l’intérêt est porté sur une propriété quelque peu opposée, à savoir l’expansivité. Un réseau est expansif si on peut prédire sa configuration de départ en observant une seule de ses composantes pendant suffisamment longtemps. Autrement dit, un réseau est expansif si sa dynamique est instable et que toute perturbation locale initiale a des répercussions visibles sur chaque automate. Nous caractérisons les graphes d’interactions qui admettent un réseau expansif et étudions la possibilité d’un réseau d’être expansif en fonction de plusieurs paramètres comme la taille de l’alphabet, le « temps d’expansivité » ou le type des fonctions calculées (linéaires, abéliennes...).La seconde partie est consacrée à la simulation intrinsèque, c’est-à-dire la capacité d’un réseau à contenir la complexité comportementale et la richesse calculatoire d’un autre réseau. Plus précisément, nous nous intéressons à une simulation spécifique fondée sur la capacité d’un réseau à simuler pas à pas toute la dynamique d’un autre réseau. L’un des paramètres sur lesquels l’accent est mis est le mode de mise à jour, qui représente les étapes de temps au cours desquelles les automates du réseau mettent à jour leur état. Il est bien connu que la dynamique d’un réseau dépend fortement des modes de mise à jour. Une question naturelle dans ce contexte est de comprendre quel type de dynamique peut être simulé avec un mode de mise à jour donné. Pour commencer, nous mettons en évidence le fait qu’un réseau mis à jour séquentiellement est moins « puissant » qu’un réseau mis à jour en parallèle. Alors que toute dynamique peut-être simulée par un réseau évoluant en parallèle, nous montrons que pour être simulée séquentiellement, elle peut nécessiter des réseaux plus grands dont nous bornons la taille. Ensuite, nous donnons les caractéristiques de réseaux « complets » dans le sens qu’ils peuvent simuler tous les réseaux d’une taille donnée en faisant varier leurs modes de mise à jour. Nous présentons enfin plusieurs réseaux de taille minimale, ou de « temps de simulation » minimal, et étudions les relations entre ces deux paramètres

Sequentialization and Procedural Complexity in Automata Networks

International audienceIn this article we consider finite automata networks (ANs) with two kinds of update schedules: the parallel one (all automata are updated all together) and the sequential ones (the automata are updated periodically one at a time according to a total order w). The cost of sequentialization of a given AN h is the number of additional automata required to simulate h by a sequential AN with the same alphabet. We construct, for any n and q, an AN h of size n and alphabet size q whose cost of sequentialization is at least n/3. We also show that, if q ≥ 4, we can find one whose cost is at least n/2 − log q (n). We prove that n/2 + log q (n/2 + 1) is an upper bound for the cost of sequentialization of any AN h of size n and alphabet size q. Finally, we exhibit the exact relation between the cost of sequentialization of h and its procedural complexity with unlimited memory and prove that its cost of sequentialization is less than or equal to the pathwidth of its interaction graph

