Magnus-based geometric integrators for dynamical systems with time-dependent potentials

[ES] Esta tesis trata sobre la integración numérica de sistemas hamiltonianos con potenciales explícitamente dependientes del tiempo. Los problemas de este tipo son comunes en la física matemática, porque provienen de la mecánica cuántica, clásica y celestial. La meta de la tesis es construir integradores para unos problemas relevantes no autónomos: la ecuación de Schrödinger, que es el fundamento de la mecánica cuántica; las ecuaciones de Hill y de onda, que describen sistemas oscilatorios; el problema de Kepler con la masa variante en el tiempo. El Capítulo 1 describe la motivación y los objetivos de la obra en el contexto histórico de la integración numérica. En el Capítulo 2 se introducen los conceptos esenciales y unas herramientas fundamentales utilizadas a lo largo de la tesis. El diseño de los integradores propuestos se basa en los métodos de composición y escisión y en el desarrollo de Magnus. En el Capítulo 3 se describe el primero. Su idea principal consta de una recombinación de unos integradores sencillos para obtener la solución del problema. El concepto importante de las condiciones de orden se describe en ese capítulo. En el Capítulo 4 se hace un resumen de las álgebras de Lie y del desarrollo de Magnus que son las herramientas algebraicas que permiten expresar la solución de ecuaciones diferenciales dependientes del tiempo. La ecuación lineal de Schrödinger con potencial dependiente del tiempo está examinada en el Capítulo 5. Dado su estructura particular, nuevos métodos casi sin conmutadores, basados en el desarrollo de Magnus, son construidos. Su eficiencia es demostrada en unos experimentos numéricos con el modelo de Walker-Preston de una molécula dentro de un campo electromagnético. En el Capítulo 6, se diseñan los métodos de Magnus-escisión para las ecuaciones de onda y de Hill. Su eficiencia está demostrada en los experimentos numéricos con varios sistemas oscilatorios: con la ecuación de Mathieu, la ec. de Hill matricial, las ecuaciones de onda y de Klein-Gordon-Fock. El Capítulo 7 explica cómo el enfoque algebraico y el desarrollo de Magnus pueden generalizarse a los problemas no lineales. El ejemplo utilizado es el problema de Kepler con masa decreciente. El Capítulo 8 concluye la tesis, reseña los resultados y traza las posibles direcciones de la investigación futura.[CA] Aquesta tesi tracta de la integració numèrica de sistemes hamiltonians amb potencials explícitament dependents del temps. Els problemes d'aquest tipus són comuns en la física matemàtica, perquè provenen de la mecànica quàntica, clàssica i celest. L'objectiu de la tesi és construir integradors per a uns problemes rellevants no autònoms: l'equació de Schrödinger, que és el fonament de la mecànica quàntica; les equacions de Hill i d'ona, que descriuen sistemes oscil·latoris; el problema de Kepler amb la massa variant en el temps. El Capítol 1 descriu la motivació i els objectius de l'obra en el context històric de la integració numèrica. En Capítol 2 s'introdueixen els conceptes essencials i unes ferramentes fonamentals utilitzades al llarg de la tesi. El disseny dels integradors proposats es basa en els mètodes de composició i escissió i en el desenvolupament de Magnus. En el Capítol 3, es descriu el primer. La seua idea principal consta d'una recombinació d'uns integradors senzills per a obtenir la solució del problema. El concepte