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Valid inequalities for the single arc design problem with set-ups
We consider a mixed integer set which generalizes two well-known sets: the single node fixed-charge network set and the single arc design set. Such set arises as a relaxation of feasible sets of general mixed integer problems such as lot-sizing and network design problems.
We derive several families of valid inequalities that, in particular, generalize the arc residual capacity inequalities and the flow cover inequalities. For the constant capacitated case we provide an extended compact formulation and give a partial description of the convex hull in the original space which is exact under a certain condition. By lifting some basic inequalities we provide some insight on the difficulty of obtaining such a full polyhedral description for the constant capacitated case. Preliminary computational results are presented
Estudo poliédrico de modelos de programação inteira mista que ocorrem em problemas de lot-sizing
Doutoramento conjunto em Matemática - Matemática e Aplicações (PDMA)“Branch-and-cut” algorithm is one of the most efficient exact approaches
to solve mixed integer programs. This algorithm combines
the advantages of a pure branch-and-bound approach and cutting
planes scheme. Branch-and-cut algorithm computes the linear
programming relaxation of the problem at each node of the search
tree which is improved by the use of cuts, i.e. by the inclusion of valid
inequalities. It should be taken into account that selection of strongest
cuts is crucial for their effective use in branch-and-cut algorithm.
In this thesis, we focus on the derivation and use of cutting
planes to solve general mixed integer problems, and in particular
inventory problems combined with other problems such as distribution,
supplier selection, vehicle routing, etc. In order to achieve this goal,
we first consider substructures (relaxations) of such problems which
are obtained by the coherent loss of information. The polyhedral
structure of those simpler mixed integer sets is studied to derive strong
valid inequalities. Finally those strong inequalities are included in the
cutting plane algorithms to solve the general mixed integer problems.
We study three mixed integer sets in this dissertation. The first
two mixed integer sets arise as a subproblem of the lot-sizing with
supplier selection, the network design and the vendor-managed
inventory routing problems. These sets are variants of the well-known
single node fixed-charge network set where a binary or integer variable
is associated with the node. The third set occurs as a subproblem
of mixed integer sets where incompatibility between binary variables
is considered. We generate families of valid inequalities for those
sets, identify classes of facet-defining inequalities, and discuss the
separation problems associated with the inequalities. Then cutting
plane frameworks are implemented to solve some mixed integer
programs. Preliminary computational experiments are presented in
this direction.O algoritmo “branch-and-cut” é um dos métodos exatos mais eficientes
para resolver problemas de programação inteira mista. Este algoritmo
combina as vantagens do algoritmo branch-and-bound com o método
de planos de corte. O algoritmo branch-and-cut recorre ao cálculo da
relaxação linear em cada nó da árvore de pesquisa, a qual é melhorada
com a utilização de cortes, isto é, com a inclusão de desigualdades
válidas. Deve-se ter em conta que a escolha dos cortes mais fortes é
crucial para a sua utilização efetiva no algoritmo branch-and-cut.
Esta tese centra-se na obtenção de desigualdades válidas e sua
utilização como planos de corte para resolver problemas gerais de
programação inteira mista, em particular, problemas que combinam
a gestão de stocks com outros problemas, tais como: a distribuição,
selecção de fornecedores, e determinação de rotas de veículos, etc.
Para alcançar este objetivo, são consideradas, em primeiro lugar,
subestruturas, isto é, modelos de programação inteira mista que
definem conjuntos de soluções admissíveis resultantes de relaxações
desses problemas gerais. A estrutura poliédrica desses modelos é
estudada de modo a serem obtidas novas famílias de desigualdades
válidas. Finalmente, essas desigualdades são incluídas em algoritmos
de planos de corte para resolver os problemas gerais de programação
inteira mista.
Nesta dissertação estudamos três modelos de programação inteira
mista. Os dois primeiros modelos surgem como relaxações de
problemas gerais tais como: dimensionamento de lotes com seleção
de fornecedores, desenho de redes, e problemas que combinam a
produção com a distribuição. Esses conjuntos constituem variantes
do conhecido single node fixed-charge network set, onde uma variável
binária ou inteira está associada a cada nó. O terceiro modelo ocorre
como relaxação de problemas de programação inteira mista onde
são consideradas incompatibilidades entre pares de variáveis binárias.
Para os três modelos são geradas famílias de desigualdades válidas,
são identificadas classes de desigualdades que definem facetas, e são
discutidos os problemas de separação associados a essas desigualdades.
Em seguida, essas desigualdades são utilizadas em algoritmos
de planos de corte. É apresentada uma experiência computacional preliminar