Implicit variable-radius arc canal surfaces for solid modeling

In this paper we consider the problem of obtaining an implicit form for the canal surface whose spine is the arc and the radius changes linearly in respect to the angle. We present a number of different solutions to the problem including exact and approximated ones and discuss the scenarios where each of the solutions is appropriate to use in solid modeling with real functions

Conformal geometry of surfaces in the Lagrangian--Grassmannian and second order PDE

Of all real Lagrangian--Grassmannians $LG(n,2n)$, only $LG(2,4)$ admits a distinguished (Lorentzian) conformal structure and hence is identified with the indefinite M\"obius space $S^{1,2}$. Using Cartan's method of moving frames, we study hyperbolic (timelike) surfaces in $LG(2,4)$ modulo the conformal symplectic group $CSp(4,R)$. This $CSp(4,R)$-invariant classification is also a contact-invariant classification of (in general, highly non-linear) second order scalar hyperbolic PDE in the plane. Via $LG(2,4)$, we give a simple geometric argument for the invariance of the general hyperbolic Monge--Amp\`ere equation and the relative invariants which characterize it. For hyperbolic PDE of non-Monge--Amp\`ere type, we demonstrate the existence of a geometrically associated ``conjugate'' PDE. Finally, we give the first known example of a Dupin cyclide in a Lorentzian space

Analysis of discrete finite element shallow-water models

Les équations de Saint-Venant sont un système aux dérivées partielles jouant un rôle central dans la modélisation des écoulements océaniques. La méthode des éléments finis est particulièrement adaptée pour résoudre les équations de Saint-Venant car elle offre une grande flexibilité sur les domaines irréguliers ainsi qu’une variété d’espaces pour l’approximation de la solution. Or, la qualité de la solution numérique dépend de l’interaction entre ces espaces. Pour certaines combinaisons ou paires d’élément finis la solution numérique peut présenter des oscillations articiellement introduites par la discrétisation. Cette thèse porte sur le comportement numérique des solutions aux équations de Saint-Venant obtenues par différentes paires d’éléments finis. Tout d’abord, une étude sur la dispersion des ondes d’inertie-gravité est présentée pour une sélection de neuf paires d’éléments finis. Un ensemble de trois propriétés est ensuite mis en évidence afin que la discrétisation respecte le comportement des équations analytiques. Une méthode basée sur le calcul des noyaux est utilisée pour caractériser les modes stationnaires correspondant aux écoulements géostrophiques. Finalement, les espaces vectoriels de Raviart-Thomas et Brezzi-Douglas-Marini sont analysés.The shallow-water equations system plays a central role in numerical oceanic models. The finite element method is particularly well suited to solve the shallow-water equations as it works on irregular meshes with a variety of approximation spaces. However, the behavior of the numerical solution highly depends on the interaction between these approximation spaces. For specific finite element pairs the solution may exhibit spurious oscillations induced by the discretization scheme. In this thesis, we analyze these oscillations for a wide selection of finite element pairs. The numerical dispersion of inertia-gravity waves is quantified with dispersion analyses. A constructive linear algebra approach is developed to compute the kernels of the discretized operators. The results are used to characterize the smallest representable vortices on both structured and unstructured meshes. A special attention is given to the Raviart-Thomas and Brezzi-Douglas-Marini approximation spaces