Utilisation des programmes de calcul pour introduire l'algèbre au collège

Dans cet article, nous rendons compte d'une partie du travail que nous fai-sons dans le cadre d'une recherche collaborative intitulée SESAMES (Situations d'Enseignement Scientifique : Activités de Modélisation, d'Evaluation, de Simulation) qui a pour but la production collaborative (par des enseignants et des chercheurs, chacun apportant une expertise dans son domaine) de ressources pour les enseignants et les formateurs de mathématiques favorisant la mise en activité des élèves et leur prise de responsabilité vis- à-vis des savoirs enseignés. Notre thème est celui de l'enseignement de l'algèbre au collège. Ces documents produits sont disponibles sur le site http://pegame.ens-lyon.fr/ Nous avons également travaillé dans le cadre du projet européen S-TEAM (Science Teacher Education Advanced Methods) qui vise à étudier l'évolution des pratiques des enseignants vers la mise en place des séances qui permettent aux élèves d'être plus actifs dans leurs apprentissages notamment en utilisant les démarches d'investigation ou des dispositifs proches

L'identité algébrique d'une pratique portée par la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes (1766-1874).

Il s'agit d'une version pré publication antérieure de plusieurs mois à la version publiée (référence jointe). Les commentaires du comité de lecture et le travail d'édition ont amené une évolution importante du contenu de cet article dans la version finale. Se reporter à la version publiée.International audienceWhat did "algebra" mean before the development of the algebraic theories of the 20th century ? This paper stresses the identities taken by the algebraic practices developped during the century long discussion around the equation around the equation of secular inequalities (1766- 1874). In 1874, a strong controversy on the theory of bilinear and quadratic forms opposed Camille Jordan and Leopold Kronecker. The arithmetical ideal of Kronecker faced Jordan's claim for the simplicity of his algebraic canonical form. As the controversy combined mathematical and historical arguments, it gave rise to the writing of a history of the methods used by Lagrange, Laplace and Weierstrass in a century long mathematical discussion around the "equation of secular inequalities".Cet article questionne l'identité algébrique d'une pratique propre à un corpus de textes publiés sur une période antérieure à l'élaboration des théories algébriques, comme la théorie des matrices ou, plus généralement, l'algèbre linéaire, qui donneront à cette pratique l'identité d'une méthode de transformation d'un système linéaire par la décomposition de la forme polynomiale de l'équation caractéristique associée. Dans les années 1760-1770, Lagrange élabore une pratique algébrique spécifique à la mathématisation des problèmes mécaniques des petites oscillations de cordes chargées d'un nombre quelconque de masses ou de planètes sur leurs orbites. La spécificité de cette pratique s'affirme par opposition à la méthode des coefficients indéterminés, elle consiste à exprimer les solutions des systèmes linéaires par des factorisations polynomiales d'une équation algébrique particulière, l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes. Elaborée en un jeu sur les primes et les indices des coefficients des systèmes linéaires, la pratique de Lagrange est à l'origine d'une caractéristique des systèmes issus de la mécanique, la disposition en miroirs des coefficients de systèmes que nous désignons aujourd'hui comme symétriques. Elle est également à l'origine d'une discussion sur la nature des racines de l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires qui se développera sur plus d'un siècle. Nous questionnerons l'identité algébrique de cette discussion en étudiant les héritages, permanences et évolutions de la pratique élaborée par Lagrange aux seins de différentes méthodes élaborées dans des cadres théoriques différents par des auteurs comme Laplace, Cauchy, Weierstrass, Jordan et Kronecker. Nous verrons que, préalablement à l'élaboration d'une théorie des formes dont la nature, algébrique ou arithmétique, suscitera une vive controverse entre Jordan et Kronecker en 1874, le caractère algébrique de la discussion renvoie davantage à l'identité historique d'un corpus cohérent qu'à une identité théorique et s'avère indissociable d'une constante revendication de généralité. Entre 1766 et 1874, la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires permet de mettre en évidence différentes représentations associées à une même pratique algébrique ainsi que des évolutions dans les philosophies internes portées par les auteurs du corpus sur la généralité de l'algèbre