important de les condicions d'orde es descriu en eixe capítol. El Capítol 4 fa un resum de les àlgebres de Lie i del desenvolupament de Magnus que són les ferramentes algebraiques que permeten expressar la solució d'equacions diferencials dependents del temps. L'equació lineal de Schrödinger amb potencial dependent del temps està examinada en el Capítol 5. Donat la seua estructura particular, nous mètodes quasi sense commutadors, basats en el desenvolupament de Magnus, són construïts. La seua eficiència és demostrada en uns experiments numèrics amb el model de Walker-Preston d'una molècula dins d'un camp electromagnètic. En el Capítol 6 es dissenyen els mètodes de Magnus-escissió per a les equacions d'onda i de Hill. El seu rendiment està demostrat en els experiments numèrics amb diversos sistemes oscil·latoris: amb l'equació de Mathieu, l'ec. de Hill matricial, les equacions d'onda i de Klein-Gordon-Fock. El Capítol 7 explica com l'enfocament algebraic i el desenvolupament de Magnus poden generalitzar-se als problemes no lineals. L'exemple utilitzat és el problema de Kepler amb massa decreixent. El Capítol 8 conclou la tesi, ressenya els resultats i traça les possibles direccions de la investigació futura.[EN] The present thesis addresses the numerical integration of Hamiltonian systems with explicitly time-dependent potentials. These problems are common in mathematical physics because they come from quantum, classical and celestial mechanics. The goal of the thesis is to construct integrators for several import ant non-autonomous problems: the Schrödinger equation, which is the cornerstone of quantum mechanics; the Hill and the wave equations, that describe oscillating systems; the Kepler problem with time-variant mass. Chapter 1 describes the motivation and the aims of the work in the historical context of numerical integration. In Chapter 2 essential concepts and some fundamental tools used throughout the thesis are introduced. The design of the proposed integrators is based on the composition and splitting methods and the Magnus expansion. In Chapter 3, the former is described. Their main idea is to recombine some simpler integrators to obtain the solution. The salient concept of order conditions is described in that chapter. Chapter 4 summarises Lie algebras and the Magnus expansion ¿ algebraic tools that help to express the solution of time-dependent differential equations. The linear Schrödinger equation with time-dependent potential is considered in Chapter 5. Given its particular structure, new, Magnus-based quasi-commutator-free integrators are build. Their efficiency is shown in numerical experiments with the Walker-Preston model of a molecule in an electromagnetic field. In Chapter 6, Magnus-splitting methods for the wave and the Hill equations are designed. Their performance is demonstrated in numerical experiments with various oscillatory systems: the Mathieu equation, the matrix Hill eq., the wave and the Klein-Gordon-Fock eq. Chapter 7 shows how the algebraic approach and the Magnus expansion can be generalised to non-linear problems. The example used is the Kepler problem with decreasing mass. The thesis is concluded by Chapter 8, in which the results are reviewed and possible directions of future work are outlined.Kopylov, N. (2019). Magnus-based geometric integrators for dynamical systems with time-dependent potentials [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/118798TESI

