Fundamentale Ideen der Mathematik : Weiterentwicklung einer Theorie zu deren unterrichtspraktischer Nutzung

Konzeptionen Fundamentaler Ideen der Mathematik drücken seit ihrer erstmaligen Formulierung durch BRUNER 1960 den Wunsch aus, Mathematikunterricht an wenigen zentralen Aspekten von Mathematik zu orientieren, die reichhaltig miteinander vernetzt eine Rekonstruktion von Mathematik im Unterricht ermöglichen. Somit sollen Stofffülle und Stoffisolierung verhindert werden. Ausgehend von einer Analyse der deutschen mathematikdidaktischen Forschungstradition wird eine Theorie Fundamentaler Ideen vorgestellt, die bereits bestehende Konzepte in verschiedene Ideenkategorien zusammenführt und ergänzt. Sie beschreiben Mathematik sowohl als Prozess durch Prozess-, Tätigkeits- und Schnittstellenideen als auch als Produkt durch Theorie-, Begriffs- und Inhaltsideen. Zudem werden mit den Persönlichkeitsideen Bereiche der Persönlichkeit (individuelle Denkweisen und Einstellungen zum Forschen) in den Blick genommen, die von großen Mathematikern (z.B. POINCARÉ und HADAMARD) als wesentlich für den mathematischen Forschungsprozess herausgestellt wurden. Die vorgestellte Theorie ist für den Einsatz im Mathematikunterricht zunächst zu komplex. Durch eine unterrichtspragmatische Reduktion werden die Ideenkategorien zusammengefasst und konkretisiert. Somit entsteht als strukturiertes und strukturierendes Analysewerkzeug der Vernetzungspentagraph. Dieser kann zur Analyse von Unterrichtsmaterial auf dort vorhandene oder ausgelassene Fundamentale Ideen und Vernetzungen zwischen ihnen eingesetzt werden.Since Bruner first devoloped the concept of fundamental ideas in 1960, these have always referred to the request that topics in mathematics classroom could be focussing on some central aspects of mathematics that are highly connected and therefore allow the reconstruction of the mathematical field in school education. As a consequence an overload as well as an isolation of contents should be prevented. Based on an analysis of previous research in mathematical didactics, this research work will present a theory of fundamental ideas that brings together and complements previous concepts. The resulting theory includes both the process side of mathematics with the so-called „Prozess-“ , „Tätigkeits-“ and „Schnittstellenideen“ and the its product side with the so-called „Theorie-“, Begriffs-“ and „Inhaltsideen“. Furthermore the so-called „Persönlichkeitsideen“ refer to the importance of ideas relating to the personality of the researcher (his or her individual mindset and attitudes towards the research) like they were named by prominent mathematical researchers (e.g. POINCARÉ and HADAMARD). For an implementation on mathematical education in schools, the presented theory is far too complex. Consequently it needs to be reduced and concretised to its core relevant to teaching mathematics. The result is a structured an structuring model, called „Vernetzungspentagraph“, which may serve as an instrument for analysing textbooks of fundamental ideas and connections between them

Globale und lokale Optimierungsverfahren für dreidimensionale Anordnungsprobleme

Thema dieser Arbeit sind Optimierungsverfahren zur Anordnung dreidimensionaler, polyonaler Objekte. Zielkriterium ist die möglichst dichte Packung der Objekte unter Berücksichtigung vorgegebener Randbedingungen. Es werden zwei Verfahrensklassen betrachtet: Globale Optimierungsmethoden, mit denen die relative Anordnung von Objekten festgelegt wird (z. B. Objekt A liegt rechts/links von Objekt B), und lokale Verfahren, mit denen die Kompaktierung einer gegebenen Ausgangsanordnung durchgeführt wird (die relative Lage der Objekte bleibt hier weitgehend erhalten). Gemeinsame Basis der Verfahren bildet die Lineare Programmierung zur Problemformulierung, so dass ausgereifte und numerisch stabile Lösungsalgorithmen zur Verfügung stehen. Für die globalen Optimierungsverfahren werden diskrete Drehwinkelmengen vorgegeben, wobei in der praktischen Anwendung nur kleine Winkelmengen betrachtet werden (z. B. Vielfache von 90°). In den lokalen Optimierungsverfahren werden hingegen kontinuierliche Objektdrehungen berücksichtigt. Aus geometrischer Sicht werden insbesondere Verfahren zur Objektseparation (Distanzpolyeder oder Hodographen und GJK-Algorithmus) und eine linearisierte Darstellung von Objektdrehungen (infinitesimale Rotationen) betrachtet.Optimization techniques for three-dimensional arrangement problems of polyhedral objects This thesis covers optimization techniques for three-dimensional arrangement problems of polyhedral objects. The objective is to minimize the occupied space while respecting problem specific side constraints. We discuss two types of optimization techniques: Global Optimization to determine the relative position of objects (e.g. object A is to the right of object B) and Local Optimization to do a compaction of a predefined initial arrangement (in this case the relative position of objects is typically not changed). Problem formulation and solution algorithms are based on Linear Programming in both cases. Therefore, robust and efficient optimization technologies can be used. We use a set of predefined, discrete object orientations for global optimization; for instance multiples of 90°. For local optimization or compaction we consider continuous object rotations. Object separation (No-Fit-Polygons or Hodographs and GJK-Algorithm) and a linearized version of object orientations (Infinitesimal Rotations) are covered from a geometrical point of view

Numerische und algebraisch-graphentheoretische Algorithmen für korrelierte Quantensysteme

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