単位円グラフのセパレータ構成問題に対するアルゴリズム的研究

本研究では単位円グラフ上で良いセパレータを高速に求めることを目的とする．単位円グラフとは単位円の集合に対して各々の単位円を頂点として，単位円どうしが交差するときに辺を張ることによって構成される無向グラフである．無線ネットワークのモデル化などいろいろな応用がある．無向グラフ G=(V,E) 上の頂点集合 V の分割 (S,A,B) で，|A|?2/3|V| かつ |B|?2/3|V| を満たし，A と B の間に辺が存在しないとき，S のことを G のセパレータと呼ぶ．セパレータは分割統治法などで使われることが多く，小さいサイズのセパレータの存在によって効率的なアルゴリズムが考案されている．セパレータのサイズと計算時間の間にはトレードオフの関係があるが，本研究では単位円グラフ上で良いセパレータを高速に求めることを目的として，計算時間が O(|V|log??|V|?) の乱択アルゴリズムを提案する．この乱択アルゴリズムは単位円の集合を直線によって分割することを基にしており，角度 θ∈[0,π) を一様ランダムに選び傾き θ の直線の中でセパレータのサイズが最小となるものを見つけている．計算時間については理論的に求めて，セパレータのサイズの期待値の上界については計算機実験で調べた．　単位円グラフ上のセパレータの先行研究としてJordan曲線上でのセパレータの研究がある．Jordan曲線とは自己交差しない閉じた曲線のことであり，単位円はJordan曲線である．各々のJordan曲線の交差数が有界ならばセパレータのサイズが O(√(|E|)) のセパレータをO(|V|+|E|) の計算時間で求められることが知られている．提案する乱択アルゴリズムは辺数が多いときに先行研究よりも高本研究では単位円グラフ上で良いセパレータを高速に求めることを目的とする．単位円グラフとは単位円の集合に対して各々の単位円を頂点として，単位円どうしが交差するときに辺を張ることによって構成される無向グラフである．無線ネットワークのモデル化などいろいろな応用がある．無向グラフ G=(V,E) 上の頂点集合 V の分割 (S,A,B) で，|A|<_2/3|V| かつ |B|<_2/3|V| を満たし，A と B の間に辺が存在しないとき，S のことを G のセパレータと呼ぶ．セパレータは分割統治法などで使われることが多く，小さいサイズのセパレータの存在によって効率的なアルゴリズムが考案されている．セパレータのサイズと計算時間の間にはトレードオフの関係があるが，本研究では単位円グラフ上で良いセパレータを高速に求めることを目的として，計算時間が O(|V|log|V|) の乱択アルゴリズムを提案する．この乱択アルゴリズムは単位円の集合を直線によって分割することを基にしており，角度 θ∈[0,π) を一様ランダムに選び傾き θ の直線の中でセパレータのサイズが最小となるものを見つけている．計算時間については理論的に求めて，セパレータのサイズの期待値の上界については計算機実験で調べた．　単位円グラフ上のセパレータの先行研究としてJordan曲線上でのセパレータの研究がある．Jordan曲線とは自己交差しない閉じた曲線のことであり，単位円はJordan曲線である．各々のJordan曲線の交差数が有界ならばセパレータのサイズが O(√(|E|)) のセパレータをO(|V|+|E|) の計算時間で求められることが知られている．提案する乱択アルゴリズムは辺数が多いときに先行研究よりも高速であり，セパレータのサイズの期待値も計算機実験より O(√(|E|)) であると予想される．単位円グラフが非連結の場合は連結の場合に帰着できるので，本研究では連結な単位円グラフを扱う．電気通信大学201

All-Pairs Shortest Paths in Unit-Disk Graphs in Slightly Subquadratic Time

In this paper we study the all-pairs shortest paths problem in (unweighted) unit-disk graphs. The previous best solution for this problem required O(n^2 log n) time, by running the O(n log n)-time single-source shortest path algorithm of Cabello and Jejcic [Comput. Geom., 2015] from every source vertex,where n is the number of vertices. We not only manage to eliminate the logarithmic factor, but also obtain the first (slightly) subquadratic algorithm for the problem, running in O(n^2 sqrt{ frac{log log n}{log n} }) time. Our algorithm computes an implicit representation of all the shortest paths, and, in the same amount of time, can also compute the diameter of the graph