Une méthodologie générale de comparaison de modèles d'estimation régionale de crue

L'estimation du débit QT de période de retour T en un site est généralement effectuée par ajustement d'une distribution statistique aux données de débit maximum annuel de ce site. Cependant, l'estimation en un site où l'on dispose de peu ou d'aucune données hydrologiques doit être effectuée par des méthodes régionales qui consistent à utiliser l'information existante en des sites hydrologiquement semblables au site cible. Cette procédure est effectuée en deux étapes: (a) détermination des sites hydrologiquemcnt semblables(b) estimation régionalePour un découpage donné (étape a), nous proposons trois approches méthodologiques pour comparer les différentes méthodes d'estimation régionale. Ces approches sont décrites en détail dans ce travail. Plus particulièrement il s'agit de- simulation par la méthode du bootstrap - analyse de régression ou Bayes empirique - méthode bayésienne hiérarchiqueEstimation of design flows with a given return period is a common problem in hydrologic practice. At sites where data have been recorded during a number of years, such an estimation can be accomplished by fitting a statistical distribution to the series of annual maximum floods and then computing the (1-1/T) -quantile in the estimated distribution. However, frequently there are no, or only few, data available at the site of interest, and flood estimation must then be based on regional information. In general, regional flood frequency analysis involves two major steps:- determination of a set of gauging stations that are assumed to contain information pertinent to the site of interest. This is referred to as delineation of homogeneous regions.- estimation of the design flood at the target site based on information from the sites ofthe homogeneous region.The merits of regional flood frequency analysis, at ungauged sites as well as at sites where some local information is available, are increasingly being acknowledged, and many research papers have addressed the issue. New methods for delitneating regions and for estimating floods based on regional information have been proposed in the last decade, but scientists tend to focus on the development of new techniques rather than on testing existing ones. The aim ofthis paper is to suggest methodologies for comparing different regional estimation alternatives.The concept of homogeneous regions has been employed for a long time in hydrology, but a rigorous detinition of it has never been given. Usually, the homogeneity concerns dimensionless statistical characteristics of hydrological variables such as the coefficient of variation (Cv) and the coefficient of skewness (Cs) of annual flood series. A homogeneous region can then be thought of as a collection of stations with flood series whose statistical properties, except forscale, are not significantly different from the regional mean values. Tests based on L-moments are at present much applied for validating the homogeneity of a given region. Early approaches to regional flood frequency analysis were based on geographical regions, but recent tendencies are to deline homogeneous regions from the similarity of basins in the space of catchment characteristics which are related to hydrologic characteristics. Cluster analysis can be used to group similar sites, but has the disadvantage that a site in the vicinity ofthe cluster border may be closer to sites in other clusters than to those ofits ovm group. Burn (1990a, b) has recently suggested a method where each site has its owm homogeneous region (or region of influence) in which it is located at the centre of gravity.Once a homogeneous region has been delineated, a regional estimation method must be selected. The index flood method, proposed by Dalrymple (1960), and the direct regression method are among the most commonly used procedures. Cunnane (1988) provides an overview of several other methods. The general performance of a regional estimation method depends on the amount of regional information (hydrological as well as physiographical and climatic), and the size and homogeneity of the region considered relevant to the target site. Being strongly data-dependent, comparisons of regional models will be valid on a local scale only. Hence, one cannot expect to reach a general conclusion regarding the relative performance of different models, although some insight may be gained from case studies.Here, we present methodologies for comparing regional flood frequency procedures (combination of homogeneous regions and estimation methods) for ungauged sites. Hydrological, physiographical and climatic data are assumed to be available at a large number of sites, because a comparison of regional models must be based on real data. The premises of these methodologies are that at each gauged site in the collection of stations considered, one can obtain an unbiased atsite estimate of a given flood quantile, and that the variance of this estimate is known. Regional estimators, obtained by ignoring the hydrological data at the target site, are then compared to the at-site estimate. Three difrerent methodologies are considered in this study:A) Bootstrap simulation of hydrologic dataIn order to preserve spatial correlation of hydrologic data (which may have an important impact on regional flood frequency procedures), we suggest performing bootstrap simulation of vectors rather than scalar values. Each vector corresponds to a year for which data are available at one or more sites in the considered selection of stations; the elements ofthe vectors are the different sites. For a given generated data scenario, an at-site estimate and a regional estimate at each site considered can be calculated. As a performance index for a given regional model, one can use, for example, the average (over sites and bootstrap scenarios) relative deviation ofthe regional estimator from the at-site estimator.B) Regression analysisThe key idea in this methodology is to perform a regression analysis with a regional estimator as an explanatory variable and the unknown quantile, estimated by the at-site method, as the dependent variable. It is reasonable to assume a linear relation between the true quantiles and the regional estimators. The estimated regression coeflicients express the systematic error, or bias, of a given regional procedure, and the model error, estimated for instance by the method of moments, is a measure of its variance. It is preferable that the bias and the variance be as small as possible, suggesting that these quantities be used to order different regional procedures.C) Hierarchical Bayes analysisThe regression method employed in (B) can also be regarded as the resultfrom an empirical Bayes analysis in which point estimates of regression coeflicients and model error are obtained. For several reasons, it may be advantageous to proceed with a complete Bayesian analysis in which bias and model error are considered as uncertain quantities, described by a non-informative prior distribution. Combination of the prior distribution and the likelihood function yields through Bayes, theorem the posterior distribution of bias and model error. In order to compare different regional models, one can then calculate for example the mean or the mode of this distribution and use these values as perfonnance indices, or one can compute the posterior loss

