Application of a nudging technique to thermoacoustic tomography

ThermoAcoustic Tomography (TAT) is a promising, non invasive, medical imaging technique whose inverse problem can be formulated as an initial condition reconstruction. In this paper, we introduce a new algorithm originally designed to correct the state of an evolution model, the \emph{back and forth nudging} (BFN), for the TAT inverse problem. We show that the flexibility of this algorithm enables to consider a quite general framework for TAT. The backward nudging algorithm is studied and a proof of the geometrical convergence rate of the BFN is given. A method based on Conjugate Gradient (CG) is also introduced. Finally, numerical experiments validate the theoretical results with a better BFN convergence rate for more realistic setups and a comparison is established between BFN, CG and a usual inversion method.Comment: Preprint version of the articl

Funnel control for a moving water tank

We study tracking control for a moving water tank system, which is modelled using the Saint-Venant equations. The output is given by the position of the tank and the control input is the force acting on it. For a given reference signal, the objective is to achieve that the tracking error evolves within a prespecified performance funnel. Exploiting recent results in funnel control we show that it suffices to show that the operator associated with the internal dynamics of the system is causal, locally Lipschitz continuous and maps bounded functions to bounded functions. To show these properties we consider the linearized Saint-Venant equations in an abstract framework and show that it corresponds to a regular well-posed linear system, where the inverse Laplace transform of the transfer function defines a measure with bounded total variation.Comment: 11 page

Data assimilation for micrometeorological applications with the fluid dynamics model Code_Saturne

Air quality is a major health and environmental issue worldwide. Similarly, the accuracy of wind resource assessment triggers significant economic and environmental repercussions. In order to study these two topics, it is necessary to accurately determine local wind fields using numerical models of micrometeorology. Such simulations are extremely sensitive to meteorological conditions at the domain borders. Up to present, the boundary conditions (BC) were estimated based on the results of larger scale simulations, which provide information that is not accurate enough, or even incomplete, for local scale purposes. As a matter of fact, the lack of knowledge about the BC represents a major source of error and uncertainty for micrometeorological studies.The potential sites for wind farm installation as well as built environments (urban areas or industrial sites) can be equipped with instruments measuring meteorological variables or pollutant concentration. The observations provided by these instruments represent a second source of information, insufficiently exploited for micrometeorological studies. Indeed, the in situ measurements are perturbed by the complex geometrical features on sites and might be difficult to exploit. In order to improve the exactitude and the accuracy of the BC, and consequently of the locale-scale atmospheric simulations, data assimilation (DA) methods, suited to this micrometeorological problem, could be applied to take benefit from the available observations.So far, DA methods have been mainly developed for large-scale meteorology and employed to correct the initial conditions (IC). In order to broaden the application scope of DA to micrometeorology, existing DA methods must be adapted to be able to correct the BC instead of IC.Two of the existing DA methods seem compatible with computational fluid dynamics (CFD) models used for micrometeorology over complex geometries: the back and forth nudging (BFN) algorithm and the iterative ensemble Kalman smoother (IEnKS). We have adapted these two methods, from a theoretical perspective, so as to include the BC in the control variables. The performances of the adapted versions of the BFN algorithm and the IEnKS have first been assessed with a simplified, 1D model of atmospheric flow with two layers, based on the shallow-water equations. The BFN algorithm and the IEnKS have then been tested in 2D and 3D with the atmospheric module of the open-source CFD model Code_Saturne.The first study case with Code_Saturne corresponds to a real application of wind resource assessment in a mountainous region with steep topography where three meteorological masts have been installed during a few months and provided in situ wind observations. The second case is a study of pollutant dispersion in an urban area, based on the measurements of wind and pollutant concentration coming from the ``Mock Urban Setting Test'' field campaign carried out in the USA. In this second case, the turbulence is also included in the BC and thus in the control variables. For both studies, some