Splitting methods for autonomous and non-autonomous perturbed equations

[EN] This thesis addresses the treatment of perturbed problems with splitting methods. After motivating these problems in Chapter 1, we give a thorough introduction in Chapter 2, which includes the objectives, several basic techniques and already existing methods. In Chapter 3, we consider the numerical integration of non-autonomous separable parabolic equations using high order splitting methods with complex coefficients (methods with real coefficients of order greater than two necessarily have negative coefficients). We propose to consider a class of methods that allows us to evaluate all time dependent operators at real values of the time, leading to schemes which are stable and simple to implement. If the system can be considered as the perturbation of an exactly solvable problem and the flow of the dominant part is advanced using real coefficients, it is possible to build highly efficient methods for these problems. We show the performance of this class of methods for several numerical examples and present some new improved schemes. In Chapter 4, we propose splitting methods for the computation of the exponential of perturbed matrices which can be written as the sum A = D+epsilon*B of a sparse and efficiently exponentiable matrix D with sparse exponential exp(D) and a dense matrix epsilon*B which is of small norm in comparison with D. The predominant algorithm is based on scaling the large matrix A by a small number 2^(-s) , which is then exponentiated by efficient Padé or Taylor methods and finally squared in order to obtain an approximation for the full exponential. In this setting, the main portion of the computational cost arises from dense-matrix multiplications and we present a modified squaring which takes advantage of the smallness of the perturbation matrix B in order to reduce the number of squarings necessary. Theoretical results on local error and error propagation for splitting methods are complemented with numerical experiments and show a clear improvement over existing methods when medium precision is sought. In Chapter 5, we consider the numerical integration of the perturbed Hill's equation. Parametric resonances can appear and this property is of great interest in many different physical applications. Usually, the Hill's equations originate from a Hamiltonian function and the fundamental matrix solution is a symplectic matrix. This is a very important property to be preserved by the numerical integrators. In this chapter we present new sixth-and eighth-order symplectic exponential integrators that are tailored to the Hill's equation. The methods are based on an efficient symplectic approximation to the exponential of high dimensional coupled autonomous harmonic oscillators and yield accurate results for oscillatory problems at a low computational cost. Several numerical examples illustrate the performance of the new methods. Conclusions and pointers to further research are detailed in Chapter 6.[ES] Esta tesis aborda el tratamiento de problemas perturbados con métodos de escisión (splitting). Tras motivar el origen de este tipo de problemas en el capítulo 1, introducimos los objetivos, varias técnicas básicas y métodos existentes en capítulo 2. En el capítulo 3 consideramos la integración numérica de ecuaciones no autónomas separables y parabólicas usando métodos de splitting de orden mayor que dos usando coeficientes complejos (métodos con coeficientes reales de orden mayor de dos necesariamente tienen coeficientes negativos). Proponemos una clase de métodos que permite evaluar todos los operadores con dependencia temporal en valores reales del tiempo lo cual genera esquemas estables y fáciles de implementar. Si el sistema se puede considerar como una perturbación de un problema resoluble de forma exacta y si el flujo de la parte dominante se avanza usando coeficientes reales, es posible construir métodos altamente eficientes para este tipo de problemas. Demostramos la eficiencia de estos métodos en varios ejemplos numéricos. En el capítulo 4 proponemos métodos de splitting para el cálculo de la exponencial de matrices perturbadas que se pueden escribir como suma A = D + epsilon*B de una matriz dispersa y eficientemente exponenciable con exponencial dispersa exp(D) y una matriz densa epsilon*B de noma pequeña. El algoritmo predominante se basa en escalar la matriz grande con un número pequeño 2^(-s) para poder exponenciar el resultado con métodos eficientes de Padé o