A Finite Element Splitting Extrapolation for Second Order Hyperbolic Equations

Splitting extrapolation is an efficient technique for solving large scale scientific and engineering problems in parallel. This article discusses a finite element splitting extrapolation for second order hyperbolic equations with time-dependent coefficients. This method possesses a higher degree of parallelism, less computational complexity, and more flexibility than Richardson extrapolation while achieving the same accuracy. By means of domain decomposition and isoparametric mapping, some grid parameters are chosen according to the problem. The multiparameter asymptotic expansion of the d-quadratic finite element error is also established. The splitting extrapolation formulas are developed from this expansion. An approximation with higher accuracy on a globally fine grid can be computed by solving a set of smaller discrete subproblems on different coarser grids in parallel. Some a posteriori error estimates are also provided. Numerical examples show that this method is efficient for solving discontinuous problems and nonlinear hyperbolic equations

Richardson Extrapolation-Based High Accuracy High Efficiency Computation for Partial Differential Equations

In this dissertation, Richardson extrapolation and other computational techniques are used to develop a series of high accuracy high efficiency solution techniques for solving partial differential equations (PDEs). A Richardson extrapolation-based sixth-order method with multiple coarse grid (MCG) updating strategy is developed for 2D and 3D steady-state equations on uniform grids. Richardson extrapolation is applied to explicitly obtain a sixth-order solution on the coarse grid from two fourth-order solutions with different related scale grids. The MCG updating strategy directly computes a sixth-order solution on the fine grid by using various combinations of multiple coarse grids. A multiscale multigrid (MSMG) method is used to solve the linear systems resulting from fourth-order compact (FOC) discretizations. Numerical investigations show that the proposed methods compute high accuracy solutions and have better computational efficiency and scalability than the existing Richardson extrapolation-based sixth order method with iterative operator based interpolation. Completed Richardson extrapolation is explored to compute sixth-order solutions on the entire fine grid. The correction between the fourth-order solution and the extrapolated sixth-order solution rather than the extrapolated sixth-order solution is involved in the interpolation process to compute sixth-order solutions for all fine grid points. The completed Richardson extrapolation does not involve significant computational cost, thus it can reach high accuracy and high efficiency goals at the same time. There are three different techniques worked with Richardson extrapolation for computing fine grid sixth-order solutions, which are the iterative operator based interpolation, the MCG updating strategy and the completed Richardson extrapolation. In order to compare the accuracy of these Richardson extrapolation-based sixth-order methods, truncation error analysis is conducted on solving a 2D Poisson equation. Numerical comparisons are also carried out to verify the theoretical analysis. Richardson extrapolation-based high accuracy high efficiency computation is extended to solve unsteady-state equations. A higher-order alternating direction implicit (ADI) method with completed Richardson extrapolation is developed for solving unsteady 2D convection-diffusion equations. The completed Richardson extrapolation is used to improve the accuracy of the solution obtained from a high-order ADI method in spatial and temporal domains simultaneously. Stability analysis is given to show the effects of Richardson extrapolation on stable numerical solutions from the underlying ADI method