observations are assimilated and the remaining ones are used to validate the results.The experiences performed for the wind resource assessment study have revealed that the CFD models present too strong nonlinearities (flow recirculation after obstacles) for the BFN algorithm, which is based on a linearity assumption. However, both cases have shown the ability of the IEnKS to reduce the error and the uncertainty of the BC by assimilating a few observations, with operationally affordable computational costs. Consequently, the simulated wind fields with Code_Saturne are also closer to the validation observations and the confidence intervals are reduced. Eventually, the IEnKS allows, in one case to estimate the wind potential, and in the other case to build the pollution maps, with much more exactitude and accuracy.La qualité de l’air est un enjeu sanitaire et environnemental majeur. Par ailleurs, l'estimation précise des potentiels éoliens est la source d’importantes retombées économiques et environnementales. Pour étudier ces deux sujets, il est nécessaire de reconstituer précisément les champs de vent locaux grâce à des modèles numériques de micro-météorologie. Ces simulations sont extrêmement sensibles aux conditions météorologiques aux limites du domaine d’étude. Jusqu’à présent, les conditions aux limites (CL) étaient estimées à partir de simulations à plus grande échelle, qui fournissent des informations imprécises, voire incomplètes pour l’utilisation à micro-échelle. Par conséquent, la méconnaissance des CL représente une source majeure d’erreur et d’incertitude dans les études micro-météorologiques. Les sites susceptibles d’accueillir un parc éolien et les environnements bâtis (quartiers urbains ou sites industriels) peuvent être équipés d’instruments de mesures météorologiques et de concentration de polluants. Les observations fournies par ces instruments constituent une seconde source d’information, jusqu’à ce jour peu exploitée pour les études micro-météorologiques. En effet, étant à l’intérieur du domaine, les observations sont perturbées par la géométrie complexe des sites étudiés. Afin d'améliorer la précision des CL et donc des simulations atmosphériques à l'échelle locale, des méthodes d'assimilation de données (AD) adaptées à cette problématique pourraient permettre de mettre à profit les observations disponibles. Jusqu’à présent, les méthodes d’AD ont été principalement développées pour répondre aux besoins de la météorologie à grande échelle et donc utilisées pour corriger les conditions initiales (CI). Afin d'élargir le champ d'application de l’assimilation de données aux simulations à l’échelle locale, il faut adapter les méthodes d'AD pour qu'elles permettent de corriger les CL plutôt que les CI. Parmi les méthodes d'assimilation de données existantes, deux semblent compatibles avec les modèles de mécanique des fluides atmosphérique (CFD) utilisés pour la micro-météorologie en géométrie complexe : l’algorithme de nudging direct et rétrograde (BFN) et le lisseur de Kalman d’ensemble itératif (IEnKS). Nous avons adapté ces deux méthodes d’un point de vue théorique pour inclure les CL dans les variables de contrôle. Les performances des versions adaptées du BFN et de l'IEnKS ont tout d'abord été étudiées avec un modèle simplifié d’écoulement atmosphérique à deux couches en 1D, basé sur les équations de Saint-Venant. Le BFN et l’IEnKS ont ensuite été testés en deux puis trois dimensions avec le module atmosphérique du modèle open-source de CFD Code_Saturne. Le premier cas d’étude avec Code_Saturne correspond à une application réelle d’estimation de potentiel éolien dans une région montagneuse au relief très accidenté où trois mâts de mesure fournissent des observations de vent. Le second cas d’étude correspond à une étude de dispersion de polluants en milieu urbain, basé sur les observations de vent et de concentration, provenant de la campagne de mesures « Mock Urban Setting Test » aux USA. Dans ce second cas, la turbulence est également incluse dans les conditions aux limites. Dans les deux cas, une partie des observations est utilisée pour l’assimilation et le reste pour la validation des résultats. Les expériences menées sur le premier cas ont révélé que les modèles de CFD présentent des non-linéarités trop fortes (recirculations derrière les obstacles) pour l’algorithme de BFN, fondé sur une hypothèse de linéarité. Les études avec cette méthode n'ont donc pas été poursuivies. En revanche, les deux cas d'étude ont montré la capacité de l'IEnKS à réduire l'erreur et l'incertitude sur les CL grâce à l'assimilation d'une petite dizaine d'observations, en un nombre raisonnable de calculs. Par suite, l'écart entre les champs de vent simulés et les observations de validation est également réduit. De même, l'incertitudesur les simulations est plus faible. Finalement, l'IEnKS permet d'estimer le potentiel éolien dans un cas et les concentrations en polluant dans l'autre, avec beaucoup plus de précision

