Spectral Flow and Global Topology of the Hofstadter Butterfly

We study the relation between the global topology of the Hofstadter butterfly of a multiband insulator and the topological invariants of the underlying Hamiltonian. The global topology of the butterfly, i.e., the displacement of the energy gaps as the magnetic field is varied by one flux quantum, is determined by the spectral flow of energy eigenstates crossing gaps as the field is tuned. We find that for each gap this spectral flow is equal to the topological invariant of the gap, i.e., the net number of edge modes traversing the gap. For periodically driven systems, our results apply to the spectrum of quasienergies. In this case, the spectral flow of the sum of all the quasienergies gives directly the Rudner invariant.Comment: 5 pages, 3 figure

A Short Course on Topological Insulators: Band-structure topology and edge states in one and two dimensions

This course-based primer provides newcomers to the field with a concise introduction to some of the core topics in the emerging field of topological band insulators in one and two dimensions. The aim is to provide a basic understanding of edge states, bulk topological invariants, and of the bulk--boundary correspondence with as simple mathematical tools as possible. We use noninteracting lattice models of topological insulators, building gradually on these to arrive from the simplest one-dimensional case (the Su-Schrieffer-Heeger model for polyacetylene) to two-dimensional time-reversal invariant topological insulators (the Bernevig-Hughes-Zhang model for HgTe). In each case the model is introduced first and then its properties are discussed and subsequently generalized. The only prerequisite for the reader is a working knowledge in quantum mechanics, the relevant solid state physics background is provided as part of this self-contained text, which is complemented by end-of-chapter problems

Detecting topological invariants in chiral symmetric insulators via losses

We show that the bulk winding number characterizing one-dimensional topological insulators with chiral symmetry can be detected from the displacement of a single particle, observed via losses. Losses represent the effect of repeated weak measurements on one sublattice only, which interrupt the dynamics periodically. When these do not detect the particle, they realize negative measurements. Our repeated measurement scheme covers both time-independent and periodically driven (Floquet) topological insulators, with or without spatial disorder. In the limit of rapidly repeated, vanishingly weak measurements, our scheme describes non-Hermitian Hamiltonians, as the lossy Su-Schrieffer-Heeger model of Phys. Rev. Lett. 102, 065703 (2009). We find, contrary to intuition, that the time needed to detect the winding number can be made shorter by decreasing the efficiency of the measurement. We illustrate our results on a discrete-time quantum walk, and propose ways of testing them experimentally.Comment: 4.5 pages, 3 figures + 4 pages of Supplemental Materia

