The counting complexity of group-definable languages

AbstractA group family is a countable family B={Bn}n>0 of finite black-box groups, i.e., the elements of each group Bn are uniquely encoded as strings of uniform length (polynomial in n) and for each Bn the group operations are computable in time polynomial in n. In this paper we study the complexity of NP sets A which has the following property: the set of solutions for every x∈A is a subgroup (or is the right coset of a subgroup) of a group Bi(|x|) from a given group family B, where i is a polynomial. Such an NP set A is said to be defined over the group family B.Decision problems like Graph Automorphism, Graph Isomorphism, Group Intersection, Coset Intersection, and Group Factorization for permutation groups give natural examples of such NP sets defined over the group family of all permutation groups. We show that any such NP set defined over permutation groups is low for PP and C=P.As one of our main results we prove that NP sets defined over abelian black-box groups are low for PP. The proof of this result is based on the decomposition theorem for finite abelian groups. As an interesting consequence of this result we obtain new lowness results: Membership Testing, Group Intersection, Group Factorization, and some other problems for abelian black-box groups are low for PP and C=P.As regards the corresponding counting problem for NP sets over any group family of arbitrary black-box groups, we prove that exact counting of number of solutions is in FPAM. Consequently, none of these counting problems can be #P-complete unless PH collapses

Primality Tests on Commutator Curves

Das Thema dieser Dissertation sind effiziente Primzahltests. Zunächst wird die Kommutatorkurve eingeführt, die durch einen skalaren Parameter in der zweidimensionalen speziellen linearen Gruppe bestimmt wird. Nach Erforschung der Grundlagen dieser Kurve wird sie in verschiedene Pseudoprimzahltests (z.B. Fermat-Test, Solovay-Strassen-Test) eingebunden. Als wichtigster Pseudoprimzahltest ist dabei der Kommutatorkurventest zu nennen. Es wird bewiesen, dass dieser Test nach einer festen Anzahl von Probedivisionen (alle Primzahlen kleiner 80) das Ergebnis 'wahr' für eine zusammengesetzte Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit ausgibt, die kleiner als 1/16 ist. Darüberhinaus wird bewiesen, dass der Miller-Primzahltest unter der Annahme der Korrektheit der Erweiterten Riemannschen Hypothese zur Überprüfung einer Zahl n nur noch für alle Primzahlbasen kleiner als 3/2*ln(n)^2 durchgeführt werden muss. Im Beweis des Primzahltests von G. L. Miller konnte dabei die Notwendigkeit der Erweiterten Riemannschen Hypothese auf nur noch ein Schlüssellemma eingegrenzt werden.This thesis is about efficient primality tests. First, the commutator curve which is described by one scalar parameter in the two-dimensional special linear group will be introduced. After fundamental research of of this curve, it will be included into different compositeness tests (e.g. Fermat's test, Solovay-Strassen test). The most important commutator test is the Commutator Curve Test. Besides, it will be proved that this test after a fixed number of trial divisions (all prime numbers up to 80) returns the result 'true' for a composite number with a probability less than 1/16. Moreover, it will be shown that Miller's test to check a number n only has to be carried out for all prime bases less than 3/2*ln(n)^2. This happens under the assumption that the Extended Riemann Hypothesis is true. The necessity of the Extended Riemann Hypothesis to prove the primality test of G. L. Miller can be reduced to a single key lemma

Complexity of certificates, heuristics, and counting types , with applications to cryptography and circuit theory

In dieser Habilitationsschrift werden Struktur und Eigenschaften von Komplexitätsklassen wie P und NP untersucht, vor allem im Hinblick auf: Zertifikatkomplexität, Einwegfunktionen, Heuristiken gegen NP-Vollständigkeit und Zählkomplexität. Zum letzten Punkt werden speziell untersucht: (a) die Komplexität von Zähleigenschaften von Schaltkreisen, (b) Separationen von Zählklassen mit Immunität und (c) die Komplexität des Zählens der Lösungen von ,,tally`` NP-Problemen