Rotulamentos de codigos por grupos de simetrias

Orientadores: Sueli Irene Rodrigues Costa, Reginaldo Palazzo JrTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientificaResumo: A tese versa sobre questões relativas a grupos de simetrias de códigos e sua utilização no rotulamento destes códigos. Um código é rotulável por um grupo G se este grupo age como grupo de simetrias de modo livre e transitivo; os rotulamentos são as bijeções naturais entre o grupo e suas órbitas. A importância disto vem das isometrias associadas entre anéis e códigos que vêm sendo usadas para obtenção de novos exemplos a partir de construções já conhecidas. Neste trabalho utilizamos grupos de simetrias de códigos em dois problemas distintos: o primeiro, sobre extensões de códigos quaternários via isometrias entre anéis e códigos em espaços de Hamming, e o segundo sobre códigos em grafos que incluem os espaços de Lee. Um dado interessante é que todos os grupos envolvidos podem ser escritos como produto semi-direto de dois grupos simétricos ou de um grupo simétrico por um grupo abeliano (mais especificamente, o produto é o "wreath product" destes grupos). Na parte relativa a espaços de Hamming, os resultados principais são a descrição dos códigos propelineares como órbitas de grupos de simetrias e suas relações com os códigos G-lineares; a demonstração da inexistência de rotulamentos cíclicos de espaços de Hamming em geral; a determinação dos grupos de simetrias dos códigos de Reed-Muller generalizados de primeira ordem e rotulamentos cíclicos para estes códigos. A existência destes rotulamentos é conhecida de trabalhos anteriores, e aqui fornecemos uma descrição alternativa, a qual determina todos os rotulamentos no caso binário. Além disso, mostramos que as simetrias que rotulam RM(l,m) não se estendem a isometrias do espaço ambiente. Quanto aos códigos sobre grafos, os principais resultados são a explicitação de relações entre códigos em grafos e ladrilhamentos do espaço euclidiano; a construção de um grupo rotulador não-abeliano para uma família de espaços de Lee; e a descrição de todos os códigos perfeitos de Lee em dimensão 2, via a consideração do problema de ladrilhamentos associado (estendendo resultados clássicos sobre estes códigos)Abstract: This work deals with questions related to symmetry groups of codes and their use as code labelings. A code is labeled by a group G if this group acts freely and transitively as a group of symmetries; the labelings are the natural bijections between the group and its orbits. The importance of labelings comes from the associated isometries between rings and codes which have been used as a means of constructing new codes from old ones. In this work we use symmetry groups of codes in two different problems: the first one, on extensions of quaternary codes via isometries between rings and codes in Hamming spaces, and the second on codes in graphs that include Lee spaces. An interesting feature is that all the groups involved can be expressed as wreath products of two symmetric groups or of a symmmetric group and an abelian group. Concerning Hamming spaces, the main results are the description of propelinear codes as orbits of symmetry groups and the determination of its relationship with G-linear codes; the proof of the non-existence of cyclic labelings of general Hamming spaces; the determination of the symmetry groups of the generalized first-order Reed-Muller codes and of cyclic labelings for these codes. The existence of these labelings is known from previous works, but here we provide an alternative description that determines all the labelings in the binary case. In addition, we show that the symmetries that label RM (1, m) are not extendable to symmetries of the ambient space. With respect to codes on graphs, the main results are the establishment of the relations between codes on graphs and tesselations of euclidean space; the construction of a non-abelian labeling group for a family of Lee spaces; and the description of all linear perfect Lee codes in dimension two, via the associated tesselation (thus extending classical results on these codes)DoutoradoDoutor em Matemátic

Optimization and Applications of Modern Wireless Networks and Symmetry

Due to the future demands of wireless communications, this book focuses on channel coding, multi-access, network protocol, and the related techniques for IoT/5G. Channel coding is widely used to enhance reliability and spectral efficiency. In particular, low-density parity check (LDPC) codes and polar codes are optimized for next wireless standard. Moreover, advanced network protocol is developed to improve wireless throughput. This invokes a great deal of attention on modern communications

Relating propelinear and binary G-linear codes

In this paper we establish the connections between two different extensions of Z(4)-linearity for binary Hamming spaces, We present both notions - propelinearity and G-linearity - in the context of isometries and group actions, taking the viewpoint of geometrically uniform codes extended to discrete spaces. We show a double inclusion relation: binary G-linear codes are propelinear codes, and translation-invariant propelinear codes are G-linear codes. (C) 2002 Elsevier B.V. B.V. All rights reserved

Relating propelinear and binary G-linear codes

In this paper we establish the connections between two different extensions Of Z(4)-linearity for binary Hamming spaces, We present both notions - propelinearity and G-linearity - in the context of isometries and group actions, taking the viewpoint of geometrically uniform codes extended to discrete spaces. We show a double inclusion relation: binary G-linear codes are propelinear codes, and translation-invariant propelinear codes are G-linear codes. (C) 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved.2434169918719