Diszkrét és konvex geometria = Discrete and convex geometry

R^3-ben n pont meghataroz legalabb const n^{77/141 -epsilon} tavolsagot (epsilon >0 tetsz.) R^3-ben n nem koplanaris pont (n>6 paratlan) meghataroz legalabb 2n-5 iranyt, es ez minden fenti n-re pontos. Egy racsteglatestnek, amelybe teljes n-es graf belerajzolhato, hogy a csucsok racspontok, es az elek mas csucson nem mennek at, minimalis terfogata const n^{3/2}. R^3-ben C^2 konvex testeknek korlatozott elszamu konvex poliederekkel torteno terfogatapproximaciojat visgaltuk, es erre aszimptotikus formulat adtunk. Minden harmadfoku graf egyenes elekkel sikba rajzolhato ugy hogy el nem tartalmaz mas csucsot, es az elek iranyai szama legfeljebb const. Az egysegkor veges sok konvex tartomanyra bontasa eseten ezek beirt korei sugarai osszege legalabb 1. R^n-ben egy 2 atlagszelessegu konvex test kore irt szimplex atlagszelessege legalabb akkora mint az egyseggomb kore irt szabalyos szimplexe. R^n-ben (n>1) ket konvex test, amelyek barmely kongruens peldanyainak metszete/uniojuk konvex burka centralszimmetrikus, kongruens gombok. Minden veges sikbeli ponthalmazban van Hamilton-ut, hogy egyik szog sem kisebb 20 foknal. R^n-ben 0-ra csillagszeru testet meghataroznak a linearis (n-1)-alterekkel valo metszetei teruletei es sulypontjai. Fix k-ra n pontu, gorbevonalakkal sikbarajzolt grafokra, amelyeknel nincs k paronkent metszo el, az elszamra a korabbiaknal sokkal jobb felso becslest adtunk. | In R^3 n points determine at least const n^{77/141-epsilon} distances (epsilon >0 arbitrary). In R^3 n not coplanar points (n>6 odd) determine at least 2n-5 directions, sharp for each above n. In R^3 lattice rectangular box, in which complete graph on n vertices can be drawn, vertices being lattice points, edges not containing other vertices, has minimal volume const n^{3/2}. In R^3 we investigated volume approximation of C^2 convex bodies by convex polyhedra with number of edges bounded above, gave asymptotic formula. Each 3rd degree graph can be drawn in R^2 with straight edges, no edge containing other vertices, number of directions of edges bounded. Decomposing the unit disc to finitely many convex domains, sum of the inradii is >= 1. In R^n average width of simplex, circumscribed to convex body of constant width 2, is >= that of regular simplex circumscribed to unit ball. In R^n (n>1) two convex bodies, intersection/convex hull of union of any congruent copies of which being centrally symmetric, are congruent balls. Finite set in R^2 has Hamilton line, each angle >= 20 degrees. In R^n body starlike w.r.t. 0 is determined by areas and barycentres of its sections with linear (n-1)-subspaces. We gave, for fixed k, for edge numbers of graphs with n vertices, drawn in R^2 with curvilinear edges, having no k pairwise intersecting edges, estimates from above, much better than earlier ones

Diszkrét és kombinatórikus geometriai kutatások = Topics in discrete and combinatorial geometry

A most lezárult OTKA grant, 8 résztvevő diszkrét geometriai kutatását támogatta. Itt a témák ilusztrálására kiemelünk néhányat az elért 72 publikációból. 1. Jelentős eredmények születtek (8 cikk) gráfok síkba rajzolhatóságáról, például az úgynevezett metszési számról. 2. Többek között sikerült igazolni Katchalski és Lewis 20 éves sejtését, mely szerint diszjunkt egységkörökből álló rendszereknél ha bármely három körnek van közös metsző egyenese akkor van olyan egyenes, amely legfeljebb 2 kör kivételével valamennyit metsz. 3. Littlewood (1964) problémájaként ismert volt az a kérdés, hogy hány henger érintheti kölcsönösen egymást? Viszonylag alacsony felső korlátot találtunk és egy régóta ismert elhelyzés valótlanságát igazoltuk. 4. Többszörös fedések egyszerű fedésekre való szétbontását vizsgáltuk és értünk el lényeges előrelépést. 5. A Borsuk-féle darabolási problémanak azt a variánsát vizsgáltuk, amelyben a darabolást u. n. hengeres darabolásra korlátozták. 6. Bebizonyítottuk, hogy ''nem nagyon elnyúlt'' ellipszisek esetében a sík legritkább fedésének meghatározásánál el lehet tekinteni az u.n. nem-keresztezési feltételtől. 7. A sejtetthez nagyon közeli korlátot találtunk arra a problémára, hogy az n-dimenziós térben legfeljebb hány homotetikus konvex test helyezhető el úgy, hogy bármely kettő érintse egymást. | Discrete geometry in Hungary flourished since the sixties as a result of the work of László Fejes Tóth. The supported research of 8 participant also belongs to this area. Here we illustrate the achieved 72 publications by mentioning a few results. 1. Important theorems (8 papers) were proved concerning graph drawing. 2. Among others, a 20 year old problem of Katchalsky was proved, stating that in a packing of congruent circles, if any three has a common transversal, then there is a line, which avoids at most two of the circles. 3. Concerning a conjecture of Littlewood we found a small upper bound for the number of infinite cylinders which mutually touch each other. 4. We studied decomposability of multiple coverings into single coverings. 5. We studied that variant of the famous Borsuk problem where the partitions are restricted to cylindrical partitions. 6. We proved that in case of ellipses which are not ''too long'' at determining the thinnest covering one can omit the usually needed noncrossing condition. 7. A bound close to the conjectured bound was found concerning the number of n-dimensional homothetic convex solids which mutually touch each other

On nontriangulable polyhedra

Triangulations of 3-dimensional polyhedron are partitions of the polyhedron with tetrahedra in a face-to-face fashion without introducing new vertices. Schönhardt (Math. Ann. 89:309–312, 1927), Bagemihl (Amer. Math. Mon. 55:411–413, 1948), Kuperberg (Personal communication 2011) and others constructed special polyhedra in such a way that clever one line geometric reasons imply nontriangulability. Rambau (Comb. Comput. Geom. 52:501–516, 2005) proved that twisted prisms over n-gons are nontriangulable. Our approach for proving polyhedra are nontriangulable is to show that partitions with tetrahedra, which we call tilings, do not exist even if the face-to-face-restriction is relaxed. First we construct a polyhedron which is tileable but is not triangulable. Then we revisit Rambau type twisted prisms. In fact we consider a slightly different class of polyhedra, and prove that these new twisted prisms are nontileable, thus are nontriangulable. We also show that one can twist the regular dodecahedron so that it becomes nontileable, which is abstracted to a new family of nontileable polyhedra, called nonconvex twisted pentaprisms. © 2015, The Managing Editors