The number of subsets of integers with no kk-term arithmetic progression

Addressing a question of Cameron and Erd\Ho s, we show that, for infinitely many values of $n$, the number of subsets of $\{1,2,\ldots, n\}$ that do not contain a $k$-term arithmetic progression is at most $2^{O(r_k(n))}$, where $r_k(n)$ is the maximum cardinality of a subset of $\{1,2,\ldots, n\}$ without a $k$-term arithmetic progression. This bound is optimal up to a constant factor in the exponent. For all values of $n$, we prove a weaker bound, which is nevertheless sufficient to transfer the current best upper bound on $r_k(n)$ to the sparse random setting. To achieve these bounds, we establish a new supersaturation result, which roughly states that sets of size $\Theta(r_k(n))$ contain superlinearly many $k$-term arithmetic progressions. For integers $r$ and $k$, Erd\Ho s asked whether there is a set of integers $S$ with no $(k+1)$-term arithmetic progression, but such that any $r$-coloring of $S$ yields a monochromatic $k$-term arithmetic progression. Ne\v{s}et\v{r}il and R\"odl, and independently Spencer, answered this question affirmatively. We show the following density version: for every $k\ge 3$ and $\delta>0$, there exists a reasonably dense subset of primes $S$ with no $(k+1)$-term arithmetic progression, yet every $U\subseteq S$ of size $|U|\ge\delta|S|$ contains a $k$-term arithmetic progression. Our proof uses the hypergraph container method, which has proven to be a very powerful tool in extremal combinatorics. The idea behind the container method is to have a small certificate set to describe a large independent set. We give two further applications in the appendix using this idea.Comment: To appear in International Mathematics Research Notices. This is a longer version than the journal version, containing two additional minor applications of the container metho

Combinatorics and Probability

For the past few decades, Combinatorics and Probability Theory have had a fruitful symbiosis, each benefitting from and influencing developments in the other. Thus to prove the existence of designs, probabilistic methods are used, algorithms to factorize integers need combinatorics and probability theory (in addition to number theory), and the study of random matrices needs combinatorics. In the workshop a great variety of topics exemplifying this interaction were considered, including problems concerning designs, Cayley graphs, additive number theory, multiplicative number theory, noise sensitivity, random graphs, extremal graphs and random matrices

Hardness of Token Swapping on Trees

Given a graph where every vertex has exactly one labeled token, how can we most quickly execute a given permutation on the tokens? In (sequential) token swapping, the goal is to use the shortest possible sequence of swaps, each of which exchanges the tokens at the two endpoints of an edge of the graph. In parallel token swapping, the goal is to use the fewest rounds, each of which consists of one or more swaps on the edges of a matching. We prove that both of these problems remain NP-hard when the graph is restricted to be a tree. These token swapping problems have been studied by disparate groups of researchers in discrete mathematics, theoretical computer science, robot motion planning, game theory, and engineering. Previous work establishes NP-completeness on general graphs (for both problems), constant-factor approximation algorithms, and some poly-time exact algorithms for simple graph classes such as cliques, stars, paths, and cycles. Sequential and parallel token swapping on trees were first studied over thirty years ago (as "sorting with a transposition tree") and over twenty-five years ago (as "routing permutations via matchings"), yet their complexities were previously unknown. We also show limitations on approximation of sequential token swapping on trees: we identify a broad class of algorithms that encompass all three known polynomial-time algorithms that achieve the best known approximation factor (which is 2) and show that no such algorithm can achieve an approximation factor less than 2

Wireless Communication in Data Centers: A Survey

Data centers (DCs) is becoming increasingly an integral part of the computing infrastructures of most enterprises. Therefore, the concept of DC networks (DCNs) is receiving an increased attention in the network research community. Most DCNs deployed today can be classified as wired DCNs as copper and optical fiber cables are used for intra- and inter-rack connections in the network. Despite recent advances, wired DCNs face two inevitable problems; cabling complexity and hotspots. To address these problems, recent research works suggest the incorporation of wireless communication technology into DCNs. Wireless links can be used to either augment conventional wired DCNs, or to realize a pure wireless DCN. As the design spectrum of DCs broadens, so does the need for a clear classification to differentiate various design options. In this paper, we analyze the free space optical (FSO) communication and the 60 GHz radio frequency (RF), the two key candidate technologies for implementing wireless links in DCNs. We present a generic classification scheme that can be used to classify current and future DCNs based on the communication technology used in the network. The proposed classification is then used to review and summarize major research in this area. We also discuss open questions and future research directions in the area of wireless DCs

