Éléments finis isogéométriques massifs coque sans verrouillage pour des simulations en mécanique non linéaire des solides

With the introduction of IsoGeometric Analysis (IGA), the calculation of shell has become possible using the exact geometry for coarse meshes. In order to that, Lagrange polynomials are replaced by NURBS functions, the most commonly used technology in Computer-Aided Design, to perform the analysis. In addition, NURBS functions have a higher order of continuity, which leads to higher per-degree-of-freedom accuracy of the shell solution than with classical Finite Elements Analysis (FEA). IGA has now been widely applied in shell formulations. Nevertheless, it has still rarely been studied in the context of solid-shell models. This second shell approach is, however, very useful for engineers, since it enables to calculate thin structures using 3D solid elements, i.e. involving only displacements as degrees of freedom. The difficulty in shell analysis is to deal with locking which highly deteriorates the convergence of the solution. The NURBS framework does not enable to solve the problem directly. Then, to really benefit from NURBS in shells, specific strategies need to be implemented to answer the locking issue. This is the goal of the thesis in the context of solid-shell elements. The first work has consisted, on a curved beam problem, in extending the locking-free methods usually encountered in FEA to the NURBS context. The study resulted in the development of two new strategies for NURBS: the first one is based on a selective reduced integration technique and the second one makes use of a B-bar projection. The global formalism offered by the B-bar method appearing more suitable for NURBS, it has then been investigated for solid-shell elements. More precisely, a mixed formulation has first been elaborated from which, it has been possible to derive the equivalent B-bar projection. From a theoretical point of view, this strategy constitutes the most important result of this work: a systematic method to construct a consistent B-bar projection is to write a mixed formulation. With regards to the implementation, the main idea to treat locking of the solid-shell elements has been to modify the average of the strain and stress components across the thickness of the shell. Hourglass control has also been added to stabilize the element in particular situations. The resulting element is of good quality for low order approximations and coarse meshes: the quadratic version seems to be more accurate than basic NURBS elements of order 4. The proposed method leads to a global stiffness matrix of small size but full. This problem is inherent to NURBS functions. It has been limited here by using a local least squares procedure to approach the B-bar projection. Finally, the mixed element has been successfully extended to geometric non-linearity which reflects the ability of the methodology to be used in complex simulations.Avec l’arrivée de l’Analyse IsoGéométrique (IGA), le calcul de coque est devenu possible en utilisant la géométrie exacte pour des maillages grossiers. Pour cela, les polynômes de Lagrange sont remplacés pour l’interpolation par des fonctions NURBS (technologie la plus courante en conception assistée par ordinateur). De plus, ces fonctions possèdent une continuité supérieure ce qui offre une meilleure précision qu’un calcul éléments finis à nombre de degrés de liberté égal. L’IGA a déjà été développée pour les formulations coques. Elle n’a été cependant que très peu étudiée pour les modèles massifs coque. Pourtant, cette deuxième approche est très utilisée par l’ingénieur car elle permet de calculer des structures minces à l’aide d’éléments continus 3D, c’est-à-dire en faisant intervenir uniquement des inconnues en déplacements. La difficulté en calcul de coque est de faire face au verrouillage qui conduit à une forte dégradation de la convergence de la solution. Le cadre NURBS ne permet pas lui-même de résoudre ce problème. La meilleure efficacité de l’approximation NURBS ne peut donc être atteinte sans le développement de techniques particulières pour supprimer le verrouillage. C’est le but de cette thèse dans le cadre des éléments massifs coque. Le premier travail a consisté, sur un problème de poutre courbe, à étendre les méthodes sans verrouillage habituelles au contexte NURBS. Deux nouvelles stratégies ont alors été développées pour les NURBS : la première est basée sur une technique d’intégration réduite tandis que la seconde fait appel à une projection B-bar. Le formalisme général des méthodes B-bar semblant plus adapté, c’est celui-ci que nous avons développé ensuite pour les éléments massifs coque. Plus précisément, nous avons mis en place une formulation mixte de laquelle nous avons pu dériver la projection B-bar équivalente. Cette démarche constitue d’un point de vue théorique le résultat principal du travail : une méthode systématique pour construire une projection B-bar consistante est de passer par une formulation mixte. D’un point de vue mise en œuvre, l’idée principale pour traiter le verrouillage des éléments massifs coque a été de modifier l’interpolation de la moyenne dans l’épaisseur de la coque des composantes du tenseur des contraintes. Un contrôle de hourglass a aussi été ajouté pour stabiliser l’élément dans certaines situations. L’élément obtenu est de bonne qualité pour une interpolation de bas degrés et des maillages grossiers : la version quadratique semble plus précise que des éléments standards NURBS de degré 4. La méthode proposée conduit à une matrice de rigidité globale de petite taille mais pleine. Ce problème est inhérent aux NURBS. Il a pu être limité ici en utilisant une procédure de type moindres carrés locaux pour approcher la projection B-bar. Finalement, l’élément mixte a été étendu avec succès en non linéaire géométrique ce qui témoigne du potentiel de la méthode pour mener des simulations complexes