Taylor y finalmente obtener la aproximación a la exponencial elevando al cuadrado repetidamente. En este contexto, el coste computacional proviene de las multiplicaciones de matrices densas y presentamos una cuadratura modificada aprovechando la estructura perturbada para reducir el número de productos. Resultados teóricos sobre errores locales y propagación de error para métodos de splitting son complementados con experimentos numéricos y muestran una clara mejora sobre métodos existentes a precisión media. En el capítulo 5, consideramos la integración numérica de la ecuación de Hill perturbada. Resonancias paramétricas pueden aparecer y esta propiedad es de gran interés en muchas aplicaciones físicas. Habitualmente, las ecuaciones de Hill provienen de una función hamiltoniana y la solución fundamental es una matriz simpléctica, una propiedad muy importante que preservar con los integradores numéricos. Presentamos nuevos integradores simplécticos exponenciales de orden seis y ocho tallados a la ecuación de Hills. Estos métodos se basan en una aproximación simpléctica eficiente a la exponencial de osciladores armónicos acoplados de dimensión alta y dan lugar a resultados precisos para problemas oscilatorios a un coste computacional bajo y varios ejemplos numéricos ilustran su rendimiento. Conclusiones e indicadores para futuros estudios se detallan en el capítulo 6.[CA] La present tesi està enfocada al tractament de problemes perturbats utilitzant, entre altres, mètodes d'escisió (splitting). Comencem motivant l'oritge d'aquest tipus de problems al capítol 1, i a continuació introduïm el objectius, diferents tècniques bàsiques i alguns mètodes existents al capítol 2. Al capítol 3, consideram la integració numèrica d'equacions no autònomes separables i parabòliques utilitzant mètodes d'splitting d'ordre major que dos utilitzant coeficients complexos (mètodes amb coeficients reials d'ordre major que dos necesariament tenen coeficients negatius). Proposem una clase de mètodes que permeten evaluar tots els operadors amb dependència temporal explícita amb valors reials del temps. Esta forma de procedir genera esquemes estables i fàcils d'implementar. Si el sistema es pot considerar com una perturbació d'un problema exactament resoluble, i la part dominant s'avança utilitzant coeficients reials, es posible construir mètodes altament eficients per aquest tipus de problemes Demostrem la eficiència d'estos mètodes per a diferents exemples numèrics. Al capítol 4, proposem mètodes d'splitting per al càcul de la exponencial de matrius pertorbades que es poden escriure com suma A = D + epsilon*B (una matriu que es pot exponenciar fàcilment i eficientemente, com es el cas d'algunes matrius disperses exp(D), i una matriu densa epsilon*B de norma menuda). L'algorisme predominant es basa en escalar la matriu gran amb un nombre menut 2^(-s) per a poder exponenciar el resultat amb mètodes eficients de Padé o Taylor i finalment obtindre la aproximació a la exponencial elevant al quadrat repetidament. En este context, el cost computacional prové de les multiplicacions de matrius denses i presentem una quadratura modificada aprofitant la estructura de matriu pertorbada per reduir el nombre de productes. Resultats teòrics sobre errors locals i propagació d'error per a mètodes d'splitting son analitzats i corroborats amb experiments numèrics, mostrant una clara millora respecte a mètodes existens quan es busca una precisió moderada. Al capítol 5, considerem la integració numèrica de l'ecuació de Hill pertorbada. En este tipus d'equacions poden apareixer resonàncies paramètriques i esta propietat es de gran interés en moltes aplicacions físiques. Habitualment, les equacions de Hill provenen d'una función hamiltoniana i la solució fonamental es una matriu simplèctica, siguent esta una propietat molt important a preservar pels integradors numèrics. Presentams nous integradors simplèctics exponencials d'orden sis i huit construits especialmente per resoldre l'ecuació de Hill. Estos mètodes es basen en una aproxmiació simplèctica eficient a la exponencial d'osciladors harmònics acoplats de dimensió alta i donen lloc a resultats precisos per a problemas oscilatoris a un cost computacional baix. La eficiencia dels mètodes s'il.lustra en diferents exemples numèrics. Conclusions i indicadors per a futurs estudis es detallen al capítol 6.Seydaoglu, M. (2016). Splitting methods for autonomous and non-autonomous perturbed equations [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/71358TESI

