A parallelogram tile fills the plane by translation in at most two distinct ways

We consider the tilings by translation of a single polyomino or tile on the square grid Z2 (Z exposant 2). It is well-known that there are two regular tilings of the plane, namely, parallelogram and hexagonal tilings. Although there exist tiles admitting an arbitrary number of distinct hexagon tilings, it has been conjectured that no polyomino admits more than two distinct parallelogram tilings. In this paper, we prove this conjecture

Two infinite families of polyominoes that tile the plane by translation in two distinct ways

It has been proved that, among the polyominoes that tile the plane by translation, the so-called squares tile the plane in at most two distinct ways. In this paper, we focus on double squares, that is, the polyominoes that tile the plane in exactly two distinct ways. Our approach is based on solving equations on words, which allows us to exhibit properties about their shape. Moreover, we describe two infinite families of double squares. The first one is directly linked to Christoffel words and may be interpreted as segments of thick straight lines. The second one stems from the Fibonacci sequence and reveals some fractal features

Combinatorial aspects of Escher tilings

International audienceIn the late 30's, Maurits Cornelis Escher astonished the artistic world by producing some puzzling drawings. In particular, the tesselations of the plane obtained by using a single tile appear to be a major concern in his work, drawing attention from the mathematical community. Since a tile in the continuous world can be approximated by a path on a sufficiently small square grid - a widely used method in applications using computer displays - the natural combinatorial object that models the tiles is the polyomino. As polyominoes are encoded by paths on a four letter alphabet coding their contours, the use of combinatorics on words for the study of tiling properties becomes relevant. In this paper we present several results, ranging from recognition of these tiles to their generation, leading also to some surprising links with the well-known sequences of Fibonacci and Pell.Lorsque Maurits Cornelis Escher commença à la fin des années 30 à produire des pavages du plan avec des tuiles, il étonna le monde artistique par la singularité de ses dessins. En particulier, les pavages du plan obtenus avec des copies d'une seule tuile apparaissent souvent dans son œuvre et ont attiré peu à peu l'attention de la communauté mathématique. Puisqu'une tuile dans le monde continu peut être approximée par un chemin sur un réseau carré suffisamment fin - une méthode universellement utilisée dans les applications utilisant des écrans graphiques - l'objet combinatoire qui modèle adéquatement la tuile est le polyomino. Comme ceux-ci sont naturellement codés par des chemins sur un alphabet de quatre lettres, l'utilisation de la combinatoire des mots devient pertinente pour l'étude des propriétés des tuiles pavantes. Nous présentons dans ce papier plusieurs résultats, allant de la reconnaissance de ces tuiles à leur génération, conduisant à des liens surprenants avec les célèbres suites de Fibonacci et de Pell

Shuffle operations on discrete paths

AbstractWe consider the shuffle operation on paths and study some parameters. In the case of square lattices, shuffling with a particular periodic word (of period 2) corresponding to paperfoldings reveals some characteristic properties: closed paths remain closed; the area and perimeter double; the center of gravity moves under a 45∘ rotation and a 2 zoom factor. We also observe invariance properties for the associated Dragon curves. Moreover, replacing square lattice paths by paths involving 2kπ/N-turns, we find analogous results using more general shuffles

Combinatoire des mots, géométrie discrète et pavages

L'objet de cette thèse est d'étudier les liens entre la géométrie discrète et la combinatoire des mots. Le fait que les figures discrètes soient codées par des mots sur l'alphabet à quatre lettres Σ = {0.1.0,1}, codage introduit par Freeman en 1961, justifie l'utilisation de la combinatoire des mots dans leur étude. Les droites discrètes sont des objets bien connus des combinatoriciens, car étant identifiés par les mots Sturmiens. dont on trouve déjà une description assez complète dans les travaux de Christoffel à la fin du XIXe siècle à la suite de travaux précurseurs de Bernouilli et Markov. Alors que l'on comprend bien la structure des droites discrètes, on connait beaucoup moins bien les courbes en général. Cet ouvrage porte sur l'étude de propriétés géométriques de courbes fermées, codées sur l'alphabet Σ . On s'intéresse tout d'abord à la représentation des chemins dans le plan discret Z² et de ceux qui codent les polyominos. Dans un premier temps, l'emploi d'une structure arborescente quaternaire permet d'élaborer un algorithme optimal afin de tester si un mot quelconque sur Σ code un polyomino ou non. Ce résultat est fondamental d'abord parce qu'il est nouveau, élégant et qu'il se généralise en dimension supérieure. En outre, la linéarité de ce test rend les algorithmes subséquents vraiment\ud efficaces. À la suite de résultats précurseurs de Lyndon. Spitzer et Viennot sur la factorisation des mots, il existe une interprétation combinatoire de la convexité discrète. En géométrie algorithmique,\ud des algorithmes linéaires furent établis par McCallum et Avis en 1979, puis par Melkman\ud en 1987, pour calculer l'enveloppe convexe d'un polygone. Debled-Rennesson et al. ont obtenu en 2003, un algorithme linéaire pour décider de la convexité discrète d'un polyomino par des méthodes arithmétiques. Nous avons obtenu grâce aux propriétés spécifiques des mots de Lyndon et de Christoffel un algorithme linéaire pour tester si un polyomino est digitalement convexe. L'algorithme obtenu est extrêmement simple et s'avère dix fois plus rapide que celui de Debled-Rennesson et al. Finalement, le calcul de la plus longue extension commune à deux mots en temps constant -obtenu par Gusfield à l'aide des arbres suffixes -et le théorème de Fine et Wilf permettent d'élaborer de nouveaux algorithmes qui, grâce à la caractérisation de Beauquier-Nivat, testent si un polyomino pave le plan par translation. En particulier, on obtient un algorithme optimal en O(n) pour détecter les pseudo-carrés. Dans le cas des pseudo-hexagones ayant des facteurs carrés pas trop longs on obtient également un algorithme linéaire optimal, tandis que pour les pseudo-hexagones quelconques nous avons obtenu un algorithme en O(n(log n)³) que nous croyons ne pas être optimal. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire des mots, Géométrie discrète, Droites digitales, Pavages du plan, Algorithmique

À l'intersection de la combinatoire des mots et de la géométrie discrète : palindromes, symétries et pavages

Dans cette thèse, différents problèmes de la combinatoire des mots et de géométrie discrète sont considérés. Nous étudions d'abord l'occurrence des palindromes dans les codages de rotations, une famille de mots incluant entre autres les mots sturmiens et les suites de Rote. En particulier, nous démontrons que ces mots sont pleins, c'est-à-dire qu'ils réalisent la complexité palindromique maximale. Ensuite, nous étudions une nouvelle famille de mots, appelés mots pseudostandards généralisés, qui sont générés à l'aide d'un opérateur appelé clôture pseudopalindromique itérée. Nous présentons entre autres une généralisation d'une formule décrite par Justin qui permet de générer de façon linéaire et optimale un mot pseudostandard généralisé. L'objet central, le f-palindrome ou pseudopalindrome est un indicateur des symétries présentes dans les objets géométriques. Dans les derniers chapitres, nous nous concentrons davantage sur des problèmes de nature géométrique. Plus précisément, nous donnons la solution à deux conjectures de Provençal concernant les pavages par translation, en exploitant la présence dé palindromes et de périodicité locale dans les mots de contour. À la fin de plusieurs chapitres, différents problèmes ouverts et conjectures sont brièvement présentés. \ud ______________________________________________________________________________ \ud MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Palindrome, pseudopalindrome, clôture pseudopalindromique itérée, codages de rotations, symétries, chemins discrets, pavages