Green-Expert - Un solveur généralisé associé à un générateur de formulations pour la méthode des intégrales de frontières

Investigations in many sectors of industry and research require the modelling of phenomena observed in the physics of continuous media. The partial differential equations describing these phenomena are solved using a wide range of numerical methods. The models used are increasingly sophisticated, from both a physical and numerical point of view. Software used to solve these problems must therefore be capable of evolving. This work is a continuation of research efforts devoted to the modelling of complex phenomena that began with the development of the Flux-Expert® program, based on the Finite Element Method. In order to extend the possibilities offered by this program, we decided to combine it with the Boundary Element Method. After reviewing the Boundary Element Method, we propose a general decomposition of the numerical solution of a problem using this method. We then describe the Green-Expert software developed on the basis of this analysis. The original aspect of the approach lies in the combination of a formulations generator and a general solver. This solver is capable of solving any problem described using a formulation coming from the Generator and a discrete geometry. The last part of this thesis is devoted to the validation phase. Examples of the combined use of the Boundary Element• and the Finite Element Methods are presented and examples of 2D and 3D resolution are used to validate the Green-Expert Solver and Generator.De nombreux secteurs de l'industrie et de la recherche utilisent la modélisation des phénomènes de la physique des milieux continus. Les équations aux dérivées partielles décrivant ces phénomènes sont résolues à l'aide de diverses méthodes numériques. Les modélisations utilisées sont de plus en plus pointues, tant au niveau physique qu'au niveau numérique. Les réponses logicielles à ces problèmes doivent donc être évolutives. Ce travail s'insère dans une dynamique de recherche dans le domaine de la modélisation des phénomènes complexes qui a débuté avec l'élaboration du programme Flux-Expert®, basé sur la Méthode des Eléments Finis. Afin d'élargir le champ des possibilités offertes par ce programme, nous avons choisi d'y associer la Méthodes des Intégrales de Frontières. Dans cette optique, après une présentation didactique de la Méthode des Intégrales de Frontières, nous proposons une décomposition générale de la résolution numérique d'un problème à l'aide de cette méthode. Nous décrivons ensuite le logiciel issu de cette analyse : Green-Expert. L'originalité de la démarche réside dans l'association d'un programme Générateur de Formulations et d'un programme Solveur généralisé. Ce Solveur est capable de résoudre tout problème décrit à l'aide d'une formulation issue du Générateur et d'une Géométrie discrétisée. La dernière partie de ce mémoire est consacré à la validation. Des exemples de couplage entre la Méthode des Intégrales de Frontières et la Méthode des Éléments Finis sont présentés. Enfin, des exemples de résolution 2D et 3D permettent de valider le Générateur et le Solveur de Green-Expert