Count(q) versus the Pigeon-Hole Principle

For each

An average-case depth hierarchy theorem for Boolean circuits

We prove an average-case depth hierarchy theorem for Boolean circuits over the standard basis of $\mathsf{AND}$, $\mathsf{OR}$, and $\mathsf{NOT}$ gates. Our hierarchy theorem says that for every $d \geq 2$, there is an explicit $n$-variable Boolean function $f$, computed by a linear-size depth-$d$ formula, which is such that any depth-$(d-1)$ circuit that agrees with $f$ on $(1/2 + o_n(1))$ fraction of all inputs must have size $\exp({n^{\Omega(1/d)}}).$ This answers an open question posed by H{\aa}stad in his Ph.D. thesis. Our average-case depth hierarchy theorem implies that the polynomial hierarchy is infinite relative to a random oracle with probability 1, confirming a conjecture of H{\aa}stad, Cai, and Babai. We also use our result to show that there is no "approximate converse" to the results of Linial, Mansour, Nisan and Boppana on the total influence of small-depth circuits, thus answering a question posed by O'Donnell, Kalai, and Hatami. A key ingredient in our proof is a notion of \emph{random projections} which generalize random restrictions

A Complexity Gap for Tree-Resolution

It is shown that any sequence  psi_n of tautologies which expresses thevalidity of a fixed combinatorial principle either is "easy" i.e. has polynomialsize tree-resolution proofs or is "difficult" i.e requires exponentialsize tree-resolution proofs. It is shown that the class of tautologies whichare hard (for tree-resolution) is identical to the class of tautologies whichare based on combinatorial principles which are violated for infinite sets.Actually it is shown that the gap-phenomena is valid for tautologies basedon infinite mathematical theories (i.e. not just based on a single proposition).We clarify the link between translating combinatorial principles (ormore general statements from predicate logic) and the recent idea of using the symmetrical group to generate problems of propositional logic.Finally, we show that it is undecidable whether a sequence  psi_n (of thekind we consider) has polynomial size tree-resolution proofs or requiresexponential size tree-resolution proofs. Also we show that the degree ofthe polynomial in the polynomial size (in case it exists) is non-recursive,but semi-decidable.Keywords: Logical aspects of Complexity, Propositional proof complexity,Resolution proofs.

Uniformly generated submodules of permutation modules Over fields of characteristic 0

AbstractThis paper is motivated by a link between algebraic proof complexity and the representation theory of the finite symmetric groups. Our perspective leads to a new avenue of investigation in the representation theory of Sn. Most of our technical results concern the structure of “uniformly” generated submodules of permutation modules. For example, we consider sequences {Wn}n∈N of submodules of the permutation modules M(n−k,1k) and prove that if the sequence Wn is given in a uniform (in n) way – which we make precise – the dimension p(n) of Wn (as a vector space) is a single polynomial with rational coefficients, for all but finitely many “singular” values of n. Furthermore, we show that dim(Wn)<p(n) for each singular value of n≥4k. The results have a non-traditional flavor arising from the study of the irreducible structure of the submodules Wn beyond isomorphism types. We sketch the link between our structure theorems and proof complexity questions, which are motivated by the famous NP vs. co-NP problem in complexity theory. In particular, we focus on the complexity of showing membership in polynomial ideals, in various proof systems, for example, based on Hilbert's Nullstellensatz

Propositional logic, complexity theory and a nontrivial hierarchy of theories of weak fragments of peano arithmetic

In dieser Arbeit betrachte ich einige Arbeiten von Paris, Wilky [key-1] und Ajati [key-3, key-4] welche einen Zusammenhang zwischen Komplexitäts- und Beweistheorie herstellen. J. Paris und A. Wilkie [key-1] betrachteten die Fragen ob jede \Delta_{0}- Teilmenge A von \mathbb{N} auch eine \Delta_{0} definierbare Zählfunktion \{|m=|A\cap n|\} besitzt. Eine damit eng verwanndte Fragestellung ist, ob das Schubfachprinzip PHP in einer schwachen Teiltheorie I\Delta_{0} der Peano Arithmetik bewiesen werden kann. I\Delta_{0} umfasst die selben Axiome wie die Peano Arithmetik. Das Axiomenschema der Induktion ist jedoch nur für beschränkte Formeln gegeben. Paris und Wilky konnten mithilfe der Forcing-Technik die Konsistenz von I\exists_{1}(F)+\exists xF:x\mapsto x-1 zeigen. Weiters konnten sie unter Verwendung der Cook-Reckhov Vermutung, die Konsistenz von I\Delta_{0}(F)+\exists xF:x\mapsto x-1 zeigen. Die Cook-Reckhov Vermutung besagt, dass ein Beweis der aussagenlogischen Form PHP_{n} von PHP ”schwer” ist. Dieser zweite Beweis benutzt einen Zusammenhang zwischen I\Delta_{0} und Frege Systemen. Ajtai [key-3] verband die Verwendung der Forcing-Technik und dieses Zusammenhangs um die Konsistenz von I\Delta_{0}(F)+\exists xF:x\mapsto x-1 , ohne der Verwendung der Cook-Reckhov Vermutung, zu zeigen. Dazu nahm er an, dass in einem nicht-standard Modell \mathcal{M} von I\Delta_{0} ein ”einfacher” Beweis von PHP_{n} für ein n existiert. Dieses \mathcal{M} beschränkte er auf die Substruktur M_{n}=\mathcal{M}\upharpoonright n , welche er dann durch Forcing zu einem M[G] erweiterte in welchem PHP auf natürliche Weise nicht wahr sein kann. Eine kombinatorische Überlegung zeigt, dass in M[G] aber das Axiomenschema der vollständigen Induktion bis n wahr ist. Damit kann man nun den ”einfachen” Beweis von PHP_{n} Schritt für Schritt prüfen, was zu einem Widerspruch führt. Später [key-4] verallgemeinerte Ajtai diese Art der Beweisführung, um zu zeigen, dass PHP\Delta_{0}\not\vdash PAR , wobei PHP\Delta_{0}=I\Delta_{0}\cup PHP und PAR folgende Aussage ist: Keine Menge mit einer ungeraden Anzahl von Elementen kann in Teilmengen mit genau zwei Elementen partitioniert werden. PAR kann weiter zum ”module p Counting Principle” CP_{p} verallgemeinert werden [key-4]. Schlussendlich zeigte Ajtai für alle Primzahlen p\neq q , dass die CP_{p} paarweise unabhängig sind. Als Konsequenz dieser Erkenntnisse bekommen wir eine Hierarchie von schwachen Theorien der Peano Arithmetik: I\exists_{1}\subset I\Delta_{0}\subset PHP\Delta_{0}\subset CP_{p}\Delta_{0}\mbox{ für alle Primzahlen }