Perfect codes in the Lee and Chebyshev metrics and iterating Rédei functions

Orientadores: Sueli Irene Rodrigues Costa, Daniel Nelson Panario RodriguezTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: O conteúdo desta tese insere-se dentro de duas áreas de pesquisa muito ativas: a teoria de códigos corretores de erros e sistemas dinâmicos sobre corpos finitos. Para abordar problemas em ambos os tópicos introduzimos um tipo de sequência finita que chamamos v-séries. No conjunto destas definimos uma métrica que induz uma estrutura de poset usada no estudo das possíveis estruturas de grupo abeliano representadas por códigos perfeitos na métrica de Chebyshev. Por outro lado, cada v-série é associada a uma árvore com raiz, a qual terá um papel importante em resultados relacionados à estrutura dinâmica de iterações de funções de Rédei. Na teoria de códigos corretores de erros, estudamos códigos perfeitos na métrica de Lee e na métrica de Chebyshev (correspondentes à métrica lp para p=1 e p=infinito respetivamente). Os principais resultados aqui estão relacionados com a descrição dos códigos q-ários n-dimensionais com raio de empacotamento e que sejam perfeitos nestas métricas, a obtenção de suas matrizes geradoras e a classificação destes, a menos de isometrias e a menos de isomorfismos. Varias construções de códigos perfeitos e famílias interessantes destes códigos com respeito à métrica de Chebyshev são apresentadas. Em sistemas dinâmicos sobre corpos finitos centramos nossa atenção em iterações de funções de Rédei, sendo o principal resultado um teorema estrutural para estas funções, o qual permite estender vários resultados sobre funções de Rédei. Este teorema pode também ser aplicado para outras classes de funções permitindo obter provas alternativas mais simples de alguns resultados conhecidos como o número de componentes conexas, o número de pontos periódicos e o valor esperado para o período e preperíodo da aplicação exponencial sobre corpos finitosAbstract: The content of this thesis is inserted in two very active research areas: the theory of error correcting codes and dynamical systems over finite fields. To approach problems in both topics we introduce a type of finite sequence called v-series. A metric is introduced in the set of such sequences inducing a poset structure used to determine all possible abelian group structures represented by perfect codes in the Chebyshev metric. Moreover, each v-serie is associated with a rooted tree, which has an important role in results related to the cycle structure of iterating Rédei functions. Regarding the theory of error correcting codes, we study perfect codes in the Lee metric and Chebyshev metric (corresponding to the lp metric for p=1 and p=infinity, respectively). The main results here are related to the description of n-dimensional q-ary codes with packing radius e which are perfect in these metrics, obtaining their generator matrices and their classification up to isometry and up to isomorphism. Several constructions of perfect codes in the Chebyshev metric are given and interesting families of such codes are presented. Regarding dynamical system over finite fields we focus on iterating Rédei functions, where our main result is a structural theorem, which allows us to extend several results on Rédei functions. The above theorem can also be applied to other maps, allowing simpler proofs of some known results related to the number of components, the number of periodic points and the expected value for the period and preperiod for iterating exponentiations over finite fieldsDoutoradoMatematica AplicadaDoutor em Matemática Aplicada2012/10600-2FAPESPCAPE