Multiextrapolação de Richrdson completa para o método de volumes finitos

Orientador : Prof. Dr. Carlos H. MarchiTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Defesa : Curitiba, 03/10/2017Inclui referências : p. 97-100Resumo: A motivação principal deste trabalho consiste na redução do erro de discretização por meio do emprego da Extrapolação Richardson Completa (CRE) em problemas resolvidos pelo método de Volumes Finitos. CRE é a Extrapolação de Richardson empregada em todo o campo de soluções. É analisado também o efeito dessas extrapolações em variáveis secundárias de problemas de CFD. CRE já foi comprovada na literatura que é eficiente para problemas de Diferenças Finitas. Foram resolvidas as equações de Poisson, advecção-difusão, o problema da cavidade com tampa móvel modelado pelas equações de Navier Stokes, ambos problemas de escoamentos incompressíveis. Foram utilizadas funções de interpolação de 1ª, 2ª, 3ª e 4ª ordens de acurácia para as discretizações e de 10 a 20 malhas de 2 a 1048576 nós. Nas soluções desses problemas de CFD foram feitas análises da redução do erro de discretização com MER e CRE. Para ampliar a avaliação das variáveis de interesse, através da expansão de MER em campos de soluções, é analisada a redução do erro numérico em variáveis secundárias como temperatura média, inclinação nos contornos, temperatura no ponto médio, fluxo de massa e força de arrasto viscoso. Para a ordem de acurácia de variáveis secundárias, a partir de soluções nodais, são mostrados diversos experimentos numéricos e um teorema que generaliza os padrões observados. Com a utilização das faces das malhas 1D e das quinas das malhas 2D se tornou possível o emprego de CRE em Volumes Finitos. O desempenho dessa técnica nos problemas estudados se mostrou equivalente ao encontrado na literatura para Diferenças Finitas. Constatou-se que CRE é um método eficaz para a redução do erro numérico também para problemas de Volumes Finitos. No desempenho do erro de variáveis secundárias, CRE contribui para a redução do erro, porém, o emprego de MER diretamente nas variáveis secundárias pode ser mais eficiente. Palavras-Chave: Multiextrapolações de Richardson. Erro de discretização. Variáveis secundárias.Abstract: The scope of this research is to reduce the discretization error through the use of Completed Richardson Extrapolation (CRE) in problems solved by the Finite Volumes method. CRE is the Richardson Extrapolation employed across the entire field of solutions. The effect of these extrapolations on secondary variables of CFD problems is also analyzed. CRE has already been proven in the literature that is efficient for problems of Finite Differences. The Poisson equations, advection-diffusion, the cavity problem with movable cover modeled by the Navier Stokes equations, both incompressible flow problems, were solved. First, second, third and fourth interpolation functions were used for the discretizations and from 10 to 20 meshes from 2 to 1048576 nodes. In the solutions of these CFD problems analyzes of the reduction of the discretization error with MER and CRE were made. In order to extend the evaluation of the variables of interest, through the expansion of MER in solution fields, the numerical error reduction in secondary variables such as average temperature, contour slope, temperature at the midpoint, mass flow and viscous drag. For the order of accuracy of secondary variables, from nodal solutions, we show several numerical experiments and a theorem that generalizes the observed patterns. With the use of the faces of the 1D meshes and the 2D meshes, it became possible to use CRE in Finite Volumes. The performance of this technique in the studied problems was shown to be equivalent to that found in the literature for Finite Differences. It has been found that CRE is an effective method for the reduction of numerical error also for finite volume problems. In the performance of the error of secondary variables, CRE contributes to the reduction of the error, however, the use of MER directly in the secondary variables can be more efficient. Keywords: Repeated Richardson Extrapolations. Discretization error. Secondary variables

Estudo de parâmetros do método Multigrid geométrico para equações 2D em CFD e volumes finitos