Local enrichment of NURBS patches using a non-intrusive coupling strategy: Geometric details, local refinement, inclusion, fracture

International audienceIn this work, we apply a non-intrusive global/local coupling strategy for the modelling of local phenomena in a NURBS patch. The idea is to consider the NURBS patch to be enriched as the global model. This results in a simple, flexible strategy: first, the global NURBS patch remains unchanged, which completely eliminates the need for costly re-parametrization procedures (even if the local domain is expected to evolve); then, easy merging of a linear NURBS code with any other existing robust codes suitable for the modelling of complex local behaviour is possible. The price to pay is the number of iterations of the non-intrusive solver but we show that this can be strongly reduced by means of acceleration techniques. The main development for NURBS is to be able to handle non-conforming geometries. Only slight changes in the implementation process, including the setting up of suitable quadrature rules for the evaluation of the interface reaction forces, are made in response to this issue. A range of numerical examples in two-dimensional linear elasticity are given to demonstrate the performance of the proposed methodology and its significant potential to treat any case of local enrichment in a NURBS patch simply

Reduced Order Modeling based Inexact FETI-DP solver for lattice structures

This paper addresses the overwhelming computational resources needed with standard numerical approaches to simulate architected materials. Those multiscale heterogeneous lattice structures gain intensive interest in conjunction with the improvement of additive manufacturing as they offer, among many others, excellent stiffness-to-weight ratios. We develop here a dedicated HPC solver that benefits from the specific nature of the underlying problem in order to drastically reduce the computational costs (memory and time) for the full fine-scale analysis of lattice structures. Our purpose is to take advantage of the natural domain decomposition into cells and, even more importantly, of the geometrical and mechanical similarities among cells. Our solver consists in a so-called inexact FETI-DP method where the local, cell-wise operators and solutions are approximated with reduced order modeling techniques. Instead of considering independently every cell, we end up with only few principal local problems to solve and make use of the corresponding principal cell-wise operators to approximate all the others. It results in a scalable algorithm that saves numerous local factorizations. Our solver is applied for the isogeometric analysis of lattices built by spline composition, which offers the opportunity to compute the reduced basis with macro-scale data, thereby making our method also multiscale and matrix-free. The solver is tested against various 2D and 3D analyses. It shows major gains with respect to black-box solvers; in particular, problems of several millions of degrees of freedom can be solved with a simple computer within few minutes.Comment: 30 pages, 12 figures, 2 table

Méthode d'implémentation non intrusive de l'analyse isogéométrique dans un code éléments finis : vers la prédiction de l'endommagement dans les composites.