Ground-state energy and excitation spectrum of the Lieb-Liniger model : accurate analytical results and conjectures about the exact solution

We study the ground-state properties and excitation spectrum of the Lieb-Liniger model, i.e. the one-dimensional Bose gas with repulsive contact interactions. We solve the Bethe-Ansatz equations in the thermodynamic limit by using an analytic method based on a series expansion on orthogonal polynomials developed in \cite{Ristivojevic} and push the expansion to an unprecedented order. By a careful analysis of the mathematical structure of the series expansion, we make a conjecture for the analytic exact result at zero temperature and show that the partially resummed expressions thereby obtained compete with accurate numerical calculations. This allows us to evaluate the density of quasi-momenta, the ground-state energy, the local two-body correlation function and Tan's contact. Then, we study the two branches of the excitation spectrum. Using a general analysis of their properties and symmetries, we obtain novel analytical expressions at arbitrary interaction strength which are found to be extremely accurate in a wide range of intermediate to strong interactions

Fast numerical methods for waves in periodic media

Periodic media problems widely exist in many modern application areas like semiconductor nanostructures (e.g.\ quantum dots and nanocrystals), semi-conductor superlattices, photonic crystals (PC) structures, meta materials or Bragg gratings of surface plasmon polariton (SPP) waveguides, etc. Often these application problems are modeled by partial differential equations with periodic coefficients and/or periodic geometries. In order to numerically solve these periodic structure problems efficiently one usually confines the spatial domain to a bounded computational domain (i.e.\ in a neighborhood of the region of physical interest). Hereby, the usual strategy is to introduce so-called \emph{artificial boundaries} and impose suitable boundary conditions. For wave-like equations, the ideal boundary conditions should not only lead to well-posed problems, but also mimic the perfect absorption of waves traveling out of the computational domain through the artificial boundaries. In the first part of this chapter we present a novel analytical impedance expression for general second order ODE problems with periodic coefficients. This new expression for the kernel of the Dirichlet-to-Neumann mapping of the artificial boundary conditions is then used for computing the bound states of the Schr\"odinger operator with periodic potentials at infinity. Other potential applications are associated with the exact artificial boundary conditions for some time-dependent problems with periodic structures. As an example, a two-dimensional hyperbolic equation modeling the TM polarization of the electromagnetic field with a periodic dielectric permittivity is considered. In the second part of this chapter we present a new numerical technique for solving periodic structure problems. This novel approach possesses several advantages. First, it allows for a fast evaluation of the Sommerfeld-to-Sommerfeld operator for periodic array problems. Secondly, this computational method can also be used for bi-periodic structure problems with local defects. In the sequel we consider several problems, such as the exterior elliptic problems with strong coercivity, the time-dependent Schr\"odinger equation and the Helmholtz equation with damping. Finally, in the third part we consider periodic arrays that are structures consisting of geometrically identical subdomains, usually called periodic cells. We use the Helmholtz equation as a model equation and consider the definition and evaluation of the exact boundary mappings for general semi-infinite arrays that are periodic in one direction for any real wavenumber. The well-posedness of the Helmholtz equation is established via the \emph{limiting absorption principle} (LABP). An algorithm based on the doubling procedure of the second part of this chapter and an extrapolation method is proposed to construct the exact Sommerfeld-to-Sommerfeld boundary mapping. This new algorithm benefits from its robustness and the simplicity of implementation. But it also suffers from the high computational cost and the resonance wave numbers. To overcome these shortcomings, we propose another algorithm based on a conjecture about the asymptotic behaviour of limiting absorption principle solutions. The price we have to pay is the resolution of some generalized eigenvalue problem, but still the overall computational cost is significantly reduced. Numerical evidences show that this algorithm presents theoretically the same results as the first algorithm. Moreover, some quantitative comparisons between these two algorithms are given

Mathematical methods of factorization and a feedback approach for biological systems

The first part of the thesis is devoted to factorizations of linear and nonlinear differential equations leading to solutions of the kink type. The second part contains a study of the synchronization of the chaotic dynamics of two Hodgkin-Huxley neurons by means of the mathematical tools belonging to the geometrical control theory.Comment: Ph. D. Thesis at IPICyT, San Luis Potosi, Mexico, 102 pp, 40 figs. Supervisors: Dr. H.C. Rosu and Dr. R. Fema

Computation of quasi-periodic localised vibrations in nonlinear cyclic and symmetric structures using harmonic balance methods

In this paper we develop a fully numerical approach to compute quasi-periodic vibrations bifurcating from nonlinear periodic states in cyclic and symmetric structures. The focus is on localised oscillations arising from modulationally unstable travelling waves induced by strong external excitations. The computational strategy is based on the periodic and quasi-periodic harmonic balance methods together with an arc-length continuation scheme. Due to the presence of multiple localised states, a new method to switch from periodic to quasi-periodic states is proposed. The algorithm is applied to two different minimal models for bladed disks vibrating in large amplitudes regimes. In the first case, each sector of the bladed disk is modelled by a single degree of freedom, while in the second application a second degree of freedom is included to account for the disk inertia. In both cases the algorithm has identified and tracked multiple quasi-periodic localised states travelling around the structure in the form of dissipative soliton

A class of explicit two-step hybrid methods for second-order IVPs

AbstractA class of explicit two-step hybrid methods for the numerical solution of second-order IVPs is presented. These methods require a reduced number of stages per step in comparison with other hybrid methods proposed in the scientific literature. New explicit hybrid methods which reach up to order five and six with only three and four stages per step, respectively, and which have optimized the error constants, are constructed. The numerical experiments carried out show the efficiency of our explicit hybrid methods when they are compared with classical Runge–Kutta–Nyström methods and other explicit hybrid codes proposed in the scientific literature