12 research outputs found

    Theories for TC0 and Other Small Complexity Classes

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    We present a general method for introducing finitely axiomatizable "minimal" two-sorted theories for various subclasses of P (problems solvable in polynomial time). The two sorts are natural numbers and finite sets of natural numbers. The latter are essentially the finite binary strings, which provide a natural domain for defining the functions and sets in small complexity classes. We concentrate on the complexity class TC^0, whose problems are defined by uniform polynomial-size families of bounded-depth Boolean circuits with majority gates. We present an elegant theory VTC^0 in which the provably-total functions are those associated with TC^0, and then prove that VTC^0 is "isomorphic" to a different-looking single-sorted theory introduced by Johannsen and Pollet. The most technical part of the isomorphism proof is defining binary number multiplication in terms a bit-counting function, and showing how to formalize the proofs of its algebraic properties.Comment: 40 pages, Logical Methods in Computer Scienc

    Hardness of KT Characterizes Parallel Cryptography

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    A recent breakthrough of Liu and Pass (FOCS'20) shows that one-way functions exist if and only if the (polynomial-)time-bounded Kolmogorov complexity, K^t, is bounded-error hard on average to compute. In this paper, we strengthen this result and extend it to other complexity measures: - We show, perhaps surprisingly, that the KT complexity is bounded-error average-case hard if and only if there exist one-way functions in constant parallel time (i.e. NC⁰). This result crucially relies on the idea of randomized encodings. Previously, a seminal work of Applebaum, Ishai, and Kushilevitz (FOCS'04; SICOMP'06) used the same idea to show that NC⁰-computable one-way functions exist if and only if logspace-computable one-way functions exist. - Inspired by the above result, we present randomized average-case reductions among the NCÂč-versions and logspace-versions of K^t complexity, and the KT complexity. Our reductions preserve both bounded-error average-case hardness and zero-error average-case hardness. To the best of our knowledge, this is the first reduction between the KT complexity and a variant of K^t complexity. - We prove tight connections between the hardness of K^t complexity and the hardness of (the hardest) one-way functions. In analogy with the Exponential-Time Hypothesis and its variants, we define and motivate the Perebor Hypotheses for complexity measures such as K^t and KT. We show that a Strong Perebor Hypothesis for K^t implies the existence of (weak) one-way functions of near-optimal hardness 2^{n-o(n)}. To the best of our knowledge, this is the first construction of one-way functions of near-optimal hardness based on a natural complexity assumption about a search problem. - We show that a Weak Perebor Hypothesis for MCSP implies the existence of one-way functions, and establish a partial converse. This is the first unconditional construction of one-way functions from the hardness of MCSP over a natural distribution. - Finally, we study the average-case hardness of MKtP. We show that it characterizes cryptographic pseudorandomness in one natural regime of parameters, and complexity-theoretic pseudorandomness in another natural regime.</p

    Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems

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    This open access book constitutes the proceedings of the 28th International Conference on Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems, TACAS 2022, which was held during April 2-7, 2022, in Munich, Germany, as part of the European Joint Conferences on Theory and Practice of Software, ETAPS 2022. The 46 full papers and 4 short papers presented in this volume were carefully reviewed and selected from 159 submissions. The proceedings also contain 16 tool papers of the affiliated competition SV-Comp and 1 paper consisting of the competition report. TACAS is a forum for researchers, developers, and users interested in rigorously based tools and algorithms for the construction and analysis of systems. The conference aims to bridge the gaps between different communities with this common interest and to support them in their quest to improve the utility, reliability, exibility, and efficiency of tools and algorithms for building computer-controlled systems