L'utilisation des matériaux composites est devenue un des enjeux technologiques majeurs dans l'industrie, et les exigences sont croissantes pour l'utilisation de ces matériaux et la prédiction fine de leur comportement. Un choix indispensable pour réduire le nombre d'essais expérimentaux est de les remplacer par la simulation numérique (Virtual Testing) qui permet de prévoir numériquement le comportement des matériaux composites dans les structures mécaniques, jusqu'à la ruine. Parmi les méthodes numériques les plus avancées, l'analyse isogéométrique (IGA) émerge comme le candidat le plus prometteur étant donné sa robustesse et sa grande précision. Initiée dans [HUG05], cette méthode a fortement attiré l'attention de la communauté scientifique et de l'industrie, et elle a été appliquée avec succès dans de nombreux domaines duvCalcul de Structures [NGUXU14]. Lorsque l'on s'intéresse à la simulation de l'endommagement de composites, le coût de calcul en éléments finis classiques est trop important à l'heure actuelle pour satisfaire les exigences industrielles et donc la méthode IGA pourrait être intéressante. La méthode IGA permet de connecter plus efficacement la CAO et le calcul numérique, en utilisant les mêmes fonctions pour décrire la géométrie et la solution approchée, les fonctions B-splines ou NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines). Elle permet ainsi une description exacte de la géométrie et utilise des fonctions plus régulières pour le calcul.  Les premiers travaux présentés portent sur l'utilisation de l'analyse isogéométrique pour les matériaux composites. Certains travaux ont préalablement été réalisés sur l'utilisation de l'IGA dans les matériaux composites et sur le délaminage mais pas avec de l'endommagement plus complexe. C'est pourquoi en s'appuyant sur les travaux sur l'extraction de Bézier [BOR10], un lien sera créé entre la géométrie isogéométrique et un code élément fini industriel dans lequel est déjà présent la modélisation du comportement des composites, parfois complexe: rupture de fibre, décohésion fibre/matrice, fissurations diffuses dans la matrice, fissuration transverse, délaminage, etc. Cette transformation permettra d'utiliser un code élément fini tel que SAMCEF dans lequel est implémenté le mésomodèle [LAD14]. Une comparaison avec une résolution par éléments finis classiques sera faite afin de mettre en avant les avantages de l'analyse isogéométrique dans cette situation. Dans un dernier temps, des stratégies de couplages global/local non-intrusives [BOU16] seront mises en place pour profiter d'une meilleure description locale du mésomodèle tout en limitant le coût de calcul à l'échelle macroscopique. [HUG05] Hughes T.J.R, Cottrell J.A, Bazilevs Y. Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 194(39-41):4135-4195 (2005). [NGUXU14] Nguyen-Xuan H, Tran L.V, Thai C.H, Kulasegaram S, Bordas S.P.A. Isogeometric analysis of functionally graded plates using a refined plate theory, Composite Part B, 64:222?234 (2014). [BOR10] Borden M.J, Scott M.A, Evans J.A, Hughes T.J.R., Isogeometric finite element data structures based on Bezier extraction of NURBS, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 87:15-47 (2011). [LAD14] Ladevèze P, Daghia F, Abisset E, Le Mauff C. A micromechanics-based interface mesomodel for virtual testing of laminated composites. Advanced Modeling and Simulation in Engineering Sciences, 1:7 (2014). [BOU14] Bouclier R, Passieux J-C, Salaün M. Local enrichment of NURBS patches using a non-intrusive coupling strategy : geometric details, local refinement, inclusion, fracture. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 300:1-26 (2016)

Isogeometric locking-free NURBS-based solid-shell elements for nonlinear solid mechanics

