Sobre ciclos degenerados em campos vetoriais descontínuos e o problema de Dulac

Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Ricardo Miranda Martins, Mike R. JeffreyTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Neste trabalho, estuda-se ciclos que ocorrem tipicamente em campos vetoriais descontínuos, planares definidos em duas zonas, Z=(X,Y), com variedade de descontinuidade dada pela imagem inversa do 0 por uma função suave h, definida no plano e assumindo valores reais, para a qual 0 é um valor regular. Primeiramente, mostra-se que, se X e Y são campos vetoriais analíticos e C é um policiclo de Z, então, genericamente, não existem ciclos limite se acumulando em C. Depois disso, o objetivo é estudar bifurcações de ciclos típicos contendo um ponto do tipo sela-regular. Mais especificamente, considera-se ciclos compostos por um segmento de órbita regular de Z, que cruza a variedade de descontinuidade transversalmente, e um ponto do tipo sela-regular resultando numa conexão quase-homoclínica. São apresentados diagramas de bifurcação para o caso onde o raio de hiperbolicidade do ponto de sela é um número irracional, o caso onde o raio de hiperbolicidade da sela é um número racional é ilustrado com alguns modelos. Finalmente, dois modelos comuns em aplicações e que apresentam tal ciclo são estudados por meio de cálculos numéricosAbstract: In this work, a study is performed on cycles occurring typically in planar discontinuous vector fields in two zones, Z=(X,Y), with switching manifold being the inverse image of 0 by a smooth function h, defined on the plane and assuming real values, for which 0 is a regular value. Firstly, it is shown that if X and Y are analytic vector fields and C is a polycycle of Z, then, generically, C cannot have limit cycles accumulating onto it. After that, the objective is to study the bifurcations of typical cycles through a saddle-regular point. More specifically, we consider a cycle composed by one segment of a regular orbit of Z, which crosses the switching manifold transversally, and a saddle-regular point, resulting in a homoclinic-like connection. Bifurcation diagrams are presented for the case where the hyperbolicity ratio of the saddle point is a irrational number, the case where hyperbolicity ratio is a rational number is illustrated with models. Finally, two application models presenting cycles through saddle-regular points are studied by means of numeric calculationsDoutoradoMatematicaDoutora em Matemática2013/07523-9FAPESPCAPE

Sobre condições de estabilidade para sistemas de Filippov e sistemas hamiltonianos

Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Maria Teresa Martinez-Seara Alonso e Marcel Guardia MunarrizTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Neste trabalho, abordamos aspectos qualitativos de vários fenômenos em sistemas de Filippov e em sistemas Hamiltonianos. No contexto de sistemas dinâmicos suaves por partes, concentramos nossa atenção em problemas em dimensões 2 e 3. No caso planar, desenvolvemos um mecanismo para analisar o desdobramento de policiclos que passam por certas singularidades de sistemas de Filippov (conhecidas como ?-singularidades) em uma configuração típica, e o utilizamos para descrever completamente o diagrama de bifurcação de sistemas de Filippov em torno de alguns policiclos elementares. No caso tridimensional, obtivemos uma caracterização completa dos sistemas que são localmente estruturalmente estáveis em um ponto ???? da variedade de descontinuidade. Mais ainda, caracterizamos completamente os sistemas de Filippov robustos em uma vizinhança da variedade de descontinuidade, os quais são chamados de sistemas semi-localmente estruturalmente estáveis. Além disso, estudamos alguns fenômenos globais em sistemas de Filippov 3????. Primeiramente, descrevemos o diagrama de bifurcação de um sistema em torno de um laço ("loop") do tipo homoclínico de codimensão um em uma singularidade genérica denominada dobra-regular, o qual não possui contrapartida no contexto suave. Em seguida, analisamos uma classe de sistemas que apresenta conexões robustas entre certas singularidades típicas, conhecidas como ????-singularidades, as quais garantiram a existência de um comportamento caótico nas folheações associadas a tais sistemas de Filippov. Em relação aos sistemas Hamiltonianos, estudamos alguns problemas que apresentam fenômenos exponencialmente pequenos. Mais especificamente, consideramos um modelo de interação kink-defect dado por um Hamiltoniano singularmente perturbado ???????? (???? ? 0 representa o parâmetro perturbativo) com dois graus de liberdade, e determinamos condições sobre a energia do sistema para a existência de certas conexões heteroclínicas que surgem da quebra (???? > 0) de uma órbita heteroclínica contida no nível de energia zero do sistema limite ????0. Finalmente, investigamos a existência de soluções breather de equações diferenciais parciais reversíveis do tipo Klein-Gordon, as quais podem ser vistas como órbitas homoclínicas de um sistema Hamiltoniano de dimensão infinitaAbstract: In this work, we discussed qualitative aspects of several phenomena in Filippov and Hamiltonian systems. In the context of piecewise smooth dynamical systems, we have focused on problems in dimensions 2 and 3. In the planar case, we have provided a mechanism to analyze the unfolding of polycycles passing through certain singularities of Filippov systems (known as ?-singularities) in a typical scenario and we have used it to completely describe the bifurcation diagram of Filippov systems around some elementary polycycles. In the three-dimensional case, we have obtained a complete characterization of the systems which are locally structurally stable at a point ???? in the switching manifold ?. Moreover, we have completely characterized the Filippov systems which are robust in a neighborhood of the whole switching manifold, named semi-local structurally stable systems. In addition, we have studied some global phenomena in 3???? Filippov systems. First we described the bifurcation diagram of a system around a codimension one homoclinic-like loop at a generic singularity named fold-regular singularity, which has no counterpart in the smooth context. Second, we analyzed a class of systems presenting robust connections between certain typical singularities, known as ????-singularities, which have lead us to the existence of a chaotic behavior in the foliations associated to such Filippov systems. Concerning to Hamiltonian Systems, we have studied some problems exhibiting exponentially small phenomena. More specifically, we considered a model of kink-defect interaction given by a singularly perturbed 2-dof Hamiltonian ???????? (???? ? 0 stands for the perturbation parameter) and we have provided conditions on the energy of the system for the existence of certain heteroclinic connections arising from the breakdown (???? > 0) of a heteroclinic orbit lying in the zero energy level of the limit system ????0. Finally, we have investigated the existence of breathers of reversible Klein-Gordon partial differential equations, which can be seen as homoclinic orbits of an infinite-dimensional Hamiltonian systemDoutoradoMatematicaDoutor em Matemática2015/22762-5CAPESFAPES