Sublinear Average-Case Shortest Paths in Weighted Unit-Disk Graphs

We consider the problem of computing shortest paths in weighted unit-disk graphs in constant dimension $d$. Although the single-source and all-pairs variants of this problem are well-studied in the plane case, no non-trivial exact distance oracles for unit-disk graphs have been known to date, even for $d=2$. The classical result of Sedgewick and Vitter [Algorithmica '86] shows that for weighted unit-disk graphs in the plane the $A^*$ search has average-case performance superior to that of a standard shortest path algorithm, e.g., Dijkstra's algorithm. Specifically, if the $n$ corresponding points of a weighted unit-disk graph $G$ are picked from a unit square uniformly at random, and the connectivity radius is $r\in (0,1)$, $A^*$ finds a shortest path in $G$ in $O(n)$ expected time when $r=\Omega(\sqrt{\log n/n})$, even though $G$ has $\Theta((nr)^2)$ edges in expectation. In other words, the work done by the algorithm is in expectation proportional to the number of vertices and not the number of edges. In this paper, we break this natural barrier and show even stronger sublinear time results. We propose a new heuristic approach to computing point-to-point exact shortest paths in unit-disk graphs. We analyze the average-case behavior of our heuristic using the same random graph model as used by Sedgewick and Vitter and prove it superior to $A^*$. Specifically, we show that, if we are able to report the set of all $k$ points of $G$ from an arbitrary rectangular region of the plane in $O(k + t(n))$ time, then a shortest path between arbitrary two points of such a random graph on the plane can be found in $O(1/r^2 + t(n))$ expected time. In particular, the state-of-the-art range reporting data structures imply a sublinear expected bound for all $r=\Omega(\sqrt{\log n/n})$ and $O(\sqrt{n})$ expected bound for $r=\Omega(n^{-1/4})$ after only near-linear preprocessing of the point set.Comment: Full version of a SoCG'21 paper. Abstract truncated to meet arxiv requirement

Feedback Vertex Set on Geometric Intersection Graphs

In this paper, we present an algorithm for computing a feedback vertex set of a unit disk graph of size k, if it exists, which runs in time 2^O(?k)(n+m), where n and m denote the numbers of vertices and edges, respectively. This improves the 2^O(?klog k) n^O(1)-time algorithm for this problem on unit disk graphs by Fomin et al. [ICALP 2017]. Moreover, our algorithm is optimal assuming the exponential-time hypothesis. Also, our algorithm can be extended to handle geometric intersection graphs of similarly sized fat objects without increasing the running time

Near-Optimal Algorithms for Shortest Paths in Weighted Unit-Disk Graphs

We revisit a classical graph-theoretic problem, the single-source shortest-path (SSSP) problem, in weighted unit-disk graphs. We first propose an exact (and deterministic) algorithm which solves the problem in O(n log^2 n) time using linear space, where n is the number of the vertices of the graph. This significantly improves the previous deterministic algorithm by Cabello and Jejcic [CGTA\u2715] which uses O(n^{1+delta}) time and O(n^{1+delta}) space (for any small constant delta>0) and the previous randomized algorithm by Kaplan et al. [SODA\u2717] which uses O(n log^{12+o(1)} n) expected time and O(n log^3 n) space. More specifically, we show that if the 2D offline insertion-only (additively-)weighted nearest-neighbor problem with k operations (i.e., insertions and queries) can be solved in f(k) time, then the SSSP problem in weighted unit-disk graphs can be solved in O(n log n+f(n)) time. Using the same framework with some new ideas, we also obtain a (1+epsilon)-approximate algorithm for the problem, using O(n log n + n log^2(1/epsilon)) time and linear space. This improves the previous (1+epsilon)-approximate algorithm by Chan and Skrepetos [SoCG\u2718] which uses O((1/epsilon)^2 n log n) time and O((1/epsilon)^2 n) space. Because of the Omega(n log n)-time lower bound of the problem (even when approximation is allowed), both of our algorithms are almost optimal