Simulations intrinsèques et complexités dans les réseaux d’automates

The objects at the center of this thesis are discrete dynamical systems, understood through finite automata networks, defined as vectors of local transition functions (so that one function is associated with one automaton). These automata networks can be tools for modeling natural interaction systems (biological networks, particle networks in physics...) and the phenomena they induce. They can also be seen as a model of computation that can be studied per se. These objects are approached through the prism of complexity and (theoretical) simulation, each of these concepts forming the core of a part of the document.The first part is devoted to the relations between the interaction graph of a network, that represents the influences between its automata, and the underlying dynamics. First, the focus is put on the fixed points problem that aims to understand the information that gives an interaction graph on the number of fixed points of a network, and more precisely on the algorithmic complexity of this counting. Then, our interest is focused on a somewhat opposite property, namely expansiveness. A network is expansive if one can predict its initial configuration by observing only one of its components for a long enough time. In other words, a network is expansive if its dynamics is unstable and if any initial local perturbation has visible repercussions on each automaton. We characterize the interaction graphs that admit an expansive network and study the possibility of a network to be expansive according to several parameters like the size of the alphabet, the "expansiveness time" or the type of the computed functions (linear, abelian...).The second part is devoted to intrinsic simulation, namely the capacity of a network to contain the behavioral complexity and computational richness of another network. Specifically, we are interested in a specific simulation based on the ability of one network to simulate step by step the dynamics of another network. One of the parameters that is emphasized is the update mode, which represents the time steps in which automata update their state. It is well known that the dynamics of a network strongly depends on update modes. A natural question in this context is to understand what kind of dynamics can be simulated with a given update mode. First, we highlight that a sequentially updated network is less "powerful" than a network updated in parallel. While any dynamics can be simulated by a network evolving in parallel, we show that to be simulated sequentially, it may require larger networks for which we give bounds on the size. Next, we present the characteristics of "complete" networks in the sense that they can simulate all networks of a given size by varying their update modes. Finally, we emphasize several networks of minimum size, or of minimal "simulation time", and study the relations between these two parameters.Les objets qui se trouvent au centre de cette thèse sont les systèmes dynamiques discrets, appréhendés à travers les réseaux d’automates finis, qui se définissent comme des vecteurs de fonctions locales de transition associées à chaque automate. Ces réseaux d’automates peuvent aussi bien être vus comme un outil pour modéliser des systèmes d’interactions naturels (réseaux biologiques, réseaux de particules physiques…) et les phénomènes qu’ils induisent que comme modèle de calcul que l’on peut étudier per se. Ces objets sont abordés à travers le prisme de la complexité et selon celui de la simulation (théorique), chacun de ces concepts formant le cœur d’une partie du document.La première partie est consacrée au rapport entre le graphe d’interaction d’un réseau, qui permet de représenter les influences entre ses automates, et la dynamique sous-jacente. Dans un premier temps, le focus est mis sur le problème des points fixes, ou configurations stables du réseau, qui vise à comprendre les informations que donne un graphe d’interaction sur le nombre de points fixes d’un réseau, et plus précisément sur la complexité algorithmique de ce comptage. Dans un second temps, l’intérêt est porté sur une propriété quelque peu opposée, à savoir l’expansivité. Un réseau est expansif si on peut prédire sa configuration de départ en observant une seule de ses composantes pendant suffisamment longtemps. Autrement dit, un réseau est expansif si sa dynamique est instable et que toute perturbation locale initiale a des répercussions visibles sur chaque automate. Nous caractérisons les graphes d’interactions qui admettent un réseau expansif et étudions la possibilité d’un réseau d’être expansif en fonction de plusieurs paramètres comme la taille de l’alphabet, le « temps d’expansivité » ou le type des fonctions calculées (linéaires, abéliennes...).La seconde partie est consacrée à la simulation intrinsèque, c’est-à-dire la capacité d’un réseau à contenir la complexité comportementale et la richesse calculatoire d’un autre réseau. Plus précisément, nous nous intéressons à une simulation spécifique fondée sur la capacité d’un réseau à simuler pas à pas toute la dynamique d’un autre réseau. L’un des paramètres sur lesquels l’accent est mis est le mode de mise à jour, qui représente les étapes de temps au cours desquelles les automates du réseau mettent à jour leur état. Il est bien connu que la dynamique d’un réseau dépend fortement des modes de mise à jour. Une question naturelle dans ce contexte est de comprendre quel type de dynamique peut être simulé avec un mode de mise à jour donné. Pour commencer, nous mettons en évidence le fait qu’un réseau mis à jour séquentiellement est moins « puissant » qu’un réseau mis à jour en parallèle. Alors que toute dynamique peut-être simulée par un réseau évoluant en parallèle, nous montrons que pour être simulée séquentiellement, elle peut nécessiter des réseaux plus grands dont nous bornons la taille. Ensuite, nous donnons les caractéristiques de réseaux « complets » dans le sens qu’ils peuvent simuler tous les réseaux d’une taille donnée en faisant varier leurs modes de mise à jour. Nous présentons enfin plusieurs réseaux de taille minimale, ou de « temps de simulation » minimal, et étudions les relations entre ces deux paramètres