Determination of division algebras with 243 elements

Finite nonassociative division algebras (i.e., finite semifields) with 243 elements are completely classified.Comment: 6 pages, 3 table

The multiplicative loops of Jha-Johnson semifields

The multiplicative loops of Jha-Johnson semifields are non-automorphic finite loops whose left and right nuclei are the multiplicative groups of a field extension of their centers. They yield examples of finite loops with non-trivial automorphism group and non-trivial inner mappings. Upper bounds are given for the number of non-isotopic multiplicative loops of order qnm -1 that are defined using the twisted polynomial ring K[t;σ] and a twisted irreducible polynomial of degree m, when the automorphism σ has order n

О некоторых 3-примитивных полуполевых плоскостях

We evolve an approach to construction and classification of semifield projective planes with the use of the linear space and spread set. This approach is applied to the problem of existance for a projective plane with the fixed restrictions on collineation group.A projective plane is said to be semifield plane if its coordinatizing set is a semifield, or division ring. It is an algebraic structure with two binary operation which satisfies all the axioms for a skewfield except (possibly) associativity of multiplication. A collineation of a projective plane of order p2n (p > 2 be prime) is called Baer collineation if it fixes a subplane of order pn pointwise. If the order of a Baer collineation divides pn − 1 but does not divide pi − 1 for i < n then such a collineation is called p-primitive. A semifield plane that admit such collineation is a p-primitive plane.M. Cordero in 1997 construct 4 examples of 3-primitive semifield planes of order 81 with the nucleus of order 9, using a spread set formed by 2 × 2-matrices. In the paper we consider the general case of 3-primitive semifield plane of order 81 with the nucleus of order ≤ 9 and a spread set in the ring of 4 × 4-matrices. We use the earlier theoretical results obtained independently to construct the matrix representation of the spread set and autotopism group. We determine 8 isomorphism classes of 3-primitive semifield planes of order 81 including M. Cordero examples. We obtain the algorithm to optimize the identification of pair-isomorphic semifield planes, and computer realization of this algorithm. It is proved that full collineation group of any semifield plane of order 81 is solvable, the orders of all autotopisms are calculated. We describe the structure of 8 non-isotopic semifields of order 81 that coordinatize 8 nonisomorphic 3-primitive semifield planes of order 81. The spectra of its multiplicative loops of non-zero elements are calculated, the left-, right-ordered spectra, the maximal subfields and automorphisms are found. The results obtained illustrate G. Wene hypothesis on left or right primitivity for any finite semifield and demonstrate some anomalous properties.The methods and algorithsm demonstrated can be used for construction and investigation of semifield planes of odd order pn for p ≥ 3 and n ≥ 4.Развивается подход к построению и классификации полуполевых проективных плоскостей с использованием линейного пространства и регулярного множества. Решается задача построения проективной плоскости с фиксированными ограничениями на группу коллинеаций (автоморфизмов).Проективная плоскость называется полуполевой, если ее координатизирующее множество есть полуполе, или кольцо с делением. Это алгебраическая система с двумя бинарными операциями, удовлетворяющая всем аксиомам тела, за исключением, возможно, ассоциативности умножения. Коллинеация конечной проективной плоскости порядка p2n (p > 2 простое) называется бэровской, если она фиксирует поточечно подплоскость порядка pn. Если порядок бэровской коллинеации делит pn − 1, но не делит pi − 1 при i < n, то коллинеация называется p-примитивной. Полуполевая плоскость, допускающая такую коллинеацию, также называется p-примитивной.М. Кордеро в 1997 г. построила четыре примера 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81 с ядром порядка 9, используя регулярное множество, образованное 2 × 2-матрицами. В статье рассмотрен общий случай 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81 c ядром порядка ≤ 9 и регулярным множеством в кольце 4 × 4-матриц. Полученные авторами ранее независимо теоретические результаты применены для построения матричного представления регулярного множества и группы автотопизмов. Выделено восемь классов изоморфизма 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, включающих примеры М. Кордеро. Разработан алгоритм, оптимизирующий проверку попарной изоморфности полуполевых плоскостей, и его программная реализация. Показана разрешимость полной группы коллинеаций 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, вычислены порядки автотопизмов, в том числе бэровских.Описано строение попарно неизотопных полуполей порядка 81, координатизирующих восемь попарно неизоморфных 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81. Найдены спектры мультипликативных луп ненулевых элементов, лево- и правосторонние спектры, максимальные подполя и автоморфизмы. Полученные результаты иллюстрируют гипотезу Г. Венэ о лево- или правопримитивности конечного полуполя и демонстрируют некоторые аномальные свойства конечных полуполей.Методы и алгоритмы, представленные в статье, могут быть использованы для построения и исследования полуполей и полуполевых проективных плоскостей нечетного порядка pn также для p ≥ 3 и n ≥ 4