A New Method for Symmetry Recognition in Boolean Functions Based on the Set-Theoretical Logic Differentiation. I

The paper presents a new method for the recognition of the different types of total and partial symmetry in Boolean functions based on the numeric set-theoretical differentiation. The proposed algorithm is based on the theorem on the recognition of different types of partial symmetry. This algorithm, compared to the known, has a relatively less computational complexity of realization due to a comparatively smaller number of operations and procedures necessary for the accomplishment of the given task. This is proved by the presented examples for the recognition of the proposed method of the different types of symmetry in complete and incomplete of Boolean functions, including given in the SOP format, taken for comparison reasons from publications of the well-known authors.Мета статті — розробити простий для реалізації метод розпізнавання різних типів повних і частинних симетрій як у повних, так і частково заданих булових функціях. Методи. У статті запропоновано новий метод розпізнавання різних типів повних і частинних симетрій, таких як полісиметрія, проста симетрія та антисиметрія, як у повністю, так і частинно заданих функціях на основі числового теоретико-множинного логікового диференціювання. Алгоритм методу ґрунтується на теоремі про розпізнавання різних типів частинних симетрій, який, порівняно з відомими, має відносно меншу обчислювальну складність за рахунок порівняно меншої кількості операцій і процедур, потрібних для виконання поставленої задачі. Результат. Справедливість доведеної теореми засвідчують приклади розпізнавання різних типів повних і частинних симетрій як у повністю заданих функціях (частина I), так і частково заданих функціях (частина II), у тому числі заданих у ДНФ, які з метою порівняння ефективності запропонованого алгоритму запозичено з публікацій відомих авторів.Цель статьи — разработать простой в реализации метод распознавания разных типов полных и частичных симметрий, как в полных, так и частично заданных булевых функциях. Методы. В статье предложен новый метод распознавания разных типов полных и частичных симметрий, таких как полисимметрия, простая симметрия и антисимметрия, как в полностью, так и частично заданных функциях на основе численного теоретико-множественного логического дифференцирования. Алгоритм метода основан на теореме распознавания разных типов частичных симметрий, который, в сравнении с известными, имеет относительно меньшую вычислительную сложность благодаря сравнительно меньшему количеству операций и процедур, необходимых для выполнения поставленной задачи. Результат. Справедливость доказанной теоремы показывают примеры распознавания разных типов полных и частичных симметрий как в полностью заданных функциях (часть I), так и частично заданных функциях (часть II), в том числе заданных в ДНФ, которые с целью сравнения эффективности предложенного алгоритма взяты из публикаций известных авторов

Topological Foundations of Cognitive Science

A collection of papers presented at the First International Summer Institute in Cognitive Science, University at Buffalo, July 1994, including the following papers: ** Topological Foundations of Cognitive Science, Barry Smith ** The Bounds of Axiomatisation, Graham White ** Rethinking Boundaries, Wojciech Zelaniec ** Sheaf Mereology and Space Cognition, Jean Petitot ** A Mereotopological Definition of 'Point', Carola Eschenbach ** Discreteness, Finiteness, and the Structure of Topological Spaces, Christopher Habel ** Mass Reference and the Geometry of Solids, Almerindo E. Ojeda ** Defining a 'Doughnut' Made Difficult, N .M. Gotts ** A Theory of Spatial Regions with Indeterminate Boundaries, A.G. Cohn and N.M. Gotts ** Mereotopological Construction of Time from Events, Fabio Pianesi and Achille C. Varzi ** Computational Mereology: A Study of Part-of Relations for Multi-media Indexing, Wlodek Zadrozny and Michelle Ki

Simple Minimization Method of the Variables Number in Complete and Incomplete Logic Functions. Part 1

A new minimization method of the variables number in complete and incomplete logic functions, based on the procedure of conjuncterms splitting is proposed. The advantages of the proposed method are illustrated by examples of determining nonessential variables in the functions, which are borrowed from the well-known publications.Предложен новый метод минимизации числа переменных в полных и неполных логических функциях, основанный на процедуре расцепления конъюнктермов. Преимущества предложенного метода иллюстрируют примеры определения несущественных переменных в функциях, заимствованных автором из известных публикаций с целью сравнения.Запропоновано новий метод мінімізації кількості змінних у повних і неповних логічних функціях, що ґрунтується на процедурі розчеплення кон'юнктермів. Переваги пропонованого методу ілюструють приклади визначення неістотних змінних у функціях, які автор запозичив з відомих публікацій з метою порівняння

A Simple Numeric Set-Theoretical Method of the Logic Differential Calculus

Предложен новый метод логического дифференциального исчисления на основании числового теоретико-множественного подхода к определению разных типов логических производных произвольного порядка от булевой функции. Алгоритм имеет относительно меньшую вычислительную сложность при меньшем количестве операций, необходимых для решения задачи, что подтверждено примерами определения разных логических производных произвольных порядков от функций, заимствованных авторами из известных публикаций в порядке сравнения с предложенным методом.Запропоновано новий метод логічного диференційного числення на основі числового теоретико-множинного підходу до визначення різних типів логічних похідних довільного порядку від бульової функції. Алгоритм має відносно меншу обчислювальну складність за меншої кількості операцій, необхідних для розв'язання задачі, що підтверджено прикладами визначення запропонованим методом різних логічних похідних довільних порядків від функцій, запозичених авторами з відомих публікацій з метою порівняння з пропонованим методом.A new method of the logic differential calculus, based on the numeric set-theoretical approach for the definition of the different logic derivatives types of the arbitrary order for Boolean function is proposed. The given algorithm has relatively less computational complexity due to the lower amount of the operations required for solving the given problem. This is proved in the given examples borrowed from the well-known publications, in order to compare them with the proposed numeric set-theoretic method to obtain the different types of logic derivatives of arbitrary order

An Infinite Needle in a Finite Haystack: Finding Infinite Counter-Models in Deductive Verification

First-order logic, and quantifiers in particular, are widely used in deductive verification. Quantifiers are essential for describing systems with unbounded domains, but prove difficult for automated solvers. Significant effort has been dedicated to finding quantifier instantiations that establish unsatisfiability, thus ensuring validity of a system's verification conditions. However, in many cases the formulas are satisfiable: this is often the case in intermediate steps of the verification process. For such cases, existing tools are limited to finding finite models as counterexamples. Yet, some quantified formulas are satisfiable but only have infinite models. Such infinite counter-models are especially typical when first-order logic is used to approximate inductive definitions such as linked lists or the natural numbers. The inability of solvers to find infinite models makes them diverge in these cases. In this paper, we tackle the problem of finding such infinite models. These models allow the user to identify and fix bugs in the modeling of the system and its properties. Our approach consists of three parts. First, we introduce symbolic structures as a way to represent certain infinite models. Second, we describe an effective model finding procedure that symbolically explores a given family of symbolic structures. Finally, we identify a new decidable fragment of first-order logic that extends and subsumes the many-sorted variant of EPR, where satisfiable formulas always have a model representable by a symbolic structure within a known family. We evaluate our approach on examples from the domains of distributed consensus protocols and of heap-manipulating programs. Our implementation quickly finds infinite counter-models that demonstrate the source of verification failures in a simple way, while SMT solvers and theorem provers such as Z3, cvc5, and Vampire diverge