The Steiner Tree Problem with Delays: A compact formulation and reduction procedures

This paper investigates the Steiner Tree Problem with Delays (STPD), a variation of the classical Steiner Tree problem that arises in multicast routing. We propose an exact solution approach that is based on a polynomial-size formulation for this challenging NP-hard problem. The LP relaxation of this formulation is enhanced through the derivation of new lifted Miller-Tucker-Zemlin subtour elimination constraints. Furthermore, we present several preprocessing techniques for both reducing the problem size and tightening the LP relaxation. Finally, we report the results of extensive computational experiments on instances with up to 1000 nodes. These results attest to the efficacy of the combination of the enhanced formulation and reduction techniques

Separating bichromatic point sets in the plane by restricted orientation convex hulls

The version of record is available online at: http://dx.doi.org/10.1007/s10898-022-01238-9We explore the separability of point sets in the plane by a restricted-orientation convex hull, which is an orientation-dependent, possibly disconnected, and non-convex enclosing shape that generalizes the convex hull. Let R and B be two disjoint sets of red and blue points in the plane, and O be a set of k=2 lines passing through the origin. We study the problem of computing the set of orientations of the lines of O for which the O-convex hull of R contains no points of B. For k=2 orthogonal lines we have the rectilinear convex hull. In optimal O(nlogn) time and O(n) space, n=|R|+|B|, we compute the set of rotation angles such that, after simultaneously rotating the lines of O around the origin in the same direction, the rectilinear convex hull of R contains no points of B. We generalize this result to the case where O is formed by k=2 lines with arbitrary orientations. In the counter-clockwise circular order of the lines of O, let ai be the angle required to clockwise rotate the ith line so it coincides with its successor. We solve the problem in this case in O(1/T·NlogN) time and O(1/T·N) space, where T=min{a1,…,ak} and N=max{k,|R|+|B|}. We finally consider the case in which O is formed by k=2 lines, one of the lines is fixed, and the second line rotates by an angle that goes from 0 to p. We show that this last case can also be solved in optimal O(nlogn) time and O(n) space, where n=|R|+|B|.Carlos Alegría: Research supported by MIUR Proj. “AHeAD” no 20174LF3T8. David Orden: Research supported by Project PID2019-104129GB-I00 / AEI / 10.13039/501100011033 of the Spanish Ministry of Science and Innovation. Carlos Seara: Research supported by Project PID2019-104129GB-I00 / AEI / 10.13039/501100011033 of the Spanish Ministry of Science and Innovation. Jorge Urrutia: Research supported in part by SEP-CONACYThis project has received funding from the European Union’s Horizon 2020 research and innovation programme under the Marie Skłodowska–Curie Grant Agreement No 734922.Peer ReviewedPostprint (published version

Branch and Cut based on the volume algorithm: Steiner trees in graphs and Max-cut

We present a Branch-and-Cut algorithm where the volume algorithm is applied instead of the traditionally used dual simplex algorithm to the linear programming relaxations in the root node of the search tree. This means that we use fast approximate solutions to these linear programs instead of exact but slower solutions. We present computational results with the Steiner tree and Max-Cut problems. We show evidence that one can solve these problems much faster with the volume algorithm based Branch-and-Cut code than with a dual simplex based one. We discuss when the volume based approach might be more efficient than the simplex based approach

Aplicaciones en la industria del problema de Steiner y su resolución mediante algoritmos genéticos

En el siglo XIX se empezó a formular el problema de Steiner fruto de la curiosidad de algunos matemáticos, como Fermat, que querían obtener: puntos estratégicos en el espacio que permitiesen minimizar la distancia a otros puntos dados. Sin embargo, la verdadera utilidad del problema surgió con la revolución industrial y las nuevas tecnologías. Para aquel entonces, el matemático Steiner estaba completamente inmerso en la resolución del problema. Así, las redes de infraestructuras, las redes eléctricas, las tuberías de aguas y, en general, todos los problemas referentes a la optimización de caminos fueron las aplicaciones que dio expansión al problema de Steiner. Años más tarde, gracias al desarrollo de las computadoras, fue posible la creación de algoritmos heurísticos que facilitasen la resolución de problemas NPCompletos. Como el algoritmo de Steiner, del que no es posible su resolución en tiempo polinomial. Sin ir más lejos, los algoritmos genéticos surgieron como necesidad para la resolución del problema, con cada vez más aplicaciones sofisticadas. Tal es el caso de la posible inclusión de los más de 1000 transistores que llega a tener un microprocesador, la minimización de las rutas, la estructura mínima energética de las proteínas o la optimización de un porfolio de acciones… Todas ellas son ejemplo de aplicaciones que motivan el desarrollo de la metaheurística. Es por ello, el presente documento que explica este problema tan peculiar de tanta utilidad actualmente. Comenzando por una reseña histórica, se realiza una pequeña introducción del problema. Para avanzar en el tema, en la sección 2 se abarca la teoría del problema de Steiner, así como las primeras técnicas de resolución exactas. Durante la sección 3, se informa de la diversa índole de aplicaciones del problema con casos prácticos y reales. A continuación, en la sección 4 se explica el método de resolución que da respuesta al algoritmo genético implementado en este documento. Se aborda tanto el algoritmo genético como el árbol de mínima expansión (MST). Seguidamente, en la sección 5 se muestra el programa implementado. Este, con más de 10 funciones y 400 líneas de código será detalladamente explicado función a función mostrándose sus diagramas de flujo y pseudocódigos. Finalmente, la sección 6 culmina con la resolución real de problemas de Steiner utilizando el programa implementado en MATLAB. Para terminar, durante las conclusiones obtenidas se podrá ver cómo la complejidad de los problemas solucionados dificulta la obtención del óptimo, debido a que el problema es NP-Completo. Por otro lado, el ajuste de parámetros claves, como el número de iteraciones y la densidad de nodos terminales, podrán disminuir significativamente el tiempo de implementación y el error respecto al óptimo cometido por las técnicas heurísticas. Por ello, se pretende finalmente destacar cómo los algoritmos genéticos resultan ser técnicas muy potentes de resolución mejorando los resultados considerablemente para la mayoría de los casos. Además, el MST se interpone como un algoritmo de peso para problemas de difícil resolución por su breve implementación. Por todo ello, se pretende hacer llegar la gran utilidad del problema. Se muestran aplicaciones de una gran importancia para no solo la optimización económica o energética, sino también, para la investigación del hombre sobre sus antepasados y morfología. A parte, la implementación real del problema de Steiner complementa al documento. Este permite dar a conocer a sus lectores la posibilidad de generar algoritmos válidos para la resolución del problema.Universidad de Sevilla. Grado en Ingeniería de Organización Industria