Structural properties of hierarchically hyperbolic groups

124 p.Los temas de esta tesis se enmarcan en el área de la teoría geométrica de grupos, que es el estudio de grupos finitamente generados a través de la exploración de sus aspectos geométricos y topológicos. Más precisamente, nos centramos en una clase de grupos denominados grupos jerárquicamente hiperbólicos.La hiperbolicidad jerárquica es una noción muy reciente pero poderosa cuyo objetivo es proporcionar un marco unificador para estudiar grandes clases de grupos que tienen características similares a curvatura negativa y no positiva.Los primeros resultados originales de esta tesis aparecen en el capítulo segundo, donde se prueban una serie de resultados estructurales de naturaleza técnica. Se presentan allí dos nociones: intersection ÁREA LÍNEA1 2 0 1 0 6 ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA property y concreteness. Estas condiciones se utilizan en varios lugares a lo largo del resto de la tesis y son cruciales para comprender los principales resultados que siguen.El primer resultado principal de la tesis es el establecimiento de un teorema de combinación para la clase de grupos jerárquicamente hiperbólicos. Por lo general, nos referimos a un resultado como un teorema de combinación en una clase de grupos C si responde a la siguiente pregunta: Sea G un grupo que actúa sobre un árbol simplicial T cuyos estabilizadores de vértices y aristas pertenecen a C, ¿bajo qué condiciones podemos concluir que el grupo C está en C? En nuestro caso, las condiciones queidentificamos son intersection property y clean containers. Como aplicación de este teorema obtenemos que los productos bajo grafos de grupos jerárquicamente hiperbólicos con intersection property y clean containers son en sí mismos jerárquicamente hiperbólicos.En el último capítulo de la tesis nos centramos en la clase de grupos que actúan sobre un árbol simplicial de manera que los estabilizadores de aristas son virtualmente cíclicos. Llamamos a esta clase grupos hyperbolic-2-decomposable. El principal resultado de éste último capítulo es una caracterización de grupos de este tipo que nos permiten aportar una estructura hiperbólica jerárquica sobre ellos. Má sprecisamente, obtenemos que un grupo hyperbolic-2-decomposable es jerárquicamente hiperbólico si y solo si es equilibrado. Más aún, mostramos que esto es equivalente a que el grupo en sí no contenga subgrupos de tipo Baumslag-Solitar no equilibrados. Como corolario inmediato obtenemos que los productos libres amalgamados de grupos hiperbólicos sobre grupos virtualmente cíclicos son jerárquicamente hiperbólicos

Structural properties of hierarchically hyperbolic groups

124 p.Los temas de esta tesis se enmarcan en el área de la teoría geométrica de grupos, que es el estudio de grupos finitamente generados a través de la exploración de sus aspectos geométricos y topológicos. Más precisamente, nos centramos en una clase de grupos denominados grupos jerárquicamente hiperbólicos.La hiperbolicidad jerárquica es una noción muy reciente pero poderosa cuyo objetivo es proporcionar un marco unificador para estudiar grandes clases de grupos que tienen características similares a curvatura negativa y no positiva.Los primeros resultados originales de esta tesis aparecen en el capítulo segundo, donde se prueban una serie de resultados estructurales de naturaleza técnica. Se presentan allí dos nociones: intersection ÁREA LÍNEA1 2 0 1 0 6 ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA property y concreteness. Estas condiciones se utilizan en varios lugares a lo largo del resto de la tesis y son cruciales para comprender los principales resultados que siguen.El primer resultado principal de la tesis es el establecimiento de un teorema de combinación para la clase de grupos jerárquicamente hiperbólicos. Por lo general, nos referimos a un resultado como un teorema de combinación en una clase de grupos C si responde a la siguiente pregunta: Sea G un grupo que actúa sobre un árbol simplicial T cuyos estabilizadores de vértices y aristas pertenecen a C, ¿bajo qué condiciones podemos concluir que el grupo C está en C? En nuestro caso, las condiciones queidentificamos son intersection property y clean containers. Como aplicación de este teorema obtenemos que los productos bajo grafos de grupos jerárquicamente hiperbólicos con intersection property y clean containers son en sí mismos jerárquicamente hiperbólicos.En el último capítulo de la tesis nos centramos en la clase de grupos que actúan sobre un árbol simplicial de manera que los estabilizadores de aristas son virtualmente cíclicos. Llamamos a esta clase grupos hyperbolic-2-decomposable. El principal resultado de éste último capítulo es una caracterización de grupos de este tipo que nos permiten aportar una estructura hiperbólica jerárquica sobre ellos. Má sprecisamente, obtenemos que un grupo hyperbolic-2-decomposable es jerárquicamente hiperbólico si y solo si es equilibrado. Más aún, mostramos que esto es equivalente a que el grupo en sí no contenga subgrupos de tipo Baumslag-Solitar no equilibrados. Como corolario inmediato obtenemos que los productos libres amalgamados de grupos hiperbólicos sobre grupos virtualmente cíclicos son jerárquicamente hiperbólicos