Orientador : Prof. Dr. Carlos Henrique MarchiCoorientadores : Prof. Dr. Marcio Augusto Villela Pinto, Prof. Dr. Luciano Kiyoshi ArakiTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Defesa: Curitiba, 26/02/2013Inclui referênciasÁrea de concentração: Fenômenos de transporte e mecânica dos sólidosResumo: A influencia de alguns parametros do metodo multigrid geometrico sobre o tempo de CPU para tres diferentes modelos matematicos bidimensionais do escopo da CFD (Computational Fluid Dynamics) e investigada. Os modelos matematicos sao: a equacao de Laplace, a equacao de Adveccao-Difusao e as Equacoes de Burgers. Os parametros em estudo sao: numero de iteracoes internas do solver (ƒË); numero de malhas (L); numero de incognitas (N); solvers e operadores de prolongacao. O multigrid e empregado com esquema FAS (Full Approximation Scheme) e tecnica FMG (Full Multigrid) com ciclo V e razao de engrossamento r = 2. As equacoes diferenciais sao discretizadas pelo Metodo dos Volumes Finitos (MVF) em geometrias simples e malhas bidimensionais uniformes por direcao, com aproximacoes de 2a ordem CDS e correcao adiada. As condicoes de contorno, do tipo Dirichlet, sao aplicadas mediante a tecnica de volumes ficticios. Os sistemas de equacoes algebricas sao resolvidos com o emprego do solver Gauss-Seidel Lexicografico (GS-Lex) e, no caso do problema de Burgers, tambem com o emprego do Gauss-Seidel red-black (GS-RB). Verificou-se principalmente que: o esquema FAS-FMG e cerca de duas vezes mais rapido do que o FAS padrao; que o numero de equacoes ou complexidade do problema nao interfere na eficiencia do multigrid; que o operador de prolongacao bilinear e o mais eficiente para interpolar as solucoes entre os niveis do FMG. Palavras-chave: Dinamica dos fluidos computacional. Multigrid. Volumes finitos. Metodos numericos. Equacoes de Burgers.This work investigates the influence of some parameters from the Multigrid Geometric method over CPU processing time for three different mathematical bidimensional methods that make up the Computational Fluid Dynamics scope. These mathematical models are: Laplace equation, Advection-Diffusion equation and Burgers' equations. In order to achieve the main target, which consists on optimize the employed algorithms to solve the problems above, the computational time minimization is sought through parameters modifications at the algorithms. The considered parameters are: number of solver's internal iteration (v); number of grids (L); number of incognites (N); solvers and prolongation operators. The multigrid is employed besides FAS (Full Approximation Scheme) and FMG (Full Multigrid) technique, with V cycle and coarsening ratio r = 2. The differential equations discretization is made by the Finite Volume Method (MVF) over simple geometries and direction uniform bidimensional grids, with second order CDS and delayed correction. The Dirichlet type boundary conditions are applied through fictitious volume technique. The system of algebraic equations are solved by the Gauss-Seidel Lexicographic (GS-Lex) solver and, at the Burgers problem, the Gauss-Seidel red-black (GS-RB) is also employed. The main results that should be emphasized are: the FAS-FMG scheme is about twice faster than the standard FAS; the multigrid efficiency ate not affected by the number of equations or complexity of the problem; the bilinear prolongation operator is the most efficient to interpolate the solution among the FMG levels. Keywords: computational fluid dynamics. Multigrid. Finite volume method. Numerical methods. Burgers' Equation

Multiextrapolação de Richardson completa para reduzir o erro de discretização

Resumo: O objetivo principal deste trabalho é estender o uso de múltiplas extrapolações de Richardson para campos em problemas uni e bidimensionais resolvidos com o método de diferenças finitas. Múltiplas extrapolações em campos permitem obter uma solução com ordem de acurácia mais alta em todos os pontos da malha fina e não somente em determinadas variáveis pontuais. Para tanto, são consideradas: equações de Poisson, advecção-difusão, Laplace e Burgers com condições de contorno de Dirichlet; aproximações numéricas de primeira, segunda e quarta ordens de acurácia; três variáveis de interesse; malhas uniformes com até 1025 nós por direção e nove extrapolações; e precisão quádrupla. A extrapolação de Richardson total (FRE) desenvolvida nesta tese confronta e complementa os resultados apresentados por outro método de extrapolação em campos, encontrado na literatura como extrapolação de Richardson completa (CRE). Os resultados mostram que: para Poisson, múltiplas extrapolações aplicadas com FRE são extremamente eficientes em reduzir o erro de discretização de todos os nós da malha, aumentando em 16 unidades a ordem do esquema numérico com sete extrapolações; para advecção-difusão, Laplace e Burgers, múltiplas extrapolações com os métodos CRE e FRE reduzem o erro de discretização de todos os nós da malha, aumentando em até 2 unidades a ordem do esquema, não importando o número de extrapolações; e FRE reduz mais o erro de discretização de campos do que CRE, exceto em Burgers 1D e 2D, onde CRE apresentou os menores erros