Méthodes de reconstruction itératives en tomographie thermoacoustique

À partir du problème de la tomographie thermoacoustique (TTA), nous avons défini, étudié et mis en œuvre diverses méthodes itératives de reconstruction: le Nudging Direct et Rétrograde (BFN), puis une méthode variationnelle (VT) et le SEEK Direct et Rétrograde (BF-SEEK), plus élaborés, ainsi qu'une méthode couplant filtre de Kalman (KF) et renversement temporel (TR). À l'occasion d'une formulation commune aux méthodes séquentielles précitées, nous avons mis en évidence une nouvelle classe de méthodes de résolution de problèmes inverses: les algorithmes de Filtrage Direct et Rétrograde (BFF). Outre l'existence et l'unicité des solutions, sont étudiés divers cadres caractérisant la convergence théorique des algorithmes. Un cadre théorique général est précisé pour que le BFN soit bien posé. Dans le cadre offert par la TTA, la convergence géométrique de l'algorithme est prouvée, avec taux de convergence explicite. L'étude de généralisations à un cadre plus réaliste est menée: sont considérés différents objets à reconstruire, positionnement et d'éparpillement des capteurs, modèles d'équation d'onde ou des sources extérieures. Des outils de contrôle et d'estimation optimaux permettent de caractériser d'une part la convergence du BFN, et d'autre part les rappels définissant des BFF convergents, et le problème est ramené à un critère d'observabilité. Avec pour points de comparaison les méthodes les plus souples et efficaces du moment (le TR et une variante itérée), de nombreuses expérimentations sont menées afin de tester les BFF et la VT. Robustes, de complexité variée et adaptatives, nos méthodes constituent une excellente alternative aux techniques de reconstruction usuelles.We define, study and implement various iterative reconstruction methods for Thermoacoustic Tomography (TAT): the Back and Forth Nudging (BFN), easy to implement and to use, a variationnal technique (VT) and the Back and Forth SEEK (BF-SEEK), more sophisticated, and a coupling method between Kalman filter (KF) and Time Reversal (TR). A unified formulation is explained for the sequential techniques aforementioned that defines a new class of inverse problem methods: the Back and Forth Filters (BFF). In addition to existence and uniqueness (particularly for backward solutions), we study many frameworks that ensure and characterize the convergence of the algorithms. We give a general theoretical framework for which the BFN is a well-posed problem. Then, in application to TAT, existence and uniqueness of its solutions and geometrical convergence of the algorithm are proved, and an explicit convergence rate and a description of its numerical behaviour are given. Theoretical and numerical studies of more general and realistic framework are led, namely different objects, speeds (with or without trapping), various sensor configurations and samplings, attenuated equations or external sources. Optimal control and best estimate tools are used to characterize the BFN convergence and converging feedbacks for BFF, under observability assumptions. We compare the most flexible and efficient current techniques (TR and an iterative variant) with our various BFF and the VT in several experiments. Thus, robust, with different possible complexities and flexible, the methods that we propose are very interesting reconstruction techniques, particularly in TAT and when observations are degraded

Symmetry-based observers for some water-tank problems

International audienceIn this paper we consider a tank containing fluid and we want to estimate the horizontal currents when the fluid surfac e height is measured. The fluid motion is described by shallow water equations in two horizontal dimensions. We build a simple non-linear observer which takes advantage of the symmetries of fluid dynamics laws. As a result its structure is based on convolutions with smooth isotropic kernels, and the observer is remarkably robust to noise. We prove the convergence of the observer around a steady-state. In numerical applications local exponential convergence is expected. The observer is also applied to the problem of predicting the ocean circulation. Realistic simulations illustrate the relevance of the approach compared with some standard oceanography techniques

Contributions à la tomographie thermoacoustique. Modélisation et inversion

La Tomographie ThermoAcoustique (TTA) est une technique d'imagerie médicale où un corps exposé à une impulsion électromagnétique génère une onde acoustique mesurée autour de celui-ci. Le modèle établi pour la TTA conduit au problème inverse suivant : étant connue la solution d'une équation des ondes sur une hypersurface, il s'agit de reconstruire sa condition initiale. Malgré l'existence de formules explicites, aucune procédure d'inversion rapide, stable et valable en situation clinique n'existe à ce jour. Outre une synthèse des travaux existants, l'objet de ce travail a été, dans un premier temps, d'élaborer une approche variationnelle pour le problème de la TTA. Nous avons considéré la régularisation par mollification, où l'objet à reconstruire est remplacé par une version à résolution limitée, tandis que les données sont traitées pour plus de cohérence. De plus, une stratégie de sélection de paramètre de régularisation utilisant les méthodes de Krylov, et valable pour les régularisations de type Tikhonov, est proposée. Dans un deuxième temps, le modèle usuel de la TTA a été remis en question afin de prendre en compte l'atténuation subie en pratique par l'onde mesurée. On propose plusieurs équations des ondes atténuées causales. Cette évolution du modèle nous a conduit à tester la méthode du Back and Forth Nudging (BFN), issue du champ de l'assimilation de données, consistant à introduire un rappel aux données newtonien dans l'équation des ondes, puis à alterner des résolutions en temps direct et rétrograde. La convergence de la méthode est démontrée dans un cas idéal, mais le procédé offre d'excellents résultats en situation de données incomplètes et atténuées.ThermoAcoustic Tomography (TAT) is a medical imaging technique using the pressure wave generated by a body illuminated by an electromagnetic pulse. Since the acoustic signal is recorded around the body, the resulting inverse problem can be formulated as follows : from the knowledge of a solution of the wave equation on some hypersurface, reconstruct its initial condition. Despite several inversion formulas, so far no efficient procedure, taking partial data and damping into account, is known. As well as a state of the art, this work is dedicated to the introduction of a variational approach for the TAT problem. We studied the regularization by mollification, which consists in replacing the original object by a limited resolution version of it, and treating the data so that they fit this new objective. Moreover, we used a noise level estimation provided by the Golub-Kahan bidiagonalization process to allow an accurate regularization parameter selection. In the second part of this work, we investigate the usual TAT model and put forward some damped wave equation with a finite wave front speed. This improvement yields to the use of the Back and Forth Nudging (BFN) method, which was first implemented for data assimilation purposes, to invert the TAT problem. This technique provides a sequence of approximations of the solution by iterating forward and backward implementations of a wave equation including a newtonian recall to the data. This method, which is proved to be convergent in an ideal framework, leads to convincing results in both partial data and attenuated wave cases