Some results on triangle partitions

We show that there exist efficient algorithms for the triangle packing problem in colored permutation graphs, complete multipartite graphs, distance-hereditary graphs, k-modular permutation graphs and complements of k-partite graphs (when k is fixed). We show that there is an efficient algorithm for C_4-packing on bipartite permutation graphs and we show that C_4-packing on bipartite graphs is NP-complete. We characterize the cobipartite graphs that have a triangle partition

Partitioning a weighted partial order.

The problem of partitioning a partially ordered set into a minimum number of chains is a well-known problem. In this paper we study a generalization of this problem, where we not only assume that the chains have bounded size, but also that a weight wi is given for each element i in the partial order such that wiOrder; Studies; Size; Lower bounds;

"Algorithms for some Graph-Theoretical Optimization Problems".

Samenvatting Deze thesis situeert zich in het onderzoeksgebied van operationeel onder zoek. We richten ons op methoden om een aantal graaf-theoretische optima lisatie problemen op te lossen. Allereerst geven we een korte introducti e in lineair en integer programmeren en bespreken we enkele oplossingsme thoden die in deze thesis worden gebruikt. Het vervolg van deze thesis k an grofweg in twee delen worden opgesplitst. In het eerste deel komt het opdelen van een partial order aan bod. In het tweede deel be studeren we de structuur en de connectiviteit van het Internet. Het opsplitsen van een partial order in een zo klein mogelijk aantal cha ins is een welbekend en fundamenteel probleem in het vakgebied van opera tioneel onderzoek. Dilworth (1950) toonde aan dat het probleem polynomia al oplosbaar is en dat het minimum benodigde aantal chains gelijk is aan het aantal elementen in een maximale antichain. We generaliseren dit pr obleem door te stellen dat een chain niet meer dan een gegeven aantal el ementen mag bevatten. We stellen een aantal exacte algoritmen voor om di t probleem op te lossen en passen deze toe op een specifiek probleem bij een productiebedrijf in Nederland. Een interessant resultaat van dit on derzoek is dat we bij de probleem instanties van dit productiebedrijf ee n speciale structuur konden vaststellen, gerelateerd aan het concept van de clique-width van een graaf. Door deze structuur kunnen we aantonen d at het probleem, voor deze speciale instanties, polynomiaal oplosbaar is . Vervolgens behandelen we een tweede generalisatie van het probleem, waar bij we aan elk element van de partial order een gewicht toekennen. Het p robleem wordt dan om alle elementen op te delen in chains zod anig dat de som van de gewichten van de chains minimaal is. Hierbij word t het gewicht van een chain gedefinieerd als het gewicht van het zwaarst e element in de chain. Ook hier geldt de capaciteitsbeperking dat elke c hain ten hoogste een gegeven aantal elementen mag bevatten. We geven een aantal ondergrenzen voor de waarde van de optimale oplossing en we stel len een 2-approximatie algoritme voor. In het tweede deel van deze thesis bestuderen we de structuur en de conn ectiviteit van het Internet. Het Internet is de laatste decennia zeer po pulair geworden en de hoeveelheid data die via het Internet wordt verstu urd is enorm gegroeid. Het is zeer belangrijk dat communicatie die via I nternet verloopt efficiënt, veilig en betrouwbaar is, zeker in een tijd waarin virussen binnen enkele uren enorme computer netwerken kunnen stil leggen. Om de structuur en de connectiviteit van het Internet te bestude ren, modelleren we het Internet als een graaf. Een veel gebruikte manier om de connectiviteit van een graaf te analyseren is door het maximale a antal paden en de minimale sneden de bepalen. Het is welbekend dat deze twee problemen polynomiaal oplosbaar zijn voor gewone grafen, maar voor een Internet-graaf is dat niet het geval. Aangezien de definitie van een pad in de graaf in deze context anders is dan bij normale grafen, zijn beide problemen voor Internet-grafen NP-compleet. We stellen een aantal exacte algoritmen voor om deze problemen op te lossen en vergelijken de resultaten met de resultaten van twee 2-approximatie algoritmes voorgest eld door Erlebach et al. (2005).

Optimales Sortieren von Objekten

This thesis is concerned with the problem of optimally rearranging objects, in particular, railcars in a rail yard. The work is motivated by a research project of the Institute of Mathematical Optimization at Technische Universität Braunschweig, together with our project partner BASF, The Chemical Company, in Ludwigshafen. For many variants of such rearrangement problems - including the real-world application at BASF - we state the computational complexity by exploiting their equivalence to particular graph coloring, scheduling, and bin packing problems. We present mathematical optimization methods for determining schedules that are either optimal or close to optimal, and computational results are discussed from both a theoretical and practical point of view. In addition to the railway industry, there are other fields of application in which efficiently rearranging, sorting, or stacking is an important issue. For instance, the results obtained in this thesis could also be applied to solving certain piling problems in warehouses or container terminals.Die Dissertation beschäftigt sich mit dem optimalen Sortieren von Objekten, insbesondere von Güterwagen in Rangierbahnhöfen. Motiviert wurde diese Arbeit durch ein BMBF-gefördertes Projekt mit der BASF, The Chemical Company, in Ludwigshafen. Zahlreiche Varianten derartiger Sortierprobleme werden mathematisch formuliert und komplexitätstheoretisch eingeordnet. Für viele Varianten wird deren Äquivalenz zu bestimmten Graphenfärbungs-, Scheduling- sowie Bin-Packing-Problemen gezeigt. Für mehrere als theoretisch schwer bewiesene Fälle werden schnelle approximative Algorithmen vorgeschlagen, die Lösungen mit einer beweisbaren Güte liefern. Neben heuristischen Methoden werden auch exakte Verfahren zur Bestimmung optimaler Lösungen vorgestellt. Unter anderem handelt es sich bei den eingesetzten exakten Ansätzen um LP- sowie Lagrange-basierte Branch-and-Bound-Verfahren, die auf verschiedenen binären Modellen beruhen. Die Lösungsmethoden werden durch die Auswertung von Rechenergebnissen für reale Daten evaluiert. Den Abschluss der Dissertation bildet eine Kompetitivitätsanalyse diverser Online-Varianten, die dadurch gekennzeichnet sind, dass nicht alle relevanten Informationen zu Beginn der Planung vorliegen. Es sei auf das Verwertungspotenzial der in dieser Arbeit vorgestellten Optimierungsverfahren innerhalb anderer Anwendungsbereiche, in denen Sortieren, Stapeln, Lagern oder Verstauen eine Rolle spielen, hingewiesen

Symmetries in logic programs

We investigate the structures and above all, the applications of a class of symmetric groups induced by logic programs. After establishing the relationships between minimal models of logic programs and their simplified forms, and models of their completions, we show that in general when deriving negative information, we can apply the CWA, the GCWA, and the completion procedure directly from some simplified forms of the original logic programs. The least models and the results of SLD-resolution stay invariant for definite logic programs and their simplified forms. The results of SLDNF-resolution, the standard or perfect models stay invariant for hierarchical, stratified logic programs and some of their simplified forms, respectively. We introduce a new proposal to derive negative information termed OCWA, as well as the new concepts of quasi-definite, quasi-hierarchical and quasi-stratified logic programs. We also propose semantics for them