Berechnung von Matrix-Multiplikationen auf dem PC

Es steht das Problem, ob man nicht für klassische Algorithmen die Eigenschaften des Rechnersystems und/oder des Compilers ausnutzen kann, um die Laufzeit eines Programms zu optimieren. Möglicherweise bringt eine solche Optimierung letztendlich mehr Gewinn als die Implementierung eines neuen Algorithmus. In dieser Arbeit untersuchen wir die Fragen für das Problem der Matrixmultiplikation auf PC-Technik. Dabei werden wir vorhandene Verfahren, insbesondere die Aufrolltechnik, an rechnerspezifische Gegebenheiten anpassen und Einsparungen durch Verringerung der "Hilfsarbeit" anstreben

Behandlung großer Matrizen auf dem PC

In der Arbeit befassen wir uns damit, größere Matrizen mit bis zu mehreren Millionen Elementen unter Berücksichtigung ihrer Struktureigenschaften zu verarbeiten. Solche Matrizen sind zum Beispiel zu invertieren oder treten bei der Lösung von großen Gleichungssystemen und Eigenwertaufgaben auf. Die konkrete Wahl einer Lösungsmethode wird entscheidend beinflußt durch die hardwaremäßigen Gegebenheiten des verwendeten Rechners. Auf skalaren Rechnern wird dies zu anderen Ergebnissen führen als auf Hochleistungsrechnern, die Vektorinstruktionen verwenden oder sogar Parallelisierung ermöglichen. Wir beschäftigen uns hier mit dem Problem, wie man für klassische Algorithmen mit großen Matrizen die Eigenschaften des Rechnersystems und/oder des Compilers nutzen kann. Wir untersuchen unter Einsatz von PC-Technik die Invertierung einer Matrix sowie die Matrix-Vektor-Multiplikation mit sparsen Matrizen

Bandbreitenreduktion - Teil 1 - Grundlagen - Sparse Matrizen und ihre Verarbeitung

Gegenstand des dreiteiligen Preprints ist die Bandbreitenreduktion von Matrizen. Seine einzelnen Ausgaben basieren auf dem Vorlesungsskript "Wissenschaftliches Rechnen - Matrizen und LGS", gehalten als fakultative Veranstaltung am Institut für Mathematik der TU Ilmenau. Teil 1 enthält die Grundlagen dazu, die insbesondere auf sparse und Bandmatrizen und deren Verarbeitung eingehen. In den Teilen 2 und 3 werden die Bandbreitenreduktion mit dem Algorithmus von Cuthill-McKee bzw. Gibbs-Poole-Stockmeyer ausführlich erläutert, verglichen und an Beispielen illustriert.Zugehörige Veröffentlichungen: Preprint No. M 02/07 : Bandbreitenreduktion - Teil 2 - Algorithmus von Cuthill-McKee Preprint No. M 02/08 : Bandbreitenreduktion - Teil 3 - Algorithmus von Gibbs-Poole-Stockmeyer - Testbeispiele mit CM und GP

Bandbreitenreduktion - Teil 3 - Algorithmus von Gibbs-Poole-Stockmeyer - Testbeispiele mit CM und GPS

Gegenstand des dreiteiligen Preprints ist die Bandbreitenreduktion von Matrizen. Seine einzelnen Ausgaben basieren auf dem Vorlesungsskript "Wissenschaftliches Rechnen - Matrizen und LGS", gehalten als fakultative Veranstaltung am Institut für Mathematik der TU Ilmenau. Teil 1 enthält die Grundlagen dazu, die insbesondere auf sparse und Bandmatrizen und deren Verarbeitung eingehen. In den Teilen 2 und 3 werden die Bandbreitenreduktion mit dem Algorithmus von Cuthill-McKee bzw. Gibbs-Poole-Stockmeyer ausführlich erläutert, verglichen und an Beispielen illustriert.Zugehörige Veröffentlichungen: Preprint No. M 02/06 : Bandbreitenreduktion - Teil 1 - Grundlagen - Sparse Matrizen und ihre Verarbeitung Preprint No. M 02/07 : Bandbreitenreduktion - Teil 2 - Algorithmus von Cuthill-McKe

Fast rectangular matrix multiplication and QR decomposition

AbstractIn the last twenty-five years there has been much research into “fast” matrix multiplication methods: ones that have an asymptotically smaller operation count than conventional multiplication. Most fast methods are derived for square matrices, but they can be applied to rectangular matrices by a blocking technique. We obtain an expression for the order of the operation count for this blocked multiplication of rectangular matrices. We derive an exact operation count for Strassen's method with rectangular matrices and determine the recursion threshold that minimizes the operation count. We also show that when Strassen's method is used to multiply rectangular matrices it is more efficient to use the method on the whole product than to apply the method to square submatrices. Fast multiplication methods can be exploited in calculating a QR decomposition of an m × n matrix. We show that the operation count can be reduced from O(mn2) to O(mn1+(1(4-α))) by using a fast multiplication method with exponent α in conjunction with Bischof and Van Loan's WY representation of a product of Householder transformations