Transformation of the linear difference equation into a system of the first order difference equations

The transformation of the N-th-order linear difference equation into a system of the first order difference equations is presented. The proposed transformation opens possibility to obtain new forms of the N-dimensional system of the first order equations that can be useful for the analysis of solutions of the N-th-order difference equations. In particular for the third-order linear difference equation the nonlinear second-order difference equation that plays the same role as the Riccati equation for second-order linear difference equation is obtained. The new form of the Ndimensional system of first order equations can also be used to find the WKB solutions of the linear difference equation with coefficients that vary slowly with index.Представлено перетворення лінійного різницевого рівняння N-го порядку в систему різницевих рівнянь першого порядку. Запропонована трансформація відкриває можливість отримання нових форм N-вимірної системи рівнянь першого порядку, які можуть бути корисними для аналізу рішень різницевих рівнянь N-го порядку. Зокрема, для лінійних різницевих рівнянь третього порядку отримано нелінійне різницеве рівняння другого порядку, яке відіграє ту ж саму роль, що й рівняння Ріккаті для лінійного різницевого рівняння другого порядку. Нова форма N-вимірної системи рівнянь першого порядку також може бути використана для пошуку ВКБ-рішень лінійного різницевого рівняння з коефіцієнтами, які повільно змінюються з індексом.Представлено преобразование линейного разностного уравнения N-го порядка в систему разностных уравнений первого порядка. Предложенное преобразование открывает возможность получения новых форм N-мерной системы уравнений первого порядка, которые могут быть полезны для анализа решений разностных уравнений N-го порядка. В частности, для линейного разностного уравнения третьего порядка получено нелинейное разностное уравнение второго порядка, которое играет ту же роль, что и уравнение Риккати для линейного разностного уравнения второго порядка. Новая форма N-мерной системы уравнений первого порядка также может быть использована для нахождения ВКБ-решений линейного разностного уравнения с коэффициентами, которые медленно меняются в зависимости от индекса

Electromagnetic oscillations in periodic mediums and waveguides outside the passband

It is known that in boundless periodic mediums and waveguides there are two different in basis electromagnetic eigen oscillations supported by medium (waveguide) without external currents and charges. Our results have shown that in the case of forbidden zone in the systems bounded from two sides there are situations when excited are mainly oscillations only of one type - being increased or decreased

Model of finite inhomogeneous cavity chain and approximate methods of its analysis

A new approach to the description of an inhomogeneous chain of coupled resonators (inhomogeneous disk waveguides) is proposed. New matrix difference equations based on the technique of coupled integral equations and the decomposition method are obtained. Various approximate approaches have been developed, including the WKB approximation.Запропоновано новий підхід до опису неоднорідного ланцюга зв’язаних резонаторів (неоднорідних діафрагмованих хвилеводів). Отримані нові матричні різницеві рівняння, які засновані на техніці зв'язаних інтегральних рівнянь та методі декомпозиції. Розроблені різні наближені підходи, включаючи наближення WKB.Предложен новый подход к описанию неоднородной цепи связанных резонаторов (неоднородных диафрагмированных волноводов). Получены новые матричные разностные уравнения, основанные на технике связанных интегральных уравнений и методе декомпозиции. Разработаны различные приближенные подходы, включая приближение WKB

New type of eigen oscillations based on evanescent waves

In this paper we represent the results of investigations of the electromagnetic waves in a layered dielectric that is limited from one side by a metal plate. There are electromagnetic oscillations, which evanesce in the direction of periodicity and propagate along the perpendicular direction, so they can be treated as surface waves. Existence of such waves gives possibility to create resonators filled by a layered dielectric with new type of eigen oscillations based on these evanescent waves

Wave propagation in stratified medium: new matrix form of the wave difference equation

Results of research of possibility of transformation of a wave difference equation into a system of the first-order difference equations are presented. In contrast to the method used previously, an unknown grid function is split into two new auxiliary functions, which have definite properties. Several examples show that proposed approach can be used for solving different physical problems associated with the wave propagation in one dimension.Представлені результати дослідження можливості перетворення хвильового різницевого рівняння в систему різницевих рівнянь першого порядку. На відміну від існуючого підходу, в пропонованому методі сіткова функція представляється у вигляді суми двох нових сіткових функцій, які мають певні властивості. Розглянуті приклади показують, що пропонований метод може бути корисним при дослідженні процесів розповсюдження хвиль в одновимірному випадку.Представлены результаты исследования возможности преобразования волнового разностного уравнения в систему разностных уравнений первого порядка. В отличие от существующего подхода, в предлагаемом методе сеточная функция представляется в виде суммы двух новых сеточных функций, которые обладают определенными свойствами. Рассмотренные примеры показывают, что предлагаемый метод может быть полезным при исследовании процессов распространения волн в одномерном случае

Nonlocal equations for the electromagnetic field in the inhomogeneous accelerating structures

The procedure for obtaining a difference equation, the solution of which is the components of the electric (or magnetic) field at the chosen set of points in the volume of the resonator chain, was developed. We started with the wave equation with boundary conditions and obtained the difference equation without boundary conditions. Boundary conditions were included into the coefficients of the difference equation for the electric field. As the obtained equation connects the field values in different points (in general case, on an infinite set of points), the proposed procedure represents a nonlocal model for field description. Solutions of the difference equation for the electric field were analyzed. It was shown that they coincide with good accuracy with the ones that were obtained by direct summing of relevant series.Розроблено процедуру отримання різницевого рівняння, вирішенням якого є складові електричного (або магнітного) поля в обраних точках резонаторного ланцюга зв’язаних резонаторів. Ми почали з хвильового рівняння з граничними умовами і отримали різницеве рівняння без граничних умов. Граничні умови були включені в коефіцієнти різницевого рівняння для електричного поля. Оскільки отримане рівняння пов’язує значення поля в різних точках (у загальному випадку на нескінченій множині точок), запропонована процедура являє собою нелокальну модель опису поля. Проаналізовано розв'язки різницевого рівняння для електричного поля. Показано, що вони з хорошою точністю співпадають з такими, які були отримані прямим сумуванням відповідних рядів.Разработана процедура получения разностного уравнения, решением которого являются составляющие электрического (или магнитного) поля в избранных точках резонаторной цепи связанных резонаторов. Мы начали с волнового уравнения с граничными условиями и получили разностное уравнение без граничных условий. Граничные условия были включены в коэффициенты разностного уравнения для электрического поля. Поскольку полученное уравнение связывает значение поля в разных точках (в общем случае на бесконечном множестве точек), предложенная процедура представляет собой нелокальную модель описания поля. Проанализированы решения разностного уравнения для электрического поля. Показано, что они с хорошей точностью совпадают с решениями, которые были получены прямым суммированием cоответствующих рядов

Modification of the coupled integral equations method for calculation of the accelerating structure characteristics

In this paper we present modification of coupled integral equations method (CIEM) for calculating the characteristics of the accelerating structures. In earlier developed CIEM schemes the coupled integral equations are derived for the unknown electrical fields at interfaces that divide the adjacent volumes. In addition to the standard division of the structured waveguide by interfaces between the adjacent cells, we propose to introduce new interfaces in places where electric field has the simplest transverse structure. Moreover, the system of coupled integral equations is formulated for longitudinal electrical fields in contrast to the standard approach where the transverse electrical fields are unknowns. The final vector equations contain expansion coefficients of the longitudinal electric field at these additional interfaces. This modification makes it possible to deal with a physical quantity that plays an important role in the acceleration of particles (a longitudinal electric field), and to obtain approximate equations for the case of a slow change in the waveguide parameters.Представлено модифікацію методу зв’язаних інтегральних рівнянь для розрахунку характеристик прискорювальних структур. У раніше розроблених схемах зв’язані інтегральні рівняння формулюються для невідомих електричних полів на поверхнях розділу, що ділять суміжні об’єми. На додаток до стандартного поділу структурованого хвилеводу на межі розділу між сусідніми комірками пропонуємо ввести нові інтерфейси в місцях, де електричне поле має найпростішу поперечну структуру. Крім того, система зв’язаних інтегральних рівнянь сформульована для поздовжніх електричних полів на відміну від стандартного підходу, де поперечні електричні поля невідомі. Кінцеві векторні рівняння містять коефіцієнти розкладання поздовжнього електричного поля на цих додаткових поверхнях розділу. Ця модифікація дає змогу мати справу з фізичною величиною, яка відіграє важливу роль у прискоренні частинок (поздовжнє електричне поле), та отримати наближені рівняння для випадку повільної зміни параметрів хвилеводу.Представлена модификация метода связанных интегральных уравнений для расчета характеристик ускоряющих структур. В разработанных ранее схемах связанные интегральные уравнения формулируются для неизвестных электрических полей на границах раздела, разделяющих соседние объемы. В дополнение к стандартному разделению структурированного волновода границами раздела между соседними ячейками предлагается ввести новые границы раздела в местах, где электрическое поле имеет простейшую поперечную структуру. Кроме того, система связанных интегральных уравнений формулируется для продольных электрических полей в отличие от стандартного подхода, когда поперечные электрические поля неизвестны. Окончательные векторные уравнения содержат коэффициенты разложения продольного электрического поля на этих дополнительных границах раздела. Эта модификация позволяет оперировать с физической величиной, играющей важную роль в ускорении частиц (продольным электрическим полем), и получить приближенные уравнения для случая медленного изменения параметров волновода