Avec l’arrivée de l’Analyse IsoGéométrique (IGA), le calcul de coque est devenu possible en utilisant la géométrie exacte pour des maillages grossiers. Pour cela, les polynômes de Lagrange sont remplacés pour l’interpolation par des fonctions NURBS (technologie la plus courante en conception assistée par ordinateur). De plus, ces fonctions possèdent une continuité supérieure ce qui offre une meilleure précision qu’un calcul éléments finis à nombre de degrés de liberté égal. L’IGA a déjà été développée pour les formulations coques. Elle n’a été cependant que très peu étudiée pour les modèles massifs coque. Pourtant, cette deuxième approche est très utilisée par l’ingénieur car elle permet de calculer des structures minces à l’aide d’éléments continus 3D, c’est-à-dire en faisant intervenir uniquement des inconnues en déplacements. La difficulté en calcul de coque est de faire face au verrouillage qui conduit à une forte dégradation de la convergence de la solution. Le cadre NURBS ne permet pas lui-même de résoudre ce problème. La meilleure efficacité de l’approximation NURBS ne peut donc être atteinte sans le développement de techniques particulières pour supprimer le verrouillage. C’est le but de cette thèse dans le cadre des éléments massifs coque. Le premier travail a consisté, sur un problème de poutre courbe, à étendre les méthodes sans verrouillage habituelles au contexte NURBS. Deux nouvelles stratégies ont alors été développées pour les NURBS : la première est basée sur une technique d’intégration réduite tandis que la seconde fait appel à une projection B-bar. Le formalisme général des méthodes B-bar semblant plus adapté, c’est celui-ci que nous avons développé ensuite pour les éléments massifs coque. Plus précisément, nous avons mis en place une formulation mixte de laquelle nous avons pu dériver la projection B-bar équivalente. Cette démarche constitue d’un point de vue théorique le résultat principal du travail : une méthode systématique pour construire une projection B-bar consistante est de passer par une formulation mixte. D’un point de vue mise en œuvre, l’idée principale pour traiter le verrouillage des éléments massifs coque a été de modifier l’interpolation de la moyenne dans l’épaisseur de la coque des composantes du tenseur des contraintes. Un contrôle de hourglass a aussi été ajouté pour stabiliser l’élément dans certaines situations. L’élément obtenu est de bonne qualité pour une interpolation de bas degrés et des maillages grossiers : la version quadratique semble plus précise que des éléments standards NURBS de degré 4. La méthode proposée conduit à une matrice de rigidité globale de petite taille mais pleine. Ce problème est inhérent aux NURBS. Il a pu être limité ici en utilisant une procédure de type moindres carrés locaux pour approcher la projection B-bar. Finalement, l’élément mixte a été étendu avec succès en non linéaire géométrique ce qui témoigne du potentiel de la méthode pour mener des simulations complexes.With the introduction of IsoGeometric Analysis (IGA), the calculation of shell has become possible using the exact geometry for coarse meshes. In order to that, Lagrange polynomials are replaced by NURBS functions, the most commonly used technology in Computer-Aided Design, to perform the analysis. In addition, NURBS functions have a higher order of continuity, which leads to higher per-degree-of-freedom accuracy of the shell solution than with classical Finite Elements Analysis (FEA). IGA has now been widely applied in shell formulations. Nevertheless, it has still rarely been studied in the context of solid-shell models. This second shell approach is, however, very useful for engineers, since it enables to calculate thin structures using 3D solid elements, i.e. involving only displacements as degrees of freedom. The difficulty in shell analysis is to deal with locking which highly deteriorates the convergence of the solution. The NURBS framework does not enable to solve the problem directly. Then, to really benefit from NURBS in shells, specific strategies need to be implemented to answer the locking issue. This is the goal of the thesis in the context of solid-shell elements. The first work has consisted, on a curved beam problem, in extending the locking-free methods usually encountered in FEA to the NURBS context. The study resulted in the development of two new strategies for NURBS: the first one is based on a selective reduced integration technique and the second one makes use of a B-bar projection. The global formalism offered by the B-bar method appearing more suitable for NURBS, it has then been investigated for solid-shell elements. More precisely, a mixed formulation has first been elaborated from which, it has been possible to derive the equivalent B-bar projection. From a theoretical point of view, this strategy constitutes the most important result of this work: a systematic method to construct a consistent B-bar projection is to write a mixed formulation. With regards to the implementation, the main idea to treat locking of the solid-shell elements has been to modify the average of the strain and stress components across the thickness of the shell. Hourglass control has also been added to stabilize the element in particular situations. The resulting element is of good quality for low order approximations and coarse meshes: the quadratic version seems to be more accurate than basic NURBS elements of order 4. The proposed method leads to a global stiffness matrix of small size but full. This problem is inherent to NURBS functions. It has been limited here by using a local least squares procedure to approach the B-bar projection. Finally, the mixed element has been successfully extended to geometric non-linearity which reflects the ability of the methodology to be used in complex simulations

Couplage hybride IGA/FEM non-intrusif pour la simulation globale/locale non-linéaire de structures

International audienceNotre objectif est de proposer une approche facilitant l’utilisation de l’analyse isogéométrique avec des codes de caclul industriel pour traiter des cas présentant des non-linéarités locales. Ainsi nous mettons en œuvre une approche de couplage itérative de type globale/locale entre un modèle global linéaire isogéométrique et un modèle local non-linéaire éléments finis. Nous souhaitons ainsi bénéficier des avantages des deux technologies : 1) un meilleur ratio précision/nombre de degré de liberté pour l’isogéométrique qui permet de représenter à moindre coût une solution globale régulière et 2) la robustesse des éléments finis pour traiter des cas non-linéaires présentant des singularités. Nous présentons de plus une approche non-intrusive dans le sens où nous nous basons uniquement sur un code de calcul éléments finis sans recourir à un code isogéométrique dédié. Il est en effet possible de faire un pont entre l’analyse isogéométrique et l’analyse par éléments finis. L’espace engendré par les fonctions splines est en fait un sous-espace de celui engendré par les fonctions de forme éléments finis. Les opérateurs éléments finis peuvent ainsi être projetés pour obtenir les opérateurs isogéométriques

IGA: Non‐conforming Coupling and Shape Optimization of Complex Multipatch Structures

International audienc

Development of a Nitsche-based, non-intrusive, global/local coupling algorithm for IGA

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