    Tree-Structured Problems and Parallel Computation

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    Turing-Maschinen sind das klassische Beschreibungsmittel fĂŒr Wortsprachen und werden daher auch benĂŒtzt, um KomplexitĂ€tsklassen zu definieren. Dies geschieht zum Beispiel durch das EinschrĂ€nken des Platz- oder Zeitaufwandes der Berechnung zur Lösung eines Problems. FĂŒr sehr niedrige KomplexitĂ€t wie etwa sublineare Laufzeit, werden Schaltkreise verwendet. Schaltkreise können auf natĂŒrliche Art KomplexitĂ€ten wie etwa logarithmische Laufzeit modellieren. Ebenso können sie als eine Art paralleles Rechenmodell gesehen werden. Eine wichtige parallele KomplexitĂ€tsklasse ist NC1. Sie wird beschrieben durch Boolesche Schaltkreise logarithmischer Tiefe und beschrĂ€nktem Eingangsgrad der Gatter. Eine initiale Beobachtung, die die vorliegende Arbeit motiviert, ist, dass viele schwere Probleme in NC1 eine Ă€hnliche Struktur haben und auf Ă€hnliche Art und Weise gelöst werden. Das Auswertungsproblem fĂŒr Boolesche Formeln ist eines der reprĂ€sentativsten Probleme aus dieser Klasse: Gegeben ist hier eine aussagenlogische Formel samt Belegung fĂŒr die Variablen; gefragt ist, ob sie zu wahr oder zu falsch auswertet. Dieses Problem wird in NC1 gelöst durch den Algorithmus von Buss. Auf Ă€hnliche Art können arithmetische Formeln in #NC1 ausgewertet oder das Wortproblem fĂŒr Visibly-Pushdown-Sprachen gelöst werden. Zu besagter Klasse an Problemen gehört auch Courcelles Theorem, welches Berechnungen in Baumautomaten involviert. Zu bemerken ist, dass alle angesprochenen Probleme gemeinsam haben, dass sie aus Instanzen bestehen, die baumartig sind. Formeln sind BĂ€ume, Visibly-Pushdown-Sprachen enthalten als Wörter kodierte BĂ€ume und Courcelles Theorem betrachtet Graphen mit beschrĂ€nkter Baumweite, d.h. Graphen, die sich als Baum darstellen lassen. Insbesondere Letzteres ist ein Schema, das hĂ€ufiger auftritt. Zum Beispiel gibt es NP-vollstĂ€ndige Graphprobleme wie das Finden von Hamilton-Kreisen, welches unter beschrĂ€nkter Baumweite in P fĂ€llt. Neuere Analysen konnten diese Schranke weiter zu SAC1 verbessern, was eine parallele KomplexitĂ€tsklasse ist. Die angesprochenen Probleme kommen aus unterschiedlichen Bereichen und haben individuelle Lösungen. Hauptthese dieser Arbeit ist, dass sich diese Vielfalt vereinheitlichen lĂ€sst. Es wird ein generisches Lösungskonzept vorgestellt, welches darauf beruht, dass sich die Probleme auf ein Termevaluierungsproblem reduzieren lassen. KernstĂŒck ist daher ein Termevaluierungsalgorithmus, der unabhĂ€ngig von der Algebra, ĂŒber welche der Term evaluiert werden soll, ist. Resultat ist, dass eine Vielzahl, darunter die oben angesprochenen Probleme, sich auf analoge Art lösen lassen, und dass sich ebenso leicht neue Resultate zeigen lassen. Diese Menge an Resultaten hĂ€tte sich ohne den vereinheitlichten Lösungsansatz nicht innerhalb des Rahmens einer Arbeit wie der vorliegenden zeigen lassen. Der entwickelte Lösungsansatz fĂŒhrt stets zu Schaltkreisfamilien polylogarithmischer Tiefe. Es wird jedoch auch die Frage behandelt, wie mĂ€chtig Schaltkreisfamilien konstanter Tiefe noch bezĂŒglich Termevaluierung sind. Die Klasse AC0 ist hierfĂŒr ein natĂŒrlicher Kandidat; sie entspricht der Menge der Sprachen, die durch Logik erster Ordung beschreibbar sind. Um dieses Problem anzugehen, wird zunĂ€chst das Termevaluierungsproblem ĂŒber endlichen Algebren betrachtet. Dieses wiederum lĂ€sst sich in das Wortproblem von Visibly-Pushdown-Sprachen einbetten. Daher handelt dieser Teil der Arbeit vornehmlich von der Beschreibbarkeit von Visibly-Pushdown-Sprachen in Logik erster Ordnung. Hierbei treten ungelöste Probleme zu Tage, welche ein Indiz dafĂŒr sind, wie schlecht die KomplexitĂ€t konstanter Tiefe bisher noch verstanden ist, und das, trotz des Resultats von Furst, Saxe und Sipser, bzw. HĂ„stads. Die bis jetzt beschrieben Inhalte sind Teil einer kontinuierlichen Entwicklung. Es gibt jedoch ein Thema in dieser Arbeit, das orthogonal dazu ist: Automaten und im speziellen Cost-Register-Automaten. Zum einen sind, wie oben angedeutet, Automaten Beispiele fĂŒr Anwendungen des hier entwickelten generischen Lösungsansatzes. Zum anderen können sie selbst zur Beschreibung von Termevaluierungsproblemen dienen; so können Visibly-Pushdown-Automaten Termevaluierung ĂŒber endlichen Algebren ausfĂŒhren. Um ĂŒber endliche Algebren hinauszugehen, benötigen die Automaten mehr Speicher. Visibly-Pushdown-Automaten haben einen Keller, der genau dafĂŒr geeignet ist, die Baumstruktur einer Eingabeformel zu verifizieren. FĂŒr nichtendliche Algebren eignet sich ein Modell, welches hier vorgestellt werden soll. Es kombiniert Visibly-Pushdown-Automaten mit Cost-Register-Automaten. Ein Cost-Register-Automat ist ein endlicher Automat, welcher mit zusĂ€tzlichen Registern ausgestattet ist. Die Register können Werte einer Algebra speichern und werden in jedem Schritt in AbhĂ€ngigkeit des Eingabezeichens und des Zustandes aktualisiert. Dieser Einwegdatenfluss von ZustĂ€nden zu Registern sorgt dafĂŒr, dass dieses Modell nicht nur entscheidbar bleibt, sondern, in AbhĂ€ngigkeit der Algebra, auch niedrige KomplexitĂ€t hat. Das neue Modell der Cost-Register-Visibly-Pushdown-Automaten kann nun Terme evaluieren. Es werden grundlegende Eigenschaften gezeigt, einschließlich KomplexitĂ€tsaussagen

    Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems

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    This open access book constitutes the proceedings of the 28th International Conference on Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems, TACAS 2022, which was held during April 2-7, 2022, in Munich, Germany, as part of the European Joint Conferences on Theory and Practice of Software, ETAPS 2022. The 46 full papers and 4 short papers presented in this volume were carefully reviewed and selected from 159 submissions. The proceedings also contain 16 tool papers of the affiliated competition SV-Comp and 1 paper consisting of the competition report. TACAS is a forum for researchers, developers, and users interested in rigorously based tools and algorithms for the construction and analysis of systems. The conference aims to bridge the gaps between different communities with this common interest and to support them in their quest to improve the utility, reliability, exibility, and efficiency of tools and algorithms for building computer-controlled systems
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