Electromagnetic oscillations in periodic mediums and waveguides outside the passband

It is known that in boundless periodic mediums and waveguides there are two different in basis electromagnetic eigen oscillations supported by medium (waveguide) without external currents and charges. Our results have shown that in the case of forbidden zone in the systems bounded from two sides there are situations when excited are mainly oscillations only of one type - being increased or decreased

Inhomogeneous travelling-wave accelerating sections and WKB approach

The paper presents the results of a study of the possibility of using the WKB approach to describe Inhomogeneous Travelling-Wave Accelerating Sections. This possibility not only simplifies the calculation, but also allows the use of simpler physical models of transient processes. Using the traveling wave concept simplifies the understanding of pulsed-excited ITWAS transients and the development of methods to mitigate their effect on beam parameters.Представлено результати дослідження можливості використання ВКБ-підходу для опису неоднорідних прискорюючих секцій на хвилі, що біжить. Ця можливість не тільки спрощує розрахунок, а й дозволяє використовувати більш прості фізичні моделі перехідних процесів. Використання концепції біжної хвилі спрощує розуміння перехідних процесів у секціях з імпульсним збудженням і розробку методів зменшення їх впливу на параметри пучка.Представлены результаты исследования возможности использования ВКБ-подхода для описания неоднородных ускоряющих секций на бегущей волне. Эта возможность не только упрощает расчет, но и позволяет использовать более простые физические модели переходных процессов. Использование концепции бегущей волны упрощает понимание переходных процессов в секциях с импульсным возбуждением и разработку методов уменьшения их влияния на параметры пучка

On the transformation of the linear differential equation into a system of the first order equations

The generalization of the transformation of the linear differential equation into a system of the first order equations is presented. The proposed transformation gives possibility to get new forms of the N-dimensional system of first order equations that can be useful for analysis of the solutions of the N-th-order differential equations. In particular, for the third-order linear equation the nonlinear second-order equation that plays the same role as the Riccati equation for second-order linear equation is obtained.Представлено узагальнення перетворення лінійного диференціального рівняння в систему різницевих рівнянь першого порядку. Запропонована трансформація дає можливість отримати нові форми N-вимірної системи рівнянь першого порядку, які можуть бути корисними для аналізу розв'язків диференціальних рівнянь. Зокрема, для лінійного диференціального рівняння третього порядку отримано нелінійне рівняння другого порядку, яке відіграє ту ж саму роль, що і рівняння Ріккаті для лінійного рівняння другого порядку.Представлено обобщение преобразования линейного дифференциального уравнения в систему разностных уравнений первого порядка. Предложенное преобразование дает возможность получить новые формы N-мерной системы уравнений первого порядка, которые могут быть полезны для анализа решений дифференциальных уравнений третьего порядка. В частности, для линейного дифференциального уравнения третьего порядка получено нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое играет ту же роль, что и уравнение Риккати для линейного дифференциального уравнения второго порядка