Medencegyűrű-sérülések műtéti rögzítésének végeselemes modellezése

A vertikálisan és rotációban is instabil C típusú medencegyûrû-sérülések rögzítésére használt különbözõ lemezes rögzítési technikák stabilitási vizsgálata az általunk kidolgozott végeselemes medencemodellen. Két lábon állás mellett C típusú medencegyûrû-sérülést hoztunk létre úgy, hogy Denis I., illetve Denis II. keresztcsont (sacrum) törést és a szeméremcsonti ízület szakadását (symphyseolysist) modelleztünk. A symphyseolysist 4 lyukas rekonstrukcióslemezzel, a Denis I. sacrumtörést 2 db 2 lyukas rekonstukciós lemezzel stabilizáltuk a kismedence felõl (ventralisan), majd az általunk használt transsacralisan, hátulról (dorsalisan) felhelyezett keskeny, illetve széles DC-lemezzel. A Denis II. sacrumtörést ventral felõl ugyancsak2 db 2 lyukas rekonsrukciós lemezzel fixáltuk, majd dorsal felõl KFI-H-lemezes rögzítést modelleztünk. A végeselemes modellezés ALGOR programmal történt. A medencét alkotó csontok mellett az ízületeket és a mechanikai szempontból jelentõs szalagokat is modelleztük. A modell validálása megtörtént, párhuzamosan végzett hullai csont-szalagos preparátumokon végzett mérési eredményekkel. A törési rés két oldala közötti elmozdulást, valamint a rögzítõfémekben és a környezõ csontokban fellépõ feszültségeket mértük. A transsacralis lemezes synthesis mellett nagyobb elmozdulások mérhetõk, mint direkt lemezes rögzítés esetén. A KFIH-lemezekkel végzett mûtét stabilitása a direkt lemezes és a transsacralis lemezes synthesis stabilitása között van. Az eredmények korrelálnak a párhuzamosan elvégzett csont-szalagos hullai medencepreparátumokon végzett mérések eredményeivel. A végeselemes modell alkalmas a fentleírt sérüléseket rögzítõ synthesisformák összehasonlítására. Mivel a cadaver-preparátumokon végzett vizsgálatok számos nehézségbe ütköznek, a modell használatának létjogosultságavitathatatlan.A vertikálisan és rotációban is instabil C típusú medencegyûrû-sérülések rögzítésére használt különbözõ lemezes rögzítési technikák stabilitási vizsgálata az általunk kidolgozott végeselemes medencemodellen. Két lábon állás mellett C típusú medencegyûrû-sérülést hoztunk létre úgy, hogy Denis I., illetve Denis II. keresztcsont (sacrum) törést és a szeméremcsonti ízület szakadását (symphyseolysist) modelleztünk. A symphyseolysist 4 lyukas rekonstrukciós lemezzel, a Denis I. sacrumtörést 2 db 2 lyukas rekonstukciós lemezzel stabilizáltuk a kismedence felõl (ventralisan), majd az általunk használt transsacralisan, hátulról (dorsalisan) felhelyezett keskeny, illetve széles DC-lemezzel. A Denis II. sacrumtörést ventral felõl ugyancsak 2 db 2 lyukas rekonsrukciós lemezzel fixáltuk, majd dorsal felõl KFI-H-lemezes rögzítést modelleztünk. A végeselemes modellezés ALGOR programmal történt. A medencét alkotó csontok mellett az ízületeket és a mechanikai szempontból jelentõs szalagokat is modelleztük. A modell validálása megtörtént, párhuzamosan végzett hullai csont-szalagos preparátumokon végzett mérési eredményekkel. A törési rés két oldala közötti elmozdulást, valamint a rögzítõ fémekben és a környezõ csontokban fellépõ feszültségeket mértük. A transsacralis lemezes synthesis mellett nagyobb elmozdulások mérhetõk, mint direkt lemezes rögzítés esetén. A KFIH-lemezekkel végzett mûtét stabilitása a direkt lemezes és a transsacralis lemezes synthesis stabilitása között van. Az eredmények korrelálnak a párhuzamosan elvégzett csont-szalagos hullai medencepreparátumokon végzett mérések eredményeivel. A végeselemes modell alkalmas a fent leírt sérüléseket rögzítõ synthesisformák összehasonlítására. Mivel a cadaver-preparátumokon végzett vizsgálatok számos nehézségbe ütköznek, a modell használatának létjogosultsága vitathatatlan. DOI: 10.17489/biohun/2008/1/3

Scattering theory of topological phases in discrete-time quantum walks

One-dimensional discrete-time quantum walks show a rich spectrum of topological phases that have so far been exclusively analysed based on the Floquet operator in momentum space. In this work we introduce an alternative approach to topology which is based on the scattering matrix of a quantum walk, adapting concepts from time-independent systems. For quantum walks with gaps in the quasienergy spectrum at 0 and π, we find three different types of topological invariants, which apply dependent on the symmetries of the system. These determine the number of protected boundary states at an interface between two quantum walk regions. Unbalanced quantum walks on the other hand are characterised by the number of perfectly transmitting unidirectional modes they support, which is equal to their non-trivial quasienergy winding. Our classification provides a unified framework that includes all known types of topology in one dimensional discrete-time quantum walks and is very well suited for the analysis of finite size and disorder effects. We provide a simple scheme to directly measure the topological invariants in